Có nhiều phép đo lan truyền hoặc phân tán trong thống kê. Mặc dù phạm vi và độ lệch chuẩn thường được sử dụng nhiều nhất, nhưng có nhiều cách khác để định lượng sự phân tán. Chúng ta sẽ xem xét cách tính toán độ lệch tuyệt đối trung bình cho một tập dữ liệu. Định nghĩa Chúng tôi bắt đầu với định nghĩa về độ lệch tuyệt đối trung bình, cũng được gọi là độ lệch tuyệt đối trung bình. Công thức được hiển thị với bài viết này là định nghĩa chính thức về độ lệch tuyệt đối trung bình.
Nó có thể có ý nghĩa hơn để xem xét công thức này như là một quá trình, hoặc một loạt các bước, mà chúng ta có thể sử dụng để có được số liệu thống kê của chúng tôi.
- Chúng ta bắt đầu với trung bình, hoặc đo lường trung tâm , của một tập dữ liệu, mà chúng ta sẽ biểu thị bằng m.
- Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm ra giá trị của mỗi giá trị dữ liệu đi chệch khỏi m. Điều này có nghĩa là chúng tôi lấy sự khác biệt giữa mỗi giá trị dữ liệu và m.
- Sau đó, chúng ta lấy giá trị tuyệt đối của mỗi khác biệt so với bước trước. Nói cách khác, chúng tôi thả bất kỳ dấu hiệu tiêu cực cho bất kỳ sự khác biệt. Lý do để làm điều này là có độ lệch dương và âm từ m. Nếu chúng ta không tìm ra cách để loại bỏ các dấu hiệu tiêu cực, tất cả các độ lệch sẽ hủy bỏ nhau nếu chúng ta cộng chúng lại với nhau.
- Bây giờ chúng ta cộng tất cả các giá trị tuyệt đối này lại với nhau.
- Cuối cùng, chúng ta chia số tiền này cho n , là tổng số giá trị dữ liệu. Kết quả là độ lệch tuyệt đối trung bình.
Biến thể Có một số biến thể cho quá trình trên. Lưu ý rằng chúng tôi đã không xác định chính xác m là gì. Lý do cho điều này là chúng ta có thể sử dụng một loạt các số liệu thống kê cho m. Thông thường đây là trung tâm của tập dữ liệu của chúng tôi và vì vậy bất kỳ phép đo nào của xu hướng trung tâm đều có thể được sử dụng.
Các phép đo thống kê phổ biến nhất của trung tâm tập dữ liệu là trung bình , trung bình và chế độ.
Do đó, bất kỳ giá trị nào trong số này có thể được sử dụng như m trong việc tính toán độ lệch tuyệt đối trung bình. Đây là lý do tại sao nó là phổ biến để tham khảo độ lệch tuyệt đối trung bình về trung bình hoặc độ lệch tuyệt đối trung bình về trung bình. Chúng ta sẽ thấy một số ví dụ về điều này.
Ví dụ - Độ lệch tuyệt đối trung bình về trung bình Giả sử chúng ta bắt đầu với tập dữ liệu sau:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Giá trị trung bình của tập dữ liệu này là 5. Bảng sau đây sẽ tổ chức công việc của chúng tôi trong việc tính toán độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình.
| Giá trị dữ liệu | Sai lệch từ trung bình | Giá trị tuyệt đối của độ lệch | | 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 | | 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 | | 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 | | 3 | 3 - 5 = -2 | | -2 | = 2 | | 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 9 | 9 - 5 = 4 | | 4 | = 4 | | Tổng số độ lệch tuyệt đối: | 24 |
Bây giờ chúng ta chia số tiền này cho 10, vì có tổng cộng mười giá trị dữ liệu. Độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình là 24/10 = 2,4.
Ví dụ - Độ lệch tuyệt đối trung bình về trung bình Bây giờ chúng ta bắt đầu với một tập dữ liệu khác:
1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.
Giống như tập dữ liệu trước đó, giá trị trung bình của tập dữ liệu này là 5.
| Giá trị dữ liệu | Sai lệch từ trung bình | Giá trị tuyệt đối của độ lệch | | 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 | | 1 | 1 - 5 = -4 | | -4 | = 4 | | 4 | 4 - 5 = -1 | | -1 | = 1 | | 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 | | 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 | | 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 | | 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 | | 10 | 10 - 5 = 5 | | 5 | = 5 | | Tổng số độ lệch tuyệt đối: | 18 |
Do đó độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình là 18/10 = 1,8. Chúng tôi so sánh kết quả này với ví dụ đầu tiên. Mặc dù giá trị trung bình là giống hệt nhau cho mỗi ví dụ này, nhưng dữ liệu trong ví dụ đầu tiên được trải rộng hơn. Chúng ta thấy từ hai ví dụ này, độ lệch tuyệt đối trung bình từ ví dụ đầu tiên lớn hơn độ lệch tuyệt đối trung bình từ ví dụ thứ hai. Độ lệch tuyệt đối trung bình càng lớn thì độ phân tán dữ liệu càng lớn.
