Tập hợp -Giải tích tổ hợp 1.1 Tập hợp Bài tập 1.1. Cho dãy tập hợp A 1 , A 2 , . . . , A n , . . .. Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại dãy tập hợp B 1 , B 2 , . . . , B n , . . ., sao cho: (a) Các B i từng đôi một rời nhau; 3. Có 7 người cùng vào thang máy để lên lầu. Có tất cả 10 lầu và mỗi người đều có hể lên một lầu tùy ý. Tìm xác suất của các biến cố sau:
4. Người ta xếp ngẫu nhiên 7 cuốn sách Toán , Lý, Hóa, Sinh,Văn, Nhạc, Sử liên iếp trên một hàng từ trái sang phải. Tìm xác suất của các biến cố sau:
5. Một hộp có 15 viên bi kích cỡ giống hệt nhau, gồm 5 đỏ, 3 xanh và 7 vàng.
6. (1.21) Lấy ngẫu nhiên một số điện thoại có 8 chữ số, số đầu khác 0 và 1. Tìm XS:
7. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 7 chữ số.
8. Gieo 20 lần một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tìm xác suất có 4 lần xuất hiện ặt một chấm, 3 lần xuất hiện mặt hai chấm, 5 lần xuất hiện mặt ba chấm, 2 lần uất hiện mặt bốn chấm, 2 lần xuất hiện mặt năm chấm và 4 lần xuất hiện mặt sáu hấm. 9. Có 12 người cùng lên một chuyến tàu. Chỉ còn 3 toa cho hành khách và mỗi người có thể lên một toa bất kỳ trong 3 toa này với xác suất như nhau. Tìm xác suất của các biến cố sau:
10. Hai người h n gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng thời gian từ 8 giờ đến 9 giờ. Người đến trước s chờ người đến sau trong khoảng thời gian 20 phút, nếu không gặp s đi. Tính xác suất để hai người gặp nhau tại điểm h n, biết rằng mỗi người có thể đến chỗ h n trong khoảng thời gian đ quy định một cách ngẫu nhiên và không ph thuộc vào người kia. 11. Gieo một điểm bất kỳ vào một hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh 2 m và ngoại tiếp một tam giác đều.
12. Một đoạn thẳng có độ dài a được bẻ g y ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tìm xác suất để 3 đoạn đó tạo thành một tam giác. 13. (1.23) Một hệ thống ph c v có 3 máy tự động. Xác suất để trong một ngày làm việc, máy thứ nhất cần người đứng là 0,7; máy thứ hai cần người đứng là 0,8; máy thứ ba cần người đứng là 0,9 . Tìm xác suất để trong một ngày :
14. Mua ngẫu nhiên 1 vé số có 8 chữ số. Tìm XS vé đó không có chữ số 0 hoặc số 1. 15. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm mà không kiểm tra thì không phân biệt được. Người ta lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm ra để kiểm tra, cho đến khi gặp đủ 3 phế phẩm thì dừng lại.
16. Một hệ thống gồm n thành phần riêng r được xem như một hệ nối tiếp nếu nó hoạt động khi tất cả các thành phần của nó hoạt động. Hệ thống được xem như 1 hệ song song nếu nó hoạt động khi ít nhất 1 thành phần hoạt động. Giả sử các thành phần hỏng hóc một cách độc lập và xác suất hỏng của thành phần thứ i là pi ; i =1,2,..,n. Trong từng trường hợp, h y tìm xác suất để hệ hoạt động. Nêu ý nghĩa của các kết quả khi cho 17. Một mạch điện giữa 2 điểm A, B gồm có linh kiện L1 mắc nối tiếp với một c m gồm 2 linh kiện mắc song song L2 và L3. Biết xác suất hư hỏng của mỗi linh kiện trong một khoảng thời gian T lần lượt là 0,1 ; 0,2 ; 0,3. Tính xác suất mạch ngưng hoạt động trong khoảng thời gian T. 18. Hỏi tương tự như bài 17, nếu mạch điện gồm linh kiện L1 mắc nối tiếp L2 và nối tiếp c m 3 linh kiện mắc song song L3, L4, L5. Xác suất hư hỏng của mỗi linh kiện Li trong cùng khoảng thời gian T là pi . 19. Xét một mạch điện như hình v . Mỗi công tắc có khả năng đóng và mở trong cùng một khoảng thời gian T với xác suất như nhau. Tìm xác suất để có ít ra một đường dẫn giữa 2 đầu nối A,B trong khoảng thời gian T. 20. Có n cặp nhẫn khác loại nhau, không thể dùng 1 chiếc của cặp này ghép với 1 chiếc của cặp khác. Giả sử các nhẫn này bị để lẫn lộn trong 1 hộp. Bốc ngẫu nhiên 2k chiếc nhẫn, 4 ≤ 2k < n. Tìm xác suất có đúng 2 cặp nhẫn được lấy ra. 21. Giả sử một phòng đọc của thư viện chỉ có 2 loại sách : sách toán và sách kỹ thuật, mỗi người đọc chỉ được mượn đọc tại chỗ một cuốn sách. Xác suất để một người đọc bất kỳ mượn sách kỹ thuật là 70% và mượn sách toán là 30%. Hiện trong phòng chỉ có 5 người đọc.
