120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)
Show Trang trước Trang sau
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi) Câu 31: Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = x.(x - 1)2.(x - 2)3.(x - 3)5. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ? Quảng cáo
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Ta có Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 32: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ? Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -1. B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1. C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = -2. D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -2.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau: • f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2 Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). • f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1 Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x). Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2 Suy ra chọn đáp án C. Câu 33: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x + m|) có 5 điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. Vô số.
Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm) Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương ⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0). Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến. Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng. Suy ra chọn đáp án D. Quảng cáo
Câu 34: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số.
Từ đồ thị f'(x) ta có: Suy ra bảng biến thiên của f(x) Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị). Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn • Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1. • Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên . Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0} Suy ra chọn đáp án B. Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x4 – 2mx2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?
Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx - Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1) Gọi A(0;4), B(-√m; -m4 + 4), C(-√m; -m4 + 4) SABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m + Ta có: ; BC = 2√mvà nên:Ta tìm min của R: * Ta có: Do đó: Dấu “=” xảy ra khi: Suy ra chọn đáp án B. Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Ta có g(x) = f(x) – x nên: g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2). g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) = 0 Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x2 - 1).(4 - x) với mọi x∈ R. Hàm số g(x) = f(3 - x) có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 0 B. 1 C. 2 D.3
Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)2 - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1); g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2. Suy ra chọn đáp án B. Quảng cáo
Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x - 1).(x - 4)2 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x2) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Ta có g(x) = f(x2) nên g'(x) = 2xf'(x2) = 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 g'(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 = 0 Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số. Vậy hàm số g(x) = f(x2) có ba điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 39: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2 - 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x2 – 8x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x) = 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)]; g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)] = 0 Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 40: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)2(x + 4)3 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = [f'(x)]2 - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x); g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)2(x + 4)3 = 0 Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4. Suy ra chọn đáp án B. Câu 41: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x với mọi x. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Ta có: g'(x) = [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x g'(x) = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0 Nhận thấy x = 0 và là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B.
Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - 2)5.(x + 3)3 với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)4(x - 2)5(x + 3)3 = 0 Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2. ⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương ⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|). Suy ra chọn đáp án B. Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1).(x - 2)4.(x2 – 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)4.(x2 - 4) = 0 * Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2. * suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)). Suy ra chọn đáp án C. Câu 44: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x.(x + 2)4.(x2 + 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)4.(x2 + 4) = 0 * Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|). Suy ra chọn đáp án B. Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*) Xét: Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt : -m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}. Suy ra chọn đáp án B. Câu 46: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)2(x2 + m2 - 3m - 4)3(x + 3)5 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D.6
Xét f'(x) = 0 Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4 -m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3} Suy ra chọn đáp án B. Câu 47: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - m)5.(x + 3)3 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Xét f'(x) = 0 • Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài. • Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài. • Khi thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0 Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu ⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5} Suy ra chọn đáp án C. Câu 48: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f(|x|) có đúng 1 điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Xét f'(x) = 0 Theo yêu cầu bài toán ta suy ra Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt: Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn. Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0 ⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1} Suy ra chọn đáp án A. Câu 49: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)2.(x2 – 2x) với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(x2 - 8x + m) có 5 điểm cực trị ? A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)2(x2 - 2x) = 0 Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m); g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m) = 0 Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*) Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 (như hình vẽ). Khi đó (*) xảy ra khi d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15} Suy ra chọn đáp án A. Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(x) - x đạt cực đại tại A. x = - 1 B. x = 0 C. x = 1 D. x = 2
Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1 Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1. Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1 Suy ra chọn đáp án A. Câu 51: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x2 + 3x) có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x2 + 3x) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại. Suy ra chọn đáp án A. Câu 54: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số g(x) = [f(x)]2 có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Dựa vào đồ thị ta có: g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0 Ta có: Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Suy ra chọn đáp án C. Câu 55: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2. Suy ra Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)]; Dựa vào đồ thị suy ra: • Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2) • Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a) Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 56: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = 2f(x) – 3f(x) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Ta có: g'(x) = f'(x)[2f(x).ln2 - 3f(x).ln3]; Dựa vào đồ thị ta thấy: • có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị). • f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm. Vậy hàm số g(x)= 2f(x) – 3f(x) có 3 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 57: Để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ? A. (0; 2) B. (-4; -2) C. (-2; 0) D. (2; 4)
• Tập xác định: D = R \ {-m}. • Đạo hàm: • Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0 • Với m = -3 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận. • Với m = -1 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại. Suy ra chọn đáp án B. Câu 58: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h(x) = |2f(x)- 3| có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x) g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0 Ta tính được: Bảng biến thiên của hàm số g(x) Dựa vào bảng biến thiên suy ra • Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị. • Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án C. Câu 59: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau: Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua. Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị. Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị. Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Câu 60: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số g(x) = f(x2 + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ta có g(x) = f(x2 + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x2 + 1) Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị. Suy ra chọn đáp án B. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi Trang trước Trang sau Cho hàm số fx=x3−4x2. Hỏi hàm số gx=fx−1 có bao nhiêu cực trị?
A.6
B.3
C.5
D.4
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:Lời giải Hàm số hx=fx−1 có đồ thị suy ra từ đồ thị hàm số fx=x3−4x2 Bằng cách: Tịnh tiến đồ thị hàm số fx=x3−4x2 sang phải một đơn vị. Hàm số gx=fx−1 có đồ thị suy ra từ đồ thị hàm số hx=fx−1 Bằng cách: - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số hx=fx−1 bên phải trục tung gọi là . - Lấy đối xứng qua trục tung. Vây đồ thị hàm số gx=fx−1 có 5 cực trị. Vậy đáp án đúng là C.
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác cùng bài thi.
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
|