Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11.
Bạn đang xem: Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.
Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu (trùng nhau, cắt nhau) thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.
Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
- Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. ký hiệu: d((P);(Q)).
- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D" = 0 (D ≠ D") ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): x + 2y − 3z + 1 = 0 và (β): x + 2y − 3z − 4 = 0.
* Lời giải:
- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (α): x + 2y + 3z - 5 = 0 và (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0
* Lời giải:
- Ta cần đưa các hệ số (trước x,y,z) của mp (β) về giống với mp (α).
- Ta có, mp (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0
- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:
* Bài 3 (Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A"B"C"D" có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB"D") và (BC"D) song song.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:
A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).
A"(0; 0; 1); B"(1; 0; 1); C"(1; 1; 1); D"(0; 1; 1).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB"D") và (BC"D) song song.
- Ta có:
⇒ Vectơ pháp tuyến của mp (AB"D") là:
- Tương tự, có:
⇒ (AB"D") // (BC"D).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Xem thêm: Soạn Giáo Dục Công Dân Lớp 6 Sách Mới Kết Nối, Chân Trời, Cánh Diều
- Mặt phẳng (BC"D) có VTPT
1.(x - 1) + 1.(y – 0) - 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB"D") và (BC"D) chính là khoảng cách từ A đến (BC"D) và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng (AB"D") rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:
- Mặt phẳng (AB"D") có VTPT
(-1).(x - 0) - 1.(y – 0) + 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z = 0
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB"D") và (BC"D) là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song trong không gian
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha ):ax + by + cz + d = 0$ và $(\beta ):ax + by + cz + D = 0$ $(d \ne D).$ ta dùng công thức tính dưới đây.
Công thức: $d((\alpha );(\beta ))$ $ = d(A;(\beta ))$ $ = \frac{{|d – D|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ với $A \in (\alpha ).$
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$Tính khoảng cách $d$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
C. $d = 2\sqrt {11} .$
D. $d=11.$
Lời giải:
Chọn $M( – 1;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$
A. $R=6.$
B. $R=2.$
C. $R=1.$
D. $R=3.$
Lời giải:
Do $(P)//(Q)$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d((P);(Q))$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d((P);(Q)).$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(\alpha ):2x + y + 2z + 1 = 0$ và $(\beta ):2x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính tổng khoảng cách $d$ từ gốc tọa độ $O$ đến hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta ).$
A. $d = \frac{2}{3}.$
B. $d = \frac{4}{3}.$
C. $d=2.$
D. $d = \frac{1}{3}.$
Lời giải:
Ta có: $d(O;(\alpha )) = \frac{{|1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}$ và $d(O;(\beta )) = \frac{{|3|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1$ suy ra:
$d = {d_1} + {d_2} = \frac{4}{3}.$
Chọn đáp án B.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 2 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 2m – 1 = 0$ bằng $1.$
A. $\{ 3\} .$
B. $\{ 3, – 3\} .$
C. $\{ 0,3\} .$
D. $\{ 0, – 3\} .$
Lời giải:
Chọn $M( – 2;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d((P);(Q))$ $ = d(M;(Q))$ $ = \frac{{|2m – 3|}}{3}.$
Theo giả thiết: $\frac{|2 m-3|}{3}=1 \Leftrightarrow|2 m-3|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 m-3=3 \\ 2 m-3=-3\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=3 \\ m=0\end{array}\right.\right.$
Chọn đáp án C.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$ và $B(2;1;-1).$ Gọi $\vec n = (1;a;b)$, $(a;b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Tính $a + b.$
A. $2.$
B. $3.$
C. $-2.$
D. $-3.$
Lời giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(P)$, ta có:
$d(B;(P)) = BH \le AB$ $ \Rightarrow d{(B;(P))_{\max }} = AB.$
Vậy $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = (1;0; – 2).$
Suy ra $a = 0$ và $b = – 2$ $ \Rightarrow a + b = – 2.$
Chọn đáp án C.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. Vô số.
Lời giải:
Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} = – 4 \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$không đồng phẳng.
Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:
+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$
+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$
Chọn đáp án C.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Biết rằng qua $B$, $C$ có hai mặt phẳng cách đều $A$, $D.$ Tính tổng khoảng cách từ $O$ đến hai mặt phẳng đó.
A. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{5}.$
B. $\frac{{3\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$
C. $\frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$
D. $\frac{{9\sqrt {10} + 7\sqrt 6 }}{{15}}.$
Lời giải:
Kiểm tra được: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} \ne 0$ $ \Rightarrow A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:
+ Trường hợp 1:Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$
Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_p} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4)$, có phương trình:
$(P): – 2(x – 0) + 2(y – 2) – 4(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + 2z + 2 = 0.$
+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$
Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$ Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0)$, có phương trình:
$(Q): – 1(x – 0) – 3(y – 2) – 0(z – 0) = 0$ $ \Leftrightarrow – x – 3y + 6 = 0.$
Vậy $d(O;(P)) + d(O;(Q))$ $ = \frac{{9\sqrt {10} + 5\sqrt 6 }}{{15}}.$
Chọn đáp án B.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1; – 2)$, $C(0;2;0)$ và $D( – 1;3;2).$ Gọi $\vec n(1;b;0)$, $(b \in R)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua $B$, $C$ và cách đều $A$, $D.$ Tính ${b^2}.$
A. $16.$
B. $1.$
C. $4.$
D. $9.$
Lời giải:
Kiểm tra được: $| \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] . \overrightarrow{A D}=-4 \neq 0 \Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng. Vậy tồn tại hai mặt phẳng chứa $B$, $C$ và cách đều hai điểm $A$, $D$ là:
+ Trường hợp 1: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và song song với đường thẳng $AD.$
Mặt phẳng $(P)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_P} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( – 2;2; – 4).$
+ Trường hợp 2: Mặt phẳng chứa $B$, $C$ và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AD.$
Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;2;1).$
Mặt phẳng $(Q)$ qua $C(0;2;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {IB} ] = ( – 1; – 3;0).$
Theo giả thiết $\vec n(1;b;0)$ $ = {\vec n_Q} = ( – 1; – 3;0)$ $ \Rightarrow b = 3.$
Vậy ${b^2} = 9.$
Chọn đáp án D.
Tin tức - Tags: hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳng, song songCách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Chứng minh các BĐT về tổng, tích của dãy số bằng phương pháp làm trội, làm giảm, phương pháp quy nạp
Ví dụ tính tích phân hàm số lượng giác có lời giải
Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ
Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021
60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