và đường sinh của nó : a) Song song với trục Ox b) Song song với đường thẳng x=y, z=c (c là hằng số).
Lời giải
- Gọi mặt nón trụ tìm là (S), đường sinh của mặt trụ là (d). Gọi M(x’,y’,z’) thuộc (d), vì (d)
// Ox nên (d) có dạng:
(d) :
x=x ′ +t
y=y ′
z=z ′
Lại có M(x’,y’,z’) thuộc (S) nên ta có hệ phương trình sau
{
(x ′ −1) 2 + (y ′ + 3) 2 + (z ′ −2) 2 = 25 x′+y′−z′+ 2 = 0
.
Lúc này ta có
{
(x−t−1) 2 + (y+ 3) 2 + (z−2) 2 = 25(1) x−t+y−z+ 2 = 0(2)
.
Từ (2) có:x−t=−y+z− 2 thay vào (1) ta có(−y+z+ 1) 2 + (y+ 3) 2 + (z−2) 2 = 25
⇒(z−y+ 1) 2 +y 2 + 6y+ 9 +z 2 − 4 z+ 4−25 = 0
⇒ 2 y 2 + 2x 2 − 2 xy+ 2x+ 4y− 4 z−11 = 0
Vậy phương trình mặt trụ (S) cần tìm là: 2 y 2 + 2x 2 − 2 xy+ 2x+ 4y− 4 z−11 = 0
- Gọi mặt nón trụ tìm là (S), đường sinh của mặt trụ là (d). Gọi M(x’,y’,z’) thuộc (S). (d’)
có dạng
{
x=y z=c
Phương trình chính tắc của (d’) có dạng:
(d ′ ) :
x=t
y=t
z=c
Mà (d)//(d’) nên (d) có dạng
(d ′ ) :
x=x ′ +t
y=y ′ +t
z=z ′
F
′ x= 4x+ 2y+ 6z+ 8, F ′ y= 2x+ 10y+ 12z+ 14, F ′ z= 6x+ 12y+ 16z+ 18.
- Mặt kính liên hợp với các dây song songOxnên nó sẽ liên hợp với phương
−→
v = (1; 0; 0)là:
1 F
′ x= 0⇔ 4 x+ 2y+ 6z+ 8 = 0⇔ 2 x+y+ 3z+ 4 = 0.
- Tương tự phương trình mặt kính liên hợp với phươngOyhay phương
−→
v = (0; 1; 0)là
1 F
′ y= 0⇔ 2 x+ 10y+ 12z+ 14 = 0⇔x+ 5y+ 6z+ 7 = 0.
- Tương tự phương trình mặt kính liên hợp với phươngOzhay phương
−→
v = (0; 0; 1)là
1 F
′ z= 0⇔ 6 x+ 12y+ 16z+ 18 = 0⇔ 3 x+ 6y+ 8z+ 9 = 0.
- Mặt kính liên hợp với các dậy song song(d)với VTCP(d):
−→
ad = (3, 2 ,−5). Do đó có
phương trình là:
3(4x+2y+6z+8)+2(2x+10y+12z+14)−5(6x+12y+16z+18) = 0⇔ 7 x+17y+19z+19 = 0.