Ví dụ - Độ lệch tuyệt đối trung bình Giới thiệu về trung vị Bắt đầu với cùng một tập dữ liệu làm ví dụ đầu tiên:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Trung bình của tập dữ liệu là 6. Trong bảng sau, chúng tôi trình bày chi tiết về phép tính độ lệch tuyệt đối trung bình về trung vị.
| Giá trị dữ liệu | Độ lệch từ trung bình | Giá trị tuyệt đối của độ lệch | | 1 | 1 - 6 = -5 | | -5 | = 5 | | 2 | 2 - 6 = -4 | | -4 | = 4 | | 2 | 2 - 6 = -4 | | -4 | = 4 | | 3 | 3 - 6 = -3 | | -3 | = 3 | | 5 | 5 - 6 = -1 | | -1 | = 1 | | 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 | | 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 | | 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 | | 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 | | 9 | 9 - 6 = 3 | | 3 | = 3 | | Tổng số độ lệch tuyệt đối: | 24 |
Một lần nữa, chúng tôi chia tổng số cho 10, và có được độ lệch trung bình trung bình về trung bình là 24/10 = 2,4.
Ví dụ - Độ lệch tuyệt đối trung bình Giới thiệu về trung vị Bắt đầu với cùng một tập dữ liệu như trước:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Lần này chúng ta thấy chế độ của tập dữ liệu này là 7. Trong bảng sau, chúng tôi trình bày chi tiết về phép tính độ lệch tuyệt đối trung bình về chế độ.
| Dữ liệu | Độ lệch từ chế độ | Giá trị tuyệt đối của độ lệch | | 1 | 1 - 7 = -6 | | -5 | = 6 | | 2 | 2 - 7 = -5 | | -5 | = 5 | | 2 | 2 - 7 = -5 | | -5 | = 5 | | 3 | 3 - 7 = -4 | | -4 | = 4 | | 5 | 5 - 7 = -2 | | -2 | = 2 | | 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 | | 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 | | 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 | | 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 | | 9 | 9 - 7 = 2 | | 2 | = 2 | | Tổng số độ lệch tuyệt đối: | 22 |
Chúng tôi chia tổng các độ lệch tuyệt đối và thấy rằng chúng ta có độ lệch tuyệt đối trung bình về phương thức 22/10 = 2.2.
Sự thật về độ lệch tuyệt đối trung bình Có một vài thuộc tính cơ bản liên quan đến độ lệch tuyệt đối trung bình
- Độ lệch tuyệt đối trung bình về trung bình luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình.
- Độ lệch chuẩn lớn hơn hoặc bằng độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình.
- Độ lệch tuyệt đối trung bình đôi khi được viết tắt bởi MAD. Thật không may điều này có thể mơ hồ như MAD có thể luân phiên tham khảo độ lệch tuyệt đối trung bình.
- Độ lệch tuyệt đối trung bình cho một phân bố chuẩn là khoảng 0,8 lần kích thước của độ lệch chuẩn.
Sử dụng độ lệch tuyệt đối trung bình Độ lệch tuyệt đối trung bình có một vài ứng dụng. Ứng dụng đầu tiên là thống kê này có thể được sử dụng để dạy một số ý tưởng đằng sau độ lệch chuẩn.
Độ lệch tuyệt đối trung bình về giá trị trung bình dễ tính toán hơn độ lệch chuẩn. Nó không đòi hỏi chúng ta phải căn chỉnh độ lệch, và chúng ta không cần phải tìm một căn bậc hai ở cuối tính toán của chúng ta. Hơn nữa, độ lệch tuyệt đối trung bình được kết nối trực quan hơn với sự lây lan của tập dữ liệu so với độ lệch chuẩn. Đây là lý do tại sao độ lệch tuyệt đối trung bình đôi khi được dạy trước tiên, trước khi giới thiệu độ lệch chuẩn.
Một số đã đi xa như vậy để lập luận rằng độ lệch chuẩn nên được thay thế bằng độ lệch tuyệt đối trung bình. Mặc dù độ lệch chuẩn là quan trọng đối với các ứng dụng khoa học và toán học, nhưng nó không trực quan như độ lệch tuyệt đối trung bình. Đối với các ứng dụng hàng ngày, độ lệch tuyệt đối trung bình là một cách hữu hình hơn để đo lường mức độ lây lan của dữ liệu.
Khi làm việc với dữ liệu, có nhiều cách khác nhau để xem xét khoảng biến thiên và độ trải của các giá trị trong tập hợp mà phổ biến nhất là tính số bình quân. Hầu hết chúng ta đều đã học được rằng để tính số bình quân, bạn cần tìm tổng của tập hợp rồi chia cho số giá trị trong nhóm. Dạng toán nâng cao hơn là tính độ lệch tuyệt đối bình quân. Phép tính này cho thấy các giá trị trong tập hợp gần với số bình quân như thế nào. Để tính độ lệch tuyệt đối bình quân so với số bình quân của tập hợp dữ liệu, hãy tính độ lệch tuyệt đối của từng điểm dữ liệu so với số bình quân, sau đó tính bình quân của các độ lệch đó.
