Cách giải bất phương trình VietJack

  • Cách giải bất phương trình VietJack
    Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Video giải Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Để học tốt Đại 10, phần dưới giải các bài tập sách giáo khoa Toán 10 được biên soạn bám sát theo nội dung SGK Toán Đại Số 10.

Quảng cáo

Quảng cáo

Quảng cáo

Bài giảng: Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

Tham khảo lời giải bài tập Đại số 10 chương 4 khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

  • Cách giải bất phương trình VietJack
    Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

  • Cách giải bất phương trình VietJack
    Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Với loạt Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

1. Lý thuyết

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

2. Các dạng toán

Dạng 4.1: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Phương pháp giải:

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình: 3x+1≥2x+74x+3>2x+19.

Hướng dẫn:

Ta có: 3x+1≥2x+74x+3>2x+19⇔x≥62x>16⇔x≥6x>8⇔x>8 .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: S=(8;+∞) .

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau  2x−1≥3x−32−x2<x−3x−3≥2 .

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: x≥3. 

Ta có:

2x−1≥3x−32−x2<x−3x−3≥2  ⇔2x−1≥3x−92−x<2x−6x−3≥4

 ⇔−x≥−8−3x<−8x≥7 ⇔x≤8x>83x≥7⇔7≤x≤8  (t/m).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là S=[7;8] .

Dạng 4.2: Xác định tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm

a. Phương pháp giải:

Ta giải từng bất phương trình của hệ theo tham số m. Sau đó, biện luận bất phương trình có nghiệm hay vô nghiệm dựa vào giao của các tập nghiệm:

+) Hệ bất phương trình có nghiệm khi giao của các tập nghiệm khác rỗng.

+) Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao của các tập nghiệm bằng rỗng.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để hệ bất phương trình 2x−1>0x−m<2 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình 2x−1>0 có tập nghiệm S1=12;+∞. 

Bất phương trình x−m<2 có tập nghiệm S2=−∞;m+2. 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1∩S2≠ ∅ ⇔m+2>12 ⇔m>−32. 

Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phương trình  3x+4>x+91−2x≤m−3x+1 vô nghiệm.

Hướng dẫn:

+ Bất phương trình 3x+4>x+9⇔2x>5⇔x>52 

Tập nghiệm bất phương trình là S1=52;+∞. 

+ Bất phương trình 1−2x≤m−3x+1⇔x≤m 

Tập nghiệm bất phương trình là S2=−∞;m .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2=∅⇔m≤52. 

3. Bài tập tự luyện:

3.1 Tự luận

Câu 1: Giải hệ bất phương trình x+3<4+2x5x−3<4x−1 .

Hướng dẫn:

Ta có: x+3<4+2x5x−3<4x−1⇔x>−1x<2⇔−1<x<2.

Câu 2: Giải hệ bất phương trình 2x−13<−x+14−3x2<3−x .

Hướng dẫn:

Ta có:   2x−13<−x+14−3x2<3−x⇔2x−1<−3x+34−3x<6−2x

⇔5x<4−x<2⇔x<45x>−2⇔x∈−2;45

Câu 3: Giải hệ bất phương trình 4x+32x−5<6x−1x+3>2 .

Hướng dẫn:

Ta có: 4x+32x−5<6x−1x+3>2⇔4x+32x−5−6<0x−1x+3−2>0  

⇔4x+3−12x+302x−5<0x−1−2x−6x+3>0⇔−8x+332x−5<0−x−7x+3>0  

⇔x∈−∞;52∪338;+∞x∈−7;−3⇔x∈−7;−3  .

Câu 4: Giải hệ bất phương trình 3x+2>2x+31−x>0 .

Hướng dẫn:

Ta có: 3x+2>2x+31−x>0⇔x>1x<1 (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm bất phương trình trên là S=∅. 

Câu 5: Tìm m để hệ bất phương trình 3x−6<−35x+m2>7 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình 3x−6<−3 có tập nghiệm S1=−∞;5. 

Bất phương trình 5x+m2>7 có tập nghiệm S2=14−m5;+∞. 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1∩S2≠ ∅ ⇔14−m5<5 ⇔m>−11. 

Câu 6: Tìm m để hệ bất phương trình mmx−1<2mmx−2≥2m+1 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với m2x<m+2m2x≥4m+1 .

· Với m = 0, hệ bất phương trình trở thành 0x<20x≥1  (vô nghiệm).

· Với m≠0 , hệ bất phương trình tương đương với x<m+2m2x≥4m+1m2 .

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m+2m2>4m+1m2⇔m<13 .

Vậy 0≠m<13 là giá trị cần tìm.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 2x−1≥3x−m≤0 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Bất phương trình 2x−1≥3⇔x≥2 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=2;+∞. 

Bất phương trình x−m≤0⇔x≤m 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;m .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì S1∩S2 là tập hợp có đúng một phần tử. Suy ra m = 2

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình m2x≥6−x3x−1≤x+5 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Bất phương trình m2x≥6−x⇔m2+1x≥6⇔x≥6m2+1 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=6m2+1;+∞. 

Bất phương trình 3x−1≤x+5⇔x≤3 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;3 .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì S1∩S2 là tập hợp có đúng một phần tử, suy ra 6m2+1=3⇔m2=1⇔m=±1. 

Câu 9: Tìm m để hệ bất phương trình 2x+7≥8x+1m+5<2x vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình 2x+7≥8x+1⇔−6x≥−6⇔x≤1 

 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−∞;1. 

Bất phương trình m+5<2x⇔x>m+52

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S2=m+52;+∞ 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2=∅⇔1≤m+52⇔m≥−3. 