Vậy phương trình mặt kính liên hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 x+ 17y+ 19z+ 19 =
Bài 7:Tìm mặt kính chính của mặtx 2 +y 2 − 3 z 2 − 2 xy− 6 yz− 6 zx+ 2x+ 2y+ 4z= 0
Lời giải
x 2 +y 2 − 3 z 2 − 2 xy− 6 yz− 6 zx+ 2x+ 2y+ 4z= 0
Mặt kính trên còn được viết dưới dạng:
[ x y z
]
1 − 1 − 3
−1 1 − 3
− 3 − 3 − 3
x y z
+ 2
[
1 1 2
]
x y z
=
Gọi
−→
u là phương chính của mặt bậc 2 trên hay
−→
u là vector riêng của ma trận
A=
1 − 1 − 3
−1 1 − 3
− 3 − 3 − 3
Ta có đa thức đặc trưng:
PA(λ)=
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
1 −λ − 1 − 3 −1 1−λ − 3 − 3 − 3 − 3 −λ
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
\= (1−λ) 2 (− 3 −λ)− 9 − 9 −9(1−λ)−(− 3 −λ)−9(1−λ)
\= (−λ) 3 −λ 2 + 24λ− 36
PA(λ) = 0⇔λ=− 6 , λ= 3, λ= 2
Vậy A có các giá trị riêngλ=− 6 , λ= 3, λ 2
Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ=− 6 có dạng
−→
u = (
1
2
a;
1
2
a;a)Khi đó mặt kính chính
của mặt bậc 2 đã cho có dạng:
1
2
a(2x− 2 y− 6 z+ 2) +
1
2
a(2y− 2 x− 6 z+ 2) +a(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0
Chọna= 2ta được
−x−y− 2 z+ 1 = 0
Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ= 3có dạng
−→
u= (− 2 b;b;b)Khi đó mặt kính chính của
mặt bậc 2 đã cho có dạng:
− 2 b(2x− 2 y− 6 z+ 2) +b(2y− 2 x− 6 z+ 2) +b(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0
Chọnb= 1ta được
− 12 x+ 2 = 0
Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ= 2có dạng
−→
u= (−c;c; 0)Khi đó mặt kính chính của
mặt bậc 2 đã cho có dạng:
−c(2x− 2 y− 6 z+ 2) +c(2y− 2 x− 6 z+ 2) + 0(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0
Chọnc= 1ta được
−x+y+ 1 = 0
Bài 8:Tìm quỹ tích những tiếp tuyến với Elipsoid
x 2
8
+
y 2
6
+
z 2
4
\= 1, biết rằng tiếp tuyến đó
đi qua điểmM(5, 1 ,0).
(S)
x 2
8
+
y 2
6
+
z 2
4
\= 1.
Gọi phương trình tiếp tuyến quaM(5, 1 ,0)có dạng:
x = 5 +at y = 1 +bt z = ct
.
(Vớia,b,c∈R,a 2 +b 2 +c 2 6 = 0).
Xét phương trình giao điểm của(d)và(S), ta được:
(at+ 5) 2
8
+
(bt+ 1) 2
6
+
(ct) 2
4
\= 1
⇔(3a 2 + 4b 2 + 6c 2 ).t 2 + (30a+ 8b).t+ 55 = 0
Phương trình này phải có nghiệm kép, tức là:
∆′ (15a+ 4b) 2 − 55 .(3a 2 + 4b 2 + 6c 2 ) = 0 (3)
⇔ 60 a 2 − 204 b 2 − 330 c 2 + 120ab= 0
Phương trình có nghiệm kép:t=−
15 a+ 4b
3 a 2 + 4b 2 + 6c 2
\=−
55
15 a+ 4b
Theo đề bài ta có phương trình mặt:
x 2
4
+
y 2
9
−
z 2
16
\= 1
⇔
x 2
4
−
z 2
16
\= 1−+
y 2
9
⇔
(
x
2
−
z
4
)(
x
2
+
z
4
)
\=
(
1 −
y
3
)(
1 +
y
3
)
Ta có hai họ đường sinh thẳng:
(d) :
m
(
x
2
−
z
4
)
\=n
(
1 +
y
3
)
n
(
x
2
+
z
4
)
\=m
(
1 −
y
3
)
và
(d ′ ) :
p
(
x
2
−
z
4
)
\=q
(
1 −
y
3
)
q
(
x
2
+
z
4
)
\=p
(
1 +
y
3
)
Măt phẳng(P)
x 2
4
+
y 2
9
−
z 2
16
\= 1có vectơ pháp tuyến là(6, 4 ,3).(d)có cặp vectơ pháp tuyến
là
v 1 =
(
m
2
,−
n
3
,−
m
4
)
v 2 =
(
n
2
,
m
3
,
n
4
)
Nên có vectơ chỉ phương là[v 1 , v 2 ] =
(
m 2 −n 2
12
,−
mn
4
,
m 2 +n 2
6
)
Theo đề bài ta có(d)‖(P)
Suy ra:
m 2 −n 2
2
−mn+
m 2 +n 2
2
\= 0⇒m 2 =mn⇒m=n
Suy ra:(d) :
x
2
−
z
4
\= 1 +
y
3 x
2
+
z
4
\= 1−
y
3 Hay
(d) :
{
6 x− 4 y− 3 z−12 = 0
6 x+ 4y+ 3z−12 = 0
(d′))có cặp vectơ pháp tuyến là
v 1 =
(
p
2
,
q
3
,−
p
4
)
v 2 =
(
q
2
,−
p
3
,
q
4
)
Nên có vectơ chỉ phương là[v 1 ′ , v 2 ′ ] =
(
q 2 −p 2
12
,−
pq
4
,−
p 2 +q 2
6
)
Theo đề bài ta có(d ′ ))‖(P)
Suy ra:
p 2 −q 2
2
−pq−
p 2 +q 2
2
\= 0⇒p 2 =−pq⇒p=−q
Suy ra:(d) :
−
(
x
2
−
z
4
)
\= 1−
y
3
−
(
x
2
+
z
4
)
\= 1 +
y
3 Hay
(d) :
{
6 x− 4 y− 3 z+ 12 = 0
6 x+ 4y+ 3z+ 12 = 0
Bài 11:Lập phương trình mặt bậc hai biết ba đường sinh thẳng của nó là
{
y= 0
z= 0
,
{
x=y
z= 1
và
{
x= 0
z= 2
.