-
1
Thu thập và đếm dữ liệu. Đối với bất kỳ tập hợp dữ liệu nào, số bình quân là thước đo giá trị trung tâm. Tùy vào loại dữ liệu mà số bình quân có thể cho biết giá trị trung tâm của tập hợp đó. Để tìm số bình quân, trước tiên bạn cần thu thập dữ liệu thông qua thực nghiệm hoặc từ chính đề bài được cho.[1]
- Ví dụ: ta có tập hợp dữ liệu gồm các giá trị 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8 và 12. Tập hợp này đủ nhỏ để đếm, bạn có thể dễ dàng nhận thấy có 8 số trong tập hợp.
- Trong thống kê, biến số hoặc thường được sử dụng để thể hiện số giá trị trong tập dữ liệu.
-
2
Tìm tổng các giá trị trong tập dữ liệu. Bước đầu tiên trong quá trình tính số bình quân là tính tổng tất cả điểm dữ liệu. Trong hệ thống ký hiệu thống kê, mỗi giá trị được đại diện bởi biến số . Chữ cái sigma viết hoa trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là tổng của các giá trị và được ký hiệu bởi . Đối với ví dụ trên, tổng các giá trị sẽ là:[2]
-
3
Thực hiện phép chia để tìm số bình quân. Để tìm số bình quân, bạn lấy tổng vừa rồi chia cho số giá trị. Số bình quân thường được ký hiệu bằng , đây là chữ cái mu trong tiếng Hy Lạp. Vậy, số bình quân của tập dữ liệu trong ví dụ là:[3]
-
1
Lập bảng. Bảng với 3 cột sẽ giúp duy trì thứ tự các giá trị và bạn có thể tính dễ dàng hơn. Hãy ghi tiêu đề cột đầu tiên là , cột thứ hai là và cột thứ ba là .[4]
- Điền các điểm dữ liệu của bài toán vào cột đầu tiên.
-
2
Tính độ lệch của từng điểm dữ liệu. Trong cột thứ hai với tiêu đề , bạn sẽ tính độ lệch hay hiệu giữa từng điểm dữ liệu với số bình quân của tập hợp giá trị. Chỉ cần lấy từng giá trị trong dữ liệu trừ đi số bình quân.[5]
- Trong ví dụ của bài viết, các độ lệch sẽ là:
- Để kiểm tra xem những kết quả này có đúng không, bạn có thể tính tổng các giá trị trong cột độ lệch. Nếu tổng này bằng 0 nghĩa là bạn tính đúng. Nếu tổng này khác 0, có khả năng số bình quân không đúng hoặc bạn đã tính sai một hay vài độ lệch. Hãy dò lại từng phép tính.
-
3
Tình giá trị tuyệt đối của độ lệch. Khi tính độ lệch của từng điểm dữ liệu so với số bình quân, chúng ta chỉ quan tâm độ lớn của chênh lệch chứ không xét đến hướng (âm hoặc dương). Lúc này, bạn cần tìm giá trị tuyệt đối của độ lệch. Giá trị tuyệt đối được ký hiệu bởi hai dấu gạch dọc | |.[6]
- Trong toán học, giá trị tuyệt đối dùng để đo khoảng cách hoặc kích thước chứ không xét về hướng.
- Để tìm giá trị tuyệt đối, bạn chỉ cần bỏ dấu âm khỏi mỗi số trong cột thứ hai và điền vào cột thứ ba như sau :
-
4
Tính bình quân của các giá trị độ lệch tuyệt đối. Sau khi hoàn tất cột thứ ba trong bảng, hãy tính trung bình cộng của các giá trị tuyệt đối ở cột thứ ba. Tương tự như khi bạn tìm số bình quân của tập dữ liệu, hãy lấy tổng các độ lệch chia cho số giá trị.[7]
- Tiếp tục ví dụ này, độ lệch tuyệt đối bình quân sẽ là:
-
5
Giải thích kết quả. Độ lệch tuyệt đối bình quân là thước đo mức độ chặt chẽ của các giá trị trong dữ liệu được nhóm. Giá trị này trả lời cho câu hỏi: “Các điểm dữ liệu gần với số bình quân như thế nào?” [8]
- Như trong tập dữ liệu trên, số bình quân là 9 và khoảng cách trung bình giữa các giá trị so với số bình quân là 2,75. Lưu ý rằng một số giá trị sẽ nằm gần số bình quân hơn so với 2,75, một số khác sẽ cách xa hơn. Tuy nhiên, đó là khoảng cách trung bình.
- Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn tính nhanh hơn.
|
