Xét phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\ \ \ (1)\) với \(a \neq 0\). Show Giả sử phương trình \((1)\) có hai nghiệm \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\) Tính tổng hai nghiệm của phương trình \((1)\) ta được: \(\begin{align} x_1+x_2 &=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\dfrac{(-b+\sqrt{\Delta})+(-b-\sqrt{\Delta}) }{2a}\\ &=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}. \end{align} \) Do đó \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}.\) Tính tích hai nghiệm của phương trình \((1)\), ta được: \(\begin{align} x_1 \cdot x_2 &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=\dfrac{(-b+\sqrt{\Delta})(-b-\sqrt{\Delta})}{2a.2a}\\ &=\dfrac{-(\sqrt{\Delta}-b)(\sqrt{\Delta}+b)}{2a.2a}\\ &=\dfrac{-(\Delta -b^2)}{4a^2}\\ &=\dfrac{-(b^2-4ac-b^2)}{4a^2}\\ &=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}. \end{align} \) Do đó \(x_1 \cdot x_2 =\dfrac{c}{a}\) Trường hợp phương trình \((1)\) có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\) ta cũng có: +) \(x_1+x_2=2x_1=2.\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=-\dfrac{b}{a};\) +) \(x_1 \cdot x_2 = (x_1)^2=\left( -\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}. \ \ (2)\) Vì phương trình có nghiệm kép, tức là: \(\begin{align} \Delta =0 & \Leftrightarrow b^2-4ac=0\\ & \Leftrightarrow b^2=4ac\ \ \ (3) \end{align} \) Thay \((3)\) vào \((2)\) ta được: \(x_1 \cdot x_2 =\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}.\) Như vậy, các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 +bx +c=0\ (a \neq 0)\) có mối liên hệ với các hệ số \(a,\ b\) và \(c\) của phương trình đó. Mối liên hệ này đã được nhà toán học người Pháp, Phrăng-xoa Vi-ét, phát hiện vào thế kỷ thứ XVII. Ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông. Định lí Vi-ét [edit]Nếu \(x_1,\ x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0) \) thì: \((*)\ \left\{\begin{array}{ll} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\ x_1 \cdot x_2 =\dfrac{c}{a} \end{array} \right.\) Ta thấy \((*)\) là hệ hai phương trình bậc nhất, do đó nếu biết một nghiệm thì ta có thể suy ra nghiệm còn lại của phương trình. Quy ước: Để dễ dàng tính toán, ta thường đặt tổng hai nghiệm là \(S\) và tích hai nghiệm là \(P\). Khi đó: \(\left\{\begin{array}{ll} x_1 + x_2 =S=-\dfrac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 =P= \dfrac{c}{a} \end{array} \right.\) Như vậy, khi cho một phương trình bậc hai (đã biết các hệ số \(a,\ b,\ c\)) và một nghiệm ta có thể dễ dàng tìm nghiệm còn lại bằng cách giải hệ phương trình \((*)\). Ví dụ 1: Biết phương trình bậc hai \(2x^2-7x+5=0\) có một nghiệm \(x_1=1\) tìm nghiệm còn lại. Giải: Để tìm nghiệm còn lại của phương trình ta chỉ cần sử dụng giả thiết của \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) hoặc tích \(x_1 \cdot x_2 =\dfrac{c}{a}.\) Ta có \(a=2,\ b=-7,\ c=5.\) Cách 1: sử dụng \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) Theo định lí Vi-ét, ta có: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-7}{2}\) \(\Leftrightarrow 1+x_2= \dfrac{7}{2}\) \(\Leftrightarrow x_2= \dfrac{7}{2}-1\) \(\Leftrightarrow x_2= \dfrac{5}{2}.\) Cách 2: Sử dụng \(x_1 \cdot x_2 =\dfrac{c}{a}\) Theo định lí Vi-ét, ta có: \(x_1 \cdot x_2 =\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow 1. x_2 = \dfrac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow x_2 = \dfrac{5}{2} \) Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là \(x_2=\dfrac{5}{2}.\) Một số trường hợp đặc biệt [edit]Xét phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0)\ \ \ (1)\) Nếu \(a+b+c=0\) tức là \(a.1^2+b.1+c=0\) thì phương trình \((1)\) có một nghiệm là \(x_1=1.\) Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có: \(x_1 . x_2 =\dfrac{c}{a}\) \(\Leftrightarrow 1.x_2=\dfrac{c}{a}\) \(\Leftrightarrow x_2=\dfrac{c}{a}.\) Nếu \(a-b+c=0\) tức là \(a.(-1)^2+b.(-1)+c=0\) thì phương trình \((1)\) có một nghiệm là \(x_1=-1.\) Theo định lí Vi-ét, ta có: \(x_1 . x_2 =\dfrac{c}{a}\) \(\Leftrightarrow (-1).x_2=\dfrac{c}{a}\) \(\Leftrightarrow x_2=-\dfrac{c}{a}.\) Tổng quát: +) Nếu \(a+b+c=0\) thì phương trình \((1)\) có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\dfrac{c}{a}\). +) Nếu \(a-b+c=0\) thì phương trình \((1)\) có một nghiệm là \(x_2=-1\) và nghiệm còn lại là \(x_2=-\dfrac{c}{a}.\) Tìm hai số biết tổng và tích [edit]Giả sử ta cần tìm hai số \(x_1\) và \(x_2\) biết tổng \(x_1 +x_2=S\) và tích của chúng là \(P=x_1 \cdot x_2\) Ta có: \(x_1+x_2=S \Leftrightarrow x_2=S -x_1.