Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Vậy công thức cấp số cộng là gì? Điều kiện thành lập cấp số cộng như thế nào? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Công thức cấp số cộng

d là công sai.

II. Số hạng thứ n của cấp số cộng

III.Điều kiện lập thành cấp số cộng

Ba số hạng

là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi với

IV. Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

Chú ý

a. Dãy số

là một cấp số cộng, công sai d không phụ thuộc vào n

c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua

V. Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức:

Bước 2: Kết luận:

• Nếu d là số không đổi thì dãy
   là CSC.
• Nếu d thay đổi theo n thì dãy  không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

• Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu
   công sai d.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát

VI. Bài tập cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp cấp số cộng

với . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Gợi ý

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Bài 2: Cho một CSC có

. Tìm d ?

Gợi ý

Bài 3: Cho một CSC có

 Tìm d?

Gợi ý

Bài 4: Cho CSC

thỏa:

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính

Gợi ý

Từ giả thiết bài toán, ta có:

1. Số hạng thứ 100 của cấp số:

2. Tổng của 15 số hạng đầu:

3. Ta có:

Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:

Cập nhật: 13/07/2021

1. Định nghĩa

Dãy số \(u_n\) là một cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_n+ d\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(d\) là hằng số.

\(d =  u_{n+1}-u_n\) được gọi là công sai.

* \(d = 0\): CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số \(3;6;9;12;15\) là một cấp số cộng vì:

\(\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\)

Đây là CSC có công sai \(d = 3\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: \(u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2)\). ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: \(d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\)

3. Tính chất

\( u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\)

Ví dụ:

Cho ba số \(3;x;9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x.\)

Ta có: \(x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6\).

Vậy \(x = 6\).

4. Tổng \(n\) số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  \(S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

\({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)

\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tính \({S_{20}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\)

Loigiaihay.com

Tổng n số hạng đầu tiên: 

\(S_n = u_1 + u_2 + ..... + u_n = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n) = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]\)

Cấp số cộng là phần kiến thức quan trọng trong lớp 11 và được áp dụng rất nhiều trong tính toán. Vậy nên, nắm chắc phần kiến thức này là rất quan trọng để có thể giải tốt các bài toán và đạt điểm cao. Cùng VUIHOC ôn lại các công thức cấp số cộng lớp 11 và giải các ví dụ vận dụng nhé!

Cấp số cộng là khái niệm để chỉ một dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng đằng trước và một số d (công sai) cố định. 

$\Leftrightarrow \forall n \geqslant 2$, $U_{n-1} + d$, với $n \in N^{*}$

2. Tính chất

Nếu $(U_{n})$ là cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, nghĩa là $U_{k}$ = $\frac{U_{k-1}+U_{k+1}}{2}$

3. Tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình đại số THPT, các em học sinh đã được học về cấp số cộng và ứng dụng của các công thức cấp số cộng. Dưới đây, VUIHOC tổng hợp cho các em 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thường sử dụng nhất.

3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung

Theo định nghĩa, xét $U_{n}$ là cấp số cộng với công sai d thì khi đó ta có công thức: 

$U_{n}$ = $U_{n-1}$ + d $(n\geqslant 2)$

3.2. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính số hạng tổng quát bằng cách sử dụng số hạng đầu kèm công sai: 

$U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$

3.3. Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề

Công thức cấp số cộng có 2 số liền kề hay còn gọi là tính chất của cấp số cộng. Ta cùng xét CSC $U_{n}$ với số hạng đằng trước là $U_{n-1}$ và số hạng liền kề đằng sau là $U_{n-1}$:

$U_{n}$ = $\frac{U_{n-1}+U_{n-1}}{2}$ hay $U_{n+1}$ + $U_{n-1}$ = $2U_{n}$

3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kì

$U_{n}$ = $U_{m}$ + $(n-m)d$

3.5. Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

3.5.1. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n 

$S_{n}$ = $U_{1}$ + $U_{2}$ + ... + $U_{n}$ = $\frac{n(U_{1}+U_{n})}{2}$ $(n\geqslant 1)$

3.5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

$S_{n}$ = $n.U_{1}$ + $\frac{n.(n-1)}{2}d$ $(n\geqslant 2)$

4. Vận dụng công thức cấp số cộng để giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập 1: Áp dụng công thức định nghĩa để giải CSC sau:

Dãy số 3;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì: 

6 = 3 + 3

9 = 6 + 3

12 = 9 + 3

15 = 12 + 3

Đây là CSC có công sai d = 3 và số hạng đầu $U_{1}$= 3

Bài tập 2: Công thức tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng $(U_{n})$ có $U_{1}$ = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?

Lời giải: 

Theo công thức thứ 2 phần I, ta có: 

$U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$ = -2 + $(n-1).7$ = 7n - 9

Bài tập 3: Tìm số hạng bất kì

Cho CSC $(U_{n})$ với điều kiện d=3, $U_{1}$= -1. Tính $S_{20}$.

Lời giải:

Ta có $S_{20}$ = $20U_{1}$ + $\frac{20.(20-1)}{2}$.d

                     = 20. (-1) + $\frac{20.19}{2}$. 3

                     = 550

Bài tập 4: Tìm công sai 

Cho CSC $(U_{n})$ có tổng 100 số hạng đầu bằng 24850, $U_{1}$=1. Công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ta có $S_{100}$ = 24850 $\Leftrightarrow \frac{n}{2}(U_{1}$+$U_{n})$=24850$\Leftrightarrow U_{100}$ = 496.

Vậy $U_{100}$ = $U_{1}$ + 99d $\Leftrightarrow$ d = $\frac{U_{100}-U_{1}}{99}$ $\Leftrightarrow$ d = 5

Bài tập 5: Tính số hạng đầu của cấp số cộng

Thông qua những thông tin trong bài viết, hi vọng các bạn đã có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến công thức cấp số cộng để vận dụng giải bài tập cấp số cộng thật chính xác. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!

>> Xem thêm:

Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000₫

Chỉ còn 900.000 ₫

Chỉ còn 2 ngày