22. Một trường có 730 học sinh, giả định rằng mỗi học sinh đ chào đời vào một ngày bất kỳ trong năm. Tìm xác suất có 3 học sinh sinh đúng vào ngày 02/09 . 23. Biết tỉ lệ trẻ bị cận thị trong một trường là 15% . Hỏi cần phải chọn bao nhiêu học sinh để chắc chắn không dưới 90% rằng trong số đó có ít nhất một em bị cận thị. 24. Biết tỉ lệ sống của một loại cây non sau khi trồng là 0,85 . H y cho biết cần đem trồng bao nhiêu cây để số cây sống có khả năng nhất là 25 cây. 25. Người ta trồng 20 cây non cùng một loại trên đường dẫn tới trường học. Sau đó, nếu cây nào chết người ta s trồng thay thế vào đợt thứ 2. Biết rằng xác suất để một cây non sống sau khi được trồng ở mỗi đợt là 80% .
26. Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp, ai gieo được mặt sấp đầu tiên s thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé. 27. A và B cùng chơi cờ. Xác suất thắng của A trong mỗi ván là 0,3; không có ván nào hòa. Trận đấu s kết thúc nếu A thắng cuộc ( thắng được 5 ván) hoặc B thắng cuộc (thắng được 8 ván). Tìm xác suất A thắng cuộc. 28. Một người viết 4 lá thư khác nhau cho 4 người bạn, nhưng do đ ng trí nên đ bỏ ngẫu nhiên 4 bức thư này vào 4 bao thư đ đề sẵn địa chỉ. Tìm xác suất : a) Có ít nhất 1 thư đến đúng địa chỉ. b) Chỉ có 1 thư đến đúng địa chỉ. 29. Bài toán GameShow: Một người chơi được chọn mở một trong 3 cánh cửa A,B,C để nhận quà, biết rằng chỉ có 1 cánh cửa đằng sau có quà. Sau khi người chơi đ chọn 1 cánh cửa thì người dẫn chương trình mở 1 trong 2 cánh cửa còn lại và thấy không có quà. Người chơi tiếp t c được đề nghị giữ nguyên cánh cửa đ chọn ban đầu hay thay đổi sang cánh cửa thứ 3. Theo bạn người chơi có nên thay đổi hay không? 30. Một nhà máy sản xuất một lô hàng 20.000 sản phẩm, trong đó có 300 phế phẩm. Một khách hàng quy ước s mua hết lô hàng nếu kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có không quá một phế phẩm.
31. Một vườn hoa lan trồng hai loại Lan Ngọc Điểm chưa nở hoa, loại I có bông màu trắng điểm hoa cà và loại II có bông màu đỏ lòng trắng . Biết số lan loại I bằng 5/3 số lan loại II, và tỉ lệ nở hoa tương ứng của 2 loại lần lượt là 90%, 80%. Người mua chọn ngẫu nhiên một cây.