Phương trình mặt bậc hai cần tìm có dạng
Ax 2 +By 2 +Cz 2 + 2Dxy+ 2Eyz+ 2F xz+ 2Gx+ 2Hy+ 2Iz+J= 0. (1)
Do (1) chứa đường sinh
{
y= 0
z= 0
NênAx 2 + 2Gx+J= 0.
Suy raA=G=J= 0. (∗)
Do (1) chứa đường sinh
{
x=y
z= 1
⇒Ax 2 +Bx 2 +C+ 2Dx 2 + 2Ex+ 2F x+ 2Gx+ 2Hx+ 2I+J= 0.
⇒(A+B+ 2D)x 2 + 2(E+F+G+H)x+C+ 2I+J= 0.
⇒
A+B+ 2D= 0
E+F+G+H= 0
C+ 2I+J= 0
(∗∗)
Do (1) chứa đường sinh
{
x= 0
z= 2
⇒By 2 + 4C+ 4Ey+ 2Hy+ 4I+J= 0.
⇒By 2 + (4E+ 2H)y+ 4I+ 4C+J= 0.
⇒
B= 0
4 E+ 2H= 0
4 I+ 4C+J= 0
(∗)
Từ (*) và (**), suy ra
A=B=C=D=G=I=J= 0
E=F
2 E=H
ChọnE= 1⇒F= 1,H=− 2
Vậy phương trình mặt bậc hai cần tìm là
2 yz+ 2xz− 4 y= 0hayyz+xz− 2 y= 0.
Vậy đường bậc hai có tâmI(
14
3
, 3 ,
1
3
).
e)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ:
8 x− 4 y+ 12z = − 8 − 4 x+ 2y− 6 z = 4 12 x− 6 y+ 18z = − 12
Hệ vô số nghiệm Vậy đường bậc hai vô số tâm.
f)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ:
2 x+ 4y = 12 4 x+ 8y = − 6 10 z = 0
Hệ vô nghiệm
Vậy đường bậc hai vô tâm.
g)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ:
6 x+ 4y− 2 z = 4 4 x+ 4y = 0 − 2 x = 8
Suy ra
x = − 4 y = 4 z = − 6
Vậy đường bậc hai có tâmI(− 4 , 4 ,−6).
h)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ:
2 x− 10 y+ 6z = 2 − 10 x+ 50y− 30 z = 2 6 x− 30 y+ 18z = 0
Hệ vô nghiệm
Vậy đường bậc hai vô tâm.
Bài 13:Lập phương trình nón tiệm cận của các mặt: (a)x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z= 0. (b) 2 x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz− 4 x− 8 y+ 3 = 0.