Câu 10: Tìm m để hệ bất phương trình x−32≥x2+7x+12m≤8+5x vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Bất phương trình x−32≥x2+7x+1⇔x2−6x+9≥x2+7x+1 

⇔−6x+9≥7x+1⇔8≥13x⇔x≤813

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−∞;813. 

Bất phương trình 2m≤8+5x⇔x≥2m−85 

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S2=2m−85;+∞ 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔S1∩S2=∅⇔813<2m−85⇔m>7213. 

3.2 Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hệ bất phương trình mx+2m>02x+35>1−3x5 . Xét các mệnh đề sau:

(I) Khi m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(II) Khi m = 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R .

(III) Khi   thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 25;+∞ .

(IV) Khi m > 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 25;+∞ .

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?

A. 1.  

B. 0.   

C. 2.  

D. 3.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Ta có : mx+2m>02x+35>1−3x5⇔mx>−2mx>25  .

Với m < 0 thì mx>−2mx>25⇔x<−2x>25⇔x∈∅  . 

Với m = 0 thì mx>−2mx>25⇔0x>0x>25⇔x∈∅   . 

Với m > 0 thì mx>−2mx>25⇔x>−2x>25⇔x>25  . 

Vậy (I) và (IV) đúng; (II) và (III) sai.

Câu 2: Hệ bất phương trình x+34−x>0x<m−1 vô nghiệm khi:

A. m≤−2 .  

B. m > -2.    

C. m < -1.    

D. m = 0.

Hướng dẫn:

Chọn A.

x+34−x>0x<m−1⇔−3<x<4x<m−1  .

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi m−1≤−3⇔m≤−2  .

Câu 3Tập nghiệm của hệ bất phương trình 4−x≥0x+2≥0 là:

A. S=−∞;−2∪4;+∞ .         

B. S=−2;4 .

C. S=2;4 .          

D. S=−∞;−2∪4;+∞ .

Hướng dẫn:

Chọn B.

Hệ phương trình ⇔x≤4x≥−2⇔−2≤x≤4  .

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S=−2; 4 .

Câu 4: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 4x+56<x−32x+3>7x−43 là:

A. 232; 13 . 

B. −∞; 13 . 

C. 13; −∞ . 

D. −∞; 232.

Hướng dẫn:

Chọn  A.

Ta có: 4x+56<x−32x+3>7x−43⇔2x−23>0x−13<0  

⇔x>232x<13⇔x∈232;13  .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 3x−6<−35x+m2>5 có nghiệm.

A. m < -15.  

B. m≥−15

C. m > -15.  

D. m≤−15 .

Hướng dẫn:

Chọn C.

3x−6<−35x+m2>5⇔3x<155x+m>10⇔x<5x>10−m5   .

Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔10−m5<5⇔10−m<25⇔m>−15.

Câu 6: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 5x−2<4x+5x2<x+22 bằng:

A. 21.

B. 28. 

C. 27. 

D. 29.

Hướng dẫn:

Chọn  A.

5x−2<4x+5x2<x+22  ⇔x<7x2<x2+4x+4

⇔x<7−4x<4⇔x<7x>−1  .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S= (-1; 7).

Suy ra các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 21.

Câu 7: Giá trị x = -2 là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. 2x−3<13+4x>−6 .    

B. 2x−5<3x4x−1>0 .    

C. 2x−4>31+2x<5 .      

D. 2x−3<3x−52x−3>1 .

Hướng dẫn:

Chọn  A.

Thay x = -2 và từng hệ bất phương trình của các đáp án, ta được đáp án A thỏa mãn.

Câu 8: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình mx≤m−3m+3x≥m−9 có nghiệm duy nhất.

A. m = -2     

B. m = 1      

C. m = 2      

D. m = -1

Hướng dẫn:

Chọn  B.

+) Với m = 0, hệ bất phương trình đã cho trở thành 0x≤−3x≥−3  (vô nghiệm)

+) Với m = -3, hệ bất phương trình đã cho trở thành x≥20x≥−12⇔x≥2 . 

Do đó hệ không có nghiệm duy nhất.

+) Với m≠0;m≠−3 , hệ bất phương trình đã cho trở thành x≤m−3mx≥m−9m+3 

Để hệ có nghiệm duy nhất thì m−3m=m−9m+3⇔m=1. 

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2−x>02x+1>x−2 là

A. −3; 2 .   

B. −∞; 3 .  

C. 2; +∞ 

D. −3; +∞ .

Hướng dẫn:

Chọn  A.

Ta có: 2−x>02x+1>x−2⇔x<2x>−3⇔−3<x<2  .

Câu 10: Hệ bất phương trình 3x+5≥x−1x+22≤x−12+9mx+1>m−2x+m vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. m=3  

B. m≥3.

C. m<3      

D. m≤3. 

Hướng dẫn:

Chọn   B.

+ Bất phương trình 3x+5≥x−1⇔2x≥−6⇔x≥−3 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−3;+∞  

+ Bất phương trình x+22≤x−12+9⇔x2+4x+4≤x2−2x+1+9 

⇔4x+4≤−2x+1+9⇔6x≤6⇔x≤1

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;1 

Suy ra S1∩S2=−3;1 .

+ Bất phương trình mx+1>m−2x+m⇔mx+1>mx−2x+m 

⇔1>−2x+m⇔2x>m−1⇔x>m−12

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S3=m−12;+∞

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2∩S3=∅⇔m−12≥1⇔m≥3.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

  • Cách giải bất phương trình VietJack
    Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Cách giải bất phương trình VietJack

Cách giải bất phương trình VietJack

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.