Cách tìm điểm nằm trên mặt phẳng

Với Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện .

A. Phương pháp giải

+ Để tìm điểm thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm M theo biến t, sau đó ta chỉ cần tìm giá trị t (dựa vào điều kiện bài toán đưa ra).,

Để tham số hóa điểm M ta phải đưa đường thẳng Δ về dạng tham số.

+ Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng....

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 

 và điểm A( 2; - 5; - 6) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên Δ sao cho  .

A. M(1; 0 ; 1) hoặc M(5; 0; - 7) .

B. M (1; -2; -1) hoặc M( 5; 0; - 7) .

C. M( 1; 0; -2) hoặc M( - 5; 0; 7)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Vì điểm M thuộc Δ nên tọa độ M(1+ 2t;-2+ t; -1- 3t )

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 

 và mặt phẳng (α): x- 2y – 2z + 5= 0. Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến α bằng 3.

A. A( 0; 0 ; - 1) hoặc ( 1; 2; 3)

B. A( -2; 1; - 2) .

C. A( 2;-1; 0) hoặc ( 0; 0; -1)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Điểm A nằm trên đường thẳng d nên tọa độ A( 2t; -t; -1+ t)

Ta có khoảng cách từ A đến α là

Chọn D.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ y+ z- 3= 0 và đường thẳng 

 . Biết điểm M thuộc Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng . Tọa độ điểm M là

A. M( 4; -5 ; - 2) hoặc M( 2; 1; 0)

B. M( -1; -3; 2) hoặc M( -2; 7; 4)

C. M( 4; -5; - 2) hoặc M( -2; 7; 4)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Suy ra M( 4; -5; - 2) hoặc M( - 2; 7 ; 4)

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 

 và hai điểm A(1; -1; 2); B( 2;-1; 0) . Biết điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tứ diện OABM có thể tích bằng ( với O là gốc tọa độ ). Khi đó tọa độ điểm M là

A.M( 3; - 2; 1)

B. M( 11; -6; 5)

C. M( 5; -3; 2)

D. M( 7; -4; 3)

Hướng dẫn giải

Suy ra ⇒

Khi đó thể tích tứ diện OABM là

Chọn B.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng ( P): 3x- 4y + 1= 0, ( Q): 4x+ 3z – 10 = 0 và đường thẳng 

 . Có điểm A thuộc d và cách đều hain mặt phẳng (P) và ( Q) . Tọa độ điểm A là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Do điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A( t; - 1+ 2t;2- t)

Ta có: d(A;(P))= d( A; ( Q))

Chọn A

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 

 và hai điểm A( -2; 1;1) và B( -3; -1; 2). Điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tam giác MAB có diện tích bằng  . Khi đó tọa độ điểm M là :

A. M( - 1; 3; - 1)

B. M( 0; 7; - 9)

C.M( -9; 2; 1)

D. M( -2; 1; - 5)

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác MAB là:

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 

 . Biết M thuộc tia Ox và khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. Tọa độ điểm M là

A. M( 1; 0; 0 )

B. M( -2; 0; 0)

C. M(2; 0; 0 )

D.M( - 1;0; 0 )

Hướng dẫn giải

Do điểm M thuộc tia Ox nên tọa độ M( t; 0; 0) với t > 0 .

Suy ra 

Mà 

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 

 . Xét hình bình hành ABCD có A( 1;0;0), C( 2; 2;2) và biết diện tích hình bình hành ABCD bằng  . Tọa độ điểm B

A. B(0;- 2;4)

B. B( -2; 3; 1)

C. B( 0;1; 3)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Điểm D thuộc d nên D (-2+ t; 3- 2t;1- 2t)

Khi đó 

Ta có:

Suy ra 

Từ (1) và ( 2) suy ra

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên 

Chọn D.

Ví dụ: 9

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 

 và mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 -2x – 4y + 2z+5= 0 . Tọa độ điểm M trên (S) sao cho d(M; d) đạt GTLN là:

A. (1; 2; -1).

B. ( 2;2; -1).

C.(0; 2; -1).

D. (-3; - 2; 1)

Hướng dẫn giải

+Mặt cầu ( S) có tâm I( 1;2; -1) bán kính R= 1

+ Đường thẳng d đi qua A( 2; 0;1) và có vecto chỉ phương 

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

Suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d=> H( 2; 2; -1)

Đường thẳng IH: đi qua I(1; 2; -1) và có vecto chỉ phương 

=> Phương trình IH: 

Tọa độ giao điểm của IH và (S) là nghiệm hệ phương trình: x2+ y2 + z2 -2x – 4y + 2z+5= 0 .

Thay (1); (2) và(3) vào (*) ta được :

(1+ t)2+ 4+1- 2( 1+ t) – 4.2 + 2. ( -1) + 5= 0

Ta có: 

Vậy khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn nhất khi M≡A( 0;2; -1).

Chọn C.

Ví dụ: 10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;3; -3)thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)2+(y-3)2+(z-5)2=100. Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là: 

=> Δ luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó 

Do đó, AB lớn nhất thì d(I,(Δ)) nhỏ nhất nên Δ qua H với H là hình chiếu vuông góc của I lên (α). Phương trình 

Do vậy 

 là véc tơ chỉ phương của Δ .

Phương trình của Δ: 

Chọn A.

Ví dụ: 11

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3; 3; -3) thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)2+(y-3)2+(z-5)2=100 và . Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là:

A. 

B. 

C.

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là: 

=> luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó 

 .

Do đó AB nhỏ nhất thì d(I,(Δ)) lớn nhất nên Δ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AI.

Do đó Δ có véctơ chỉ phương 

Vậy, phương trình của Δ:  .

Chọn A.