Lời giải
(a)
x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z= 0
GọiI(xo, yo, zo)là tâm của mặt trên, tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
2 xo+ 2yo+ 6zo+ 2 = 0 2 yo+ 2xo− 2 zo−6 = 0 2 zo− 2 yo+ 6xo−2 = 0
⇔
xo = 1 yo = 1 zo = − 1
Vậy tọa độ I là(1; 1;−1)
Gọi
−→
u= (a, b, c)là phương tiệm cận của mặt trên
Đường thẳng đi qua I có phương vector
−→
u là:
x = 1 +at y = 1 +bt z = −1 +ct
Để
−→
u là phương tiệm cận thì
a 2 +b 2 +c 2 + 2ab− 2 bc+ 6ac= 0
⇔(x−1) 2 + (y−1) 2 + (z+ 1) 2 + 2(x−1)(y−1)−2(y−1)(z+ 1) + 6(x−1)(z+ 1) = 0
⇔x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z+ 1 = 0
(
S
′
)
Suy ra mặt bậc 2
(
S
′)
là quỹ tích các đường tiệm cận
Ta kiểm tra
(
S
′)
có là mặt nón hay không
Tịnh tiến
(
S
′)
về tâm I ta được
x ′ 2 +y ′ 2 +z ′ 2 + 2x ′ y ′ − 2 y ′ z ′ + 6x ′ z ′ = 0
⇔x ′ 2 + 2y ′ (z ′ + 3y ′ ) + (y ′ + 3z ′ ) 2 −(y ′ + 3z ′ ) 2 +y ′ 2 +z ′ 2 − 2 y ′ z ′ = 0
⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 − 8 z ′ 2 − 8 y ′ z ′ = 0
⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 −8(z ′ 2 + 2z ′ ·
y′
2
+
y′ 2
4
−
y′ 2
4
\= 0(1)
⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 −8(z ′ +
y′
2
)
2 + 2y ′ 2 = 0
Đặt
X = x′+y′+ 3z′
Y =
√
2 y ′
Z = 2
√
2(z′+
y ′
2
)
(1)trở thành
X
2 +Y 2 −Z 2 = 0
Vậy
(
S
′)
là nón thực.
(b)
2 x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz− 4 x− 8 y+ 3 = 0
GọiI(xo, yo, zo)là tâm của mặt trên, tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
4 xo+ 8zo−4 = 0 12 yo− 8 = 0 4 zo+ 8xo = 0
(a)
Xét hệ phương trình { 3 y 2 + 4z 2 + 24x+ 12y− 72 z+ 360 = 0
x−y+z= 0
⇔
{
3 y 2 + 4z 2 + 24(y−z) + 12y− 72 z+ 360 = 0
x=y−z
⇔
{
3 y 2 + 4z 2 + 36y− 96 z+ 360 = 0
x=y−z.
Đặt
{
y=t 1
z=t 2
, ta cóx=t 1 −t 2.
Vậy trên 2 - phẳng
x=t 1 −t 2
y=t 1
z=t 2
, ta xác định được giao tuyến cần tìm có dạng
3 t 2 1 + 4t
2 2 + 36t 1 − 96 t 2 + 360 = 0.
(b)
Xét hệ phương trình { x 2 − 3 y 2 +z 2 − 6 xy+ 2yz− 3 y+z−1 = 0
2 x− 3 y−z+ 2 = 0
⇔
{
x 2 − 3 y 2 +z 2 − 6 xy+ 2yz− 3 y+z−1 = 0
z= 2x− 3 y+ 2
⇔
{
x 2 − 3 y 2 + (2x− 3 y+ 2) 2 − 6 xy+ 2y(2x− 3 y+ 2)− 3 y+ 2x− 3 y+ 2−1 = 0
z= 2x− 3 y+ 2
⇔
{
x 2 − 3 y 2 + 4x 2 + 9y 2 + 4− 12 xy+ 8x− 12 y− 6 xy+ 4xy− 6 y 2 + 4y− 3 y+ 2x− 3 y+ 2−1 = 0
z= 2x− 3 y+ 2
⇔
{
5 x 2 − 14 xy+ 10x− 14 y+ 5 = 0
z= 2x− 3 y+ 2.
Đặt
{
x=t 1
y=t 2
, ta cóz= 2t 1 − 3 t 2 + 2.
Vậy trên 2 - phẳng
x=t 1
y=t 2
z= 2t 1 − 3 t 2 + 2
, ta xác định được giao tuyến cần tìm có dạng
5 t 2 1 − 14 t 1 t 2 + 10t 1 − 14 t 2 + 5 = 0.
