Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\) (Hình 10). Trong \(\left( Q \right)\), hai đường thẳng \(a,b\) có bao nhiều điểm chung?
Cho ba mặt phẳng song song \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) lần lượt cắt hai đường thăng \(a\) và \(a'\) tại các điểm \(A,B,C\) và \(A',B',C'\). Gọi \({B_1}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(\left( Q \right)\) (Hình 12).
- Trong tam giác \(ACC'\), có nhận xét gì về mối liên hệ giữa \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C'}}\)?
- Trong tam giác \(AA'C'\), có nhận xét gì về mối liên hệ giữa \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C'}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\)?
- Từ đó, nếu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số \(\frac{{AB}}{{A'B'}},\frac{{BC}}{{B'C'}},\frac{{AC}}{{A'C'}}\).
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong (Q).
- Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Qua một điểm nằm ngoài mặt phắng cho trước ta vẽ được nhiều hơn một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Bài 8 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AA’, A’C’, BC. Ta có:
- (MNP) // (BCA);
- (MNQ) // (A’B’C’);
- (NQP) // (CAB);
- (MPQ) // (ABA’).
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: (MPQ) // (ABA’) vì:
MQ // AB ⊂ (ABA’)
Mà MQ ⊂ (MNQ)
Do đó (MPQ) // (ABA’).
Bài tập tự luận
Bài 9 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ và O là một điểm thuộc miền trong của mặt bên CC’D’D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) với các mặt của hình hộp.
Lời giải:
Trong mặt phẳng (CDD’C’), từ điểm O kẻ đường thẳng song song với MN cắt CD tại Q và C’D’ tại P. Suy ra mp(OMN) = mp(MNPQ). Khi đó:
+) Giao tuyến của (OMN) với (ABB’A’) là MN.
+) Giao tuyến của (OMN) với (A’B’C’D’) là NP.
+) Giao tuyến của (OMN) với (CC’D’D) là PQ.
+) Giao tuyến của (OMN) với (ABCD) là MQ.
Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và (α) // (SAD) cắt CD, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
- Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.
- Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.
Lời giải:
Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).
+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.
+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.
+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.
+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.
- Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.
Ta có: SA // MQ, MN // AD và SAD^=60° nên QMN^=60°.
Ta lại có: MN // AD, NP // SD và SDA^=60° nên PNM^=60°.
Suy ra: QMN^=PNM^=60°
Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.
b)
+) Ta có ABCD là hình thoi và MN // AD //BC nên MN = a.
+) Trong tam giác ABC, có PQ // BC nên PQBC=SQSB (định lí Thales)
+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên SQSB=AMAB=xa (định lí Thales)
Do đó PQBC=xa⇔PQa=xa⇔PQ=x.
+) Ta lại có: BQSB=MQSA=a-xa⇒MQ=a-x
+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:
sinMQH^=QHMQ⇒QH=MQ.sinMQH^=(a-x).sin60°=3(a-x)2.
Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: SMNPQ=(x+a).3(a-x)22=3(a2-x2)4.
Bài 11 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau a, b cắt (α) tại A và B. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với (α) và cắt a tại M, cắt b tại N. Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α) tại điểm C.
- Tứ giác MNCA là hình gì?
- Chứng minh rằng điểm C luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
- Xác định vị trí của đường thẳng d để độ dài MN nhỏ nhất.
Lời giải:
- Vì d // (α) nên phép chiếu song song của d trên mặt phẳng (α) là AC và d // AC hay MN // AC.
Mặt khác ta lại có AM // NC
Do đó tứ giác MNCA là hình bình hành.
- C luôn chạy trên đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng b trên mặt phẳng (α) theo phương chiếu (α).