.PNG) Show Hướng dẫn giải:
.PNG) \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( O \right) = O\\{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\) và ĐBD(O)=O; ĐBD(B)=B; ĐBD(C)=A. Vậy ảnh của O là O, A là B và B là A.
\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\left( {ABC} \right) = A'B'C\) \({T_{\overrightarrow {AA''} }}\left( {A'B'C} \right) = A''B''C''.\) Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình thực hiện liên tiếp hai phép\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\) và \({T_{\overrightarrow {AA''} }}.\) Ví dụ 2:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 600 và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OE} .\) Hướng dẫn giải:.PNG) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OBC\) \(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( O \right) = E\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( B \right) = O\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( C \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OE} }}\left( {OBC} \right) = EOD\) Vậy ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình đã cho là \(\Delta EOD\). Ví dụ 3:Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hình thang AEOB và hình thang CFOD bằng nhau. Hướng dẫn giải:.PNG) Ta có: Đo(O)=O; ĐO(A)=C; ĐO(E)=F; ĐO(B)=D. Suy ra: ĐO(AEOB)=CFOD. Vậy có phép dời hình là phép đối xứng tâm O biến hình thang AEOB thành hình thang CFOD. Vậy hai hình thang này bằng nhau.
Phương pháp giảiSử dụng định nghĩa phép quay \({Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}\left( M \right) = M' \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} OM' = OM\\ \left( {OM,OM'} \right) = \alpha \end{array} \right.\) Hướng dẫn giải Câu a: Ta có: \(\overrightarrow{OA}=(-3;2);\overrightarrow{OA'}=(2;3)\) suy ra: \(\left |\overrightarrow{OA} \right |=\sqrt{9+4}= \sqrt{13}; \left |\overrightarrow{OA'} \right |=\sqrt{4+9}= \sqrt{13}\) \(\Rightarrow \left | \overrightarrow{OA} \right |= \left | \overrightarrow{OA'} \right |\) và \(\overrightarrow{OA} .\overrightarrow{OA'} =-3.2+2.3=0\) Dựa vào biểu diễn điểm A và A' trên hệ trục tọa độ, suy ra góc quay âm. Vậy \(A'=Q_{(O;-90^0)} (A)\) Tương tự: \(\overrightarrow{OB}=(-4;5);\overrightarrow{OB'}=(5;4)\) Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}=-4.5+5.4 = 0\\ \left |\overrightarrow{OB} \right |=\left |\overrightarrow{OB'} \right |=\sqrt{41} \end{matrix}\right.\) Vậy \(B'=Q_{(O;-90^0)} (B)\) \(\overrightarrow{OC}=(-1;3);\overrightarrow{OC'}=(3;1)\) Suy ra \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OC'}=-1.3+3.1 =0 \\ \left |\overrightarrow{OC} \right |=\left |\overrightarrow{OC'} \right |=\sqrt{10} \end{matrix}\right.\) Vậy \(C'=Q_{(O;-90^0)} (C)\) Hai tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua \(Q_{(O;-90^0)}\). (đpcm) Câu b: Từ câu a ta thấy ảnh của tam giác ABC qua \(Q_{(O;-90^0)}\) là tam giác A'B'C'. Vậy tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép đối xứng trục Ox. Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_{A_1}=x_A\\ y_{A_1}=y_A \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A_1}=2\\ y_{A_1}= -3 \end{matrix}\right.\) hay A1(2; -3) Tương tự ta có: B1(5;-4), C1(3;-1) 2. Giải bài 2 trang 24 SGK Toán học 11Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. Phương pháp giảiGọi L là trung điểm của OF, thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sau: - Phép đối xứng trục EO. - Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {EO}\). Các phép tịnh tiến và phép đối xứng trục hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Hướng dẫn giảiXét phép đối xứng trục ĐEH ta có: F = ĐEH (K), B = ĐEH (B), E = ĐEH(E), ĐEH (J) = J' (J' là trung điểm OF). Vậy ảnh của hình thang AEJK qua ĐEH là hình thang BEJ'F (1). Xét phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {EO} }}\) ta có \(F = {T_{\overrightarrow {EO} }}(B),\,I = {T_{\overrightarrow {EO} }}(J'),\,C = {T_{\overrightarrow {EO} }}(F),O = {T_{\overrightarrow {EO} }}(E).\) Vậy hình thang FOIC là ảnh của hình thang BEJ'F qua \({T_{\overrightarrow {EO} }}\) (2). Từ (1) và (2) ta có tồn tại phép dời hình (thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là đối xứng trục và tịnh tiến ta cũng được một phép dời hình) biến hình thang AEJK thành hình thang FOIC hay hai hình thang đó bằng nhau. 3. Giải bài 3 trang 24 SGK Toán học 11Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C'. Phương pháp giảiPhép dời hình biến các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng, do đó biến các trung tuyến thành các trung tuyến tương ứng. Hướng dẫn giảiGọi phép dời hình đó là F. Do F biến các đoạn thẳng AB, AC tương ứng thành các đoạn thẳng A'B', A'C' nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, AC tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm M', N' của các đoạn thẳng A'B', A'C'. Vậy F biến các trung tuyến AM, CN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến A'M', C'N' của tam giác A'B'C'. Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của tam giác ABC là giao của AM và CN thành trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là giao của A'M' và C'N' |