Bài 15:Hãy đưa phương trình tổng quá của các mặt bâc hai sau về dạng chính tắc (trong hệ tọa độ trực chuẩn) và xác định loại của chúng. a) 7 x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 4 xy− 4 yz− 6 x− 24 y+ 18z+ 30 = 0 b) 6 x 2 − 2 y 2 + 6z 2 + 4zx+ 8x− 4 y− 8 z+ 1 = 0 c)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy− 4 yz− 8 xz− 14 x− 4 y+ 14z
+ 16 = 0
d)x 2 +y 2 + 5z 2 − 6 xy− 2 yz+ 2xz− 4 x+ 8y− 12 z+ 14 = 0 e) 4 x 2 + 5y 2 + 6z 2 − 4 xy+ 4yz+ 4z+ 6y+ 4z−27 = 0 f) 2 x 2 + 5y 2 + 2z 2 − 2 xy+ 2yz− 4 xz+ 2x− 10 y− 2 z−1 = 0 g)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy+ 4yz− 10 zx+ 2x+ 4y− 10 z−1 = 0 i) 2 x 2 + 10y 2 − 2 z 2 + 12xy+ 8yz+ 12x+ 4y+ 8z−1 = 0 j) 2 x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 4xy+ 2yz+ 2zx− 4 z+ 6y− 2 z+ 3 = 0
- 7x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 4 xy− 4 yz− 6 x− 24 y+ 18z+ 30 = 0
14 x− 4 y = 6 − 4 x+ 12y− 4 z= 24 − 4 y+ 10z=− 18
⇔
x= 1 y= 2 z=− 1 I(1; 2;−1)
x=x′+ 1 y=y ′ + 2 z=z′ − 1 Khi đó, phương trình trở thành: 7 x′ 2
- 6y′ 2
- 5z′ 2 − 4 x′y′− 4 y′z′− 6 x′− 24 y′+ 18z′−6 = 0
⇔
(
x′
√
7
) 2
− 2 x′
√
7.
2 √y′ 7
+
(
2 √y′ 7
) 2
+
(
y′
√ √ 38 7
) 2
− 2.
y′
√ √ 38 7 .z
′ 2 √ 7 √ 38
+ 14
19 z′ 2 + 81 19 z′ 2 = 6
⇔
(
x ′
√
7 6 −
√ 2 y′ 42
) 2
+
(
y′
√ √ 38 42
−
2 z′
√ √ 7 228
) 2
+
(
√ 9 z′ 114
) 2
\= 1
Đặt
X=x′
√
7 6 − √ 2 y′ 42 Y= y′
√ √ 38 42
−
2 z′
√ √ 7 228 Z= √ 9 z′ 114 X 2 +Y 2 +Z 2 = 1
(Elipsoit)
- 6x 2 − 2 y 2 + 6z 2 + 4zx+ 8x− 4 y− 8 z+ 1 = 0 ⇔ 180 x 2 − 60 y 2 + 180z 2 + 120zx+ 240x− 120 y− 240 z+ 30 = 0
⇔
(
6 x
√
5
) 2
− 2. 6 x
√
5
(
2 z
√
5 − 4
√
5
)
- (20z 2 − 80 z+ 80)−
(
2 y
√
15
) 2
− 2. 2 y
√
15. 2
√
15 −
(
2
√
15
) 2
+
(
4 z
√
10
) 2
− 2. 4 z
√
10.
√
10 + 10 = 0
⇔
(
6 x
√
5 − 2 z
√
5 + 4
√
5
) 2
−
(
2 y
√
15 + 2
√
15
) 2
+
(
4 z
√
10 −
√
10
) 2
\= 0
Đặt
X= 6x
√
5 − 2 z
√
5 + 4
√
5
Y= 2y
√
15 + 2
√
15
Z= 4z
√
10 −
√
10
X 2 −Y 2 +Z 2 = 0
(Nón bậc 2)
c)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy− 4 yz− 8 xz− 14 x− 4 y+ 14z+ 16 = 0
⇔x 2 + 2x(2y− 4 z−7) + (2y− 4 z−7)
2 − 6 y 2 − 15 z 2 + 12yz+ 24y− 42 z−33 = 0 ⇔(x+ 2y− 4 z−7)
2 − 6 y 2 + 2y
√
6
(
z
√
6 + 2
√
6
)
−(6z 2 + 24z+ 24)− 9 z 2 − 18 z−9 = 0
⇔(x+ 2y− 4 z−7)
2 −
(
y
√
6 −z
√
6 − 2
√
6
) 2
−(3z+ 3)
2 = 0
Đặt
X=x+ 2y− 4 z− 7
Y =y
√
6 −z
√
6 − 2
√
6
Z= 3z+ 3 X 2 −Y 2 −Z 2 = 0
⇐⇒2(x 2 + 2x(3y+ 3) + (3y+ 3) 2 )− 8 y 2 − 32 y− 19 − 2 z 2 + 8yz+ 8z= 0.