32. (1.31) Bắn 3 phát đạn vào máy bay địch . Xác suất trúng đích của các phát đạn lần lượt là 0,5; 0,6 ; 0,8 . Biết rằng khi bị trúng một phát, máy bay rơi với xác suất 0,3 ; khi bị trúng 2 phát thì máy bay rơi với xác suất 0,6 ; còn khi bị trúng 3 phát thì chắc chắn máy bay rơi. Tìm xác suất máy bay rơi. 33. Tung một con xúc xắc n lần. Tìm xác suất của biến cố tổng số chấm ở mặt trên con xúc xắc trong các lần tung không dưới 6n -1 . 34. Tỷ lệ phế phẩm trên một dây chuyền sản xuất là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra chất lượng sản phẩm một cách tự động, tuy nhiên thiết bị này có thể cho kết luận sai đối với một sản phẩm tốt ở tỉ lệ 3% và đối với một sản phẩm xấu ở tỉ lệ 1% .
35. Trong kho hàng có 16 kiện hàng do phân xưởng I và 4 kiện do phân xưởng II sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của mỗi sản phẩm do các phân xưởng này sản xuất lần lượt là 5% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một kiện hàng để kiểm tra.
36. Sản phẩm X bán ra thị trường do một nhà máy gồm 3 phân xưởng I, II, và III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%, phân xưởng II chiếm 45%, phân xưởng III chiếm 25% số lượng sản phẩm toàn nhà máy. Tỉ lệ sản phẩm loại A do 3 phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là: 70%, 50% và 90%.
37. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất người thứ nhất và người thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,9; còn xác suất người thứ ba làm ra chính phẩm bằng 0,8. Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có hai phế phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đó sản xuất s có 6 chính phẩm. 38. (1.38) Một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và vạch (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm nên khi truyền tin, bình quân 2/5 tín hiệu chấm và 1/3 tín hiệu vạch bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong truyền tin đi là 5: 3. Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu:
39. Một thống kê trên các cặp trẻ sinh đôi cho thấy tỉ lệ các cặp sinh đôi cùng trứng là một số p. Các cặp sinh đôi cùng trứng đều cùng giới tính, còn đối với các cặp sinh đôi khác trứng thì tỉ lệ cùng giới tính chỉ là 50%. Biết rằng với mỗi cặp trẻ sinh đôi có cùng giới tính, xác suất chúng được sinh đôi cùng trứng là 1/3. Hãy tìm số p. 40. Trong hộp có n sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt k sản phẩm theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm. Tính xác suất để hộp đó chứa toàn chính phẩm. 41. Hai đấu thủ A và B thi đấu trong vòng 10 hiệp hoặc cho đến khi có người thắng trước. Mỗi trận A có khả năng thắng với xác suất là p, không có kết quả hòa. Sau mỗi trận đấu thủ thắng được 1 điểm, đấu thủ thua không có điểm. A được coi là thắng cuộc nếu dẫn trước B 2 điểm, Tìm xác suất A thắng cuộc. 42. Có n hộp bi, mỗi hộp chứa m bi trắng và k bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ hai bỏ sang hộp thứ ba, … làm như thế cho tới hộp thứ n . Tìm xác suất viên bi cuối cùng rút từ hộp thứ n là bi trắng. 43. (1.41) Trong một thành phố nọ, người ta thống kê được như sau: Cho rằng xác suất mỗi đứa trẻ sinh ra là trai hay gái đều bằng 0,5 .
44. (1.42) Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp I chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp II chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi thì được bi trắng, trả bi trắng đó vào hộp đ lấy ra. Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra, là bi trắng. 45. Có một quả cầu đ được đánh dấu, có khả năng nó ở trong hộp cầu I với xác suất p và khả năng nó ở trong hộp cầu II với xác suất 1- p. Nếu chọn đúng hộp đang chứa quả cầu đánh dấu thì xác suất để rút được đúng nó từ hộp ra là d . Rút liên tiếp có hoàn lại n quả cầu từ 2 hộp đó. Hỏi cần rút từ mỗi hộp bao nhiêu quả cầu để xác suất rút được quả cầu đ đánh dấu, dù chỉ một lần, là lớn nhất? |