\) Thay \(x_2=S-x_1\) vào tích \(P\) ta được: \(x_1. (S-x_1)=P\) \(\Leftrightarrow x_1.S-x_1^2=P\) \(\Leftrightarrow x_1^2-Sx_1+P=0\) Từ phương trình trên ta tìm được \(x_1\) thay vào một trong hai giả thiết ban đầu tổng \(x_1+x_2=S\) hoặc tích \(x_1 \cdot x_2 =P\) ta tìm được số còn lại \(x_2.\) Như vậy nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là nghiệm của phương trình: Điều kiện để có hai số đó là phương trình \((*)\) có nghiệm. Tức là \(\Delta =S^2-4P \geq 0.\) Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(30\) và tích của chúng bằng \(216.\) Giải: Theo đề bài \(S=30\) và \(P=216.\) Do đó hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: \(x^2-30x+216=0\ \ \ (**)\) Ta có: \(\Delta' =(-15)^2-1.216=225-216=9>0\) nên \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3.\) Phương trình \((**)\) có hai nghiệm là: \(\left\{\begin{array}{ll} x_1=\dfrac{15+3}{1}=18 \\ x_2=\dfrac{15-3}{1}=12 \end{array} \right.\) Vậy hai số cần tìm là \(12\) và \(18\). Có thể em chưa biết? [edit] François Viète Phrăng-xoa Vi-ét (F.Vi-ét) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học, luật sư, chính trị gia, về toán học ông hoạt động trong lĩnh lực đại số. Ông là người sáng tạo nên cách dùng cái chữ cái để thể hiện cho các ẩn số của một phương trình. Ông khám phá ra mối quan hệ giữa các nghiệm của một đa thức với các hệ số của đa thức đó, ngày nay được gọi là định lí Vi-ét. Ông phục vụ như là một ủy viên hội đồng cơ mật dưới thời vua Henry III và Henry IV. Ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã của quân Tây Ban Nha trong cuộc chiến tranh hồi đầu thế kỉ XII mà nhớ đó quân Pháp đã phá được nhiều âm mưu của đối phương. Ông mất năm 1603. Page 2
Không có sự kiện nào sắp diễn ra Page 3
Đường hướng và cách tiếp cận xây dựng khoá học Khoá học được xây dựng dựa trên năng lực đầu ra của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo dành cho học sinh hết lớp 9. Mục tiêu của mỗi bài học được xây dựng bám theo thang tư duy mới của Bloom đi từ thấp lên cao, hướng tới khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng của học sinh. Các bài học về thành tố ngôn ngữ như Từ vựng, Phát âm, Ngữ pháp được xây dựng theo hướng tiếp cận lồng ghép, gắn kết với nhau và với chủ đề của bài học, tạo cho học sinh có thêm nhiều cơ hội sử dụng tiếng Anh. Các bài học về kỹ năng được xây dựng nhằm hình thành năng lực chủ đạo theo chương trình sách giáo khoa, đồng thời có mở rộng sang một số năng lực chưa được hướng dẫn kỹ càng trong sách giáo khoa. Các tiểu kỹ năng của năng lực đọc hiểu và viết được hướng dẫn chi tiết, cụ thể, theo từng bước nhỏ, giúp học sinh có khả năng hình thành được năng lực đọc và viết sau khi kết thúc bài học. Nội dung khoá học Khoá học bám sát chương trình sách giáo khoa tiếng Anh 9 (chương trình thí điểm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo) về chủ đề, chủ điểm, kỹ năng, kiến thức. Mỗi bài học được chia thành các nội dung chính: (1) Tóm tắt lý thuyết (Lesson summary): hướng dẫn về kiến thức ngôn ngữ/ kỹ năng ngôn ngữ dưới dạng hình ảnh hoá hay sơ đồ tư duy để học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức/ các bước kỹ năng. (2) Video bài giảng (phát âm): video ngắn giúp học sinh ghi nhớ những kiến thức trọng tâm với sự hướng dẫn của thầy/ cô giáo. (3) Bài tập thực hành (practice task) giúp học sinh thực hành nội dung kiến thức, kỹ năng vừa được học. (4) Quiz: đây là hình thức đánh giá thường xuyên dưới dạng trặc nghiệm khách quan giúp giáo viên người học đánh giá được năng lực vừa được hình thành trong mỗi bài học. (5) Kiểm tra cả bài (unit test): đây là hình thúc đánh giá tổng kết dưới dạng trắc nghiệm khách quan, và tự luận giúp giáo viên và người học đánh giá được năng lực được hình thành trong cả bài học lớn (unit). Mục tiêu khoá học Khoá học tiếng Anh 9 được xây dựng với mục đích hỗ trợ học sinh theo học chương trình tiếng Anh 6 mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo một cách cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Kết thúc mỗi bài học trong khoá học, học sinh có khả năng vận dụng được những kiến thức và kỹ năng học được trong chương trình sách giáo khoa mới vào những bối cảnh thực hành tiếng Anh tương tự. Đối tượng của khóa học Khóa học được thiết kế dành cho các em học sinh lớp 9, tuy nhiên các em học sinh lớp trên vẫn có thể học để ôn lại kiến thức, hoặc sử dụng để tra cứu các kiến thức đã quên.
|
