a) Định nghĩa Acgumen của số phức. Show
- Điểm \(M \ne O\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thì số đo mỗi góc lượng giác tia đầu là \(Ox\) và tia cuối \(OM\) được gọi là acgumen của số phức \(z\). - Nếu \(\alpha \) là một acgumen của \(z\) thì \(\alpha + k2\pi \) cũng là một acgumen của \(z\) với mỗi \(k \in Z\). b) Khái niệm về dạng lượng giác của số phức - Số phức \(z = a + bi\) là dạng đại số của \(z\). - Số phức \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\) là dạng lượng giác của \(z\), ở đó: + \(r\) là mô đun của số phức. + \(\varphi \) là acgumen của số phức.
c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác: Cho hai số phức \({z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}{z_1} \pm {z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \pm {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = \left( {{r_1}\cos {\varphi _1} \pm {r_2}\cos {\varphi _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\varphi _1} \pm {r_2}\sin {\varphi _2}} \right)\\{z_1}.{z_2} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right).{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) \\ = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\end{array}\)
d) Công thức Moivre: Cho số phức \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\). Khi đó:
\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)\) 2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác. Cho số phức \(z = a + bi\), viết \(z\) dưới dạng \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\) Phương pháp: - Bước 1: Tính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) - Bước 2: Tính \(\varphi \) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\)
Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức. Phương pháp: Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn các biểu thức. Dạng lượng giác của số phức là phần thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết và bài tập vận dụng giúp các em đạt điểm tối đa phần bài tập này. Tham khảo ngay nhé!
2. Dạng lượng giác của số phức2.1 Định nghĩaDạng z= r(cosφ+isinφ), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0. Còn dạng z=a+bi (a, b∈R) được gọi là dạng đại số của số phức z. Trong đó:
Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Biến đổi các số phức sang đây sang dạng lượng giác: a. $z_{1}=6+6i$ b. $z_{1}=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$ c. $z_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{2}i$ Lời giải: Ví dụ 2: Xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau: a, $\frac{\left ( 1-i \right )^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$ b, $\left ( cos\frac{\pi }{3} -isin\frac{\pi }{3}\right )i^{-5}(i+\sqrt{3}i)^{7}$ Lời giải: 2.2. Nhận xétĐể tìm dạng lượng giác r (cosφ+i sinφ) của số phức z=a+bi (a,b∈R) khác 0 cho trước, ta cần: 1) Tìm r: đó là mô-đun của z, r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. 2) Tìm φ: đó là 1 acgumen của z; φ là số thực sao cho cosφ= ar và sinφ=br; số φ đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM. 2.3. Chú ý1, |z|=1 khi và chỉ khi z=cosφ+isinφ (φ∈R). 2, Khi z = 0 thì |z|=r=0 nhưng acgumen của x không xác định (acgumen của 0 là số thực tùy ý). 3, Cần để ý r>0 trong dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z≠0. 3. Bài tập nhân chia số phức dưới dạng lượng giác3.1. Định lýNếu: z=r(cosφ+isinφ) z′=r′(cosφ′+isinφ′)(r⩾0,r′⩾0) Thì: zz′=rr′[cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′) zz'=rr'[cos(φ′−φ)+isin(φ′−φ)] (khi r>0) 3.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z = $\left ( 1-i\sqrt{3} \right ).\left ( 1+i \right )$ Lời giải: Có: $1-i\sqrt{3}=2.\left [ cos(-\frac{\pi }{3})+isin(-\frac{\pi }{3}) \right ]$ $1+i=\sqrt{2}\left [ cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4} \right ]$ Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta được: z=$(1-i\sqrt{3})(1+i)=2\sqrt{2}\left [ cos(-\frac{\pi }{2})+isin(-\frac{\pi }{2})\right]$ Ví dụ 2: Biến đổi số phức sau dưới dạng: z= $\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}$ Lời giải: $\sqrt{3}+i=2(cos\frac{\pi }{6}+isin\frac{\pi }{6})$ 2 + 2i =$2\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$ => $\left ( \sqrt{3}+1\right )(2+2i)=4\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{12}+isin\frac{5\pi }{12})$ Lại có: 1- i =$\sqrt{2}(cos\left ( -\frac{\pi }{4} \right )+isin(-\frac{\pi }{4}))$ Suy ra: z=$\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.\left [ cos(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}) \right ]+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})$ =$\frac{1}{4}\left [ cos(-\frac{2\pi }{3})+isin(-\frac{2\pi }{3})\right ]$ 4. Công thức Moivre và ứng dụng4.1. Công thức MoivreVới mọi n∈N* ta có: $\left [ r(cos\varphi )+isin\varphi\right ]^{n}=r^{n}(cos\varphi +isin\varphi )$ Khi r=1 ta có: (cosφ+i sin φ)n=cos nφ+isin nφ Hai công thức này được gọi là công thức Moivre Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}$ Lời giải: $\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$ Do đó: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}=\left [ 2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) \right ]^{10}$ =$2^{10}(cos\frac{10\pi }{4}+isin\frac{10\pi }{4})=2^{10}(cos\frac{5\pi }{2}+isin\frac{5\pi }{2})$ Ví dụ 2: Biến đổi số phức sau sang dạng lượng giác: z=$\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$ Lời giải: Ví dụ 3: Cho số phức sau: z=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}i^{5})(1+\sqrt{3}i)^{7}$. Tìm phần ảo của số phức. Lời giải: Ta có: $1+\sqrt{3}i=2.(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) $ và $i^{4}=1$ $(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3})i^{5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$ =$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}).i.\left [ 2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) \right ]^{7}$ =$2^{7}(cos(-\frac{\pi }{3}+isin(-\frac{\pi }{3})).i(cos\frac{7\pi }{3}+isin\frac{7\pi }{3})$ =$2^{7}\left [ cos2\pi +isin2\pi \right ]i=2^{7}i$ Vậy phần ảo bằng $2^{7}$=128 4.2. Ứng dụng vào lượng giácTa có công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức cosφ+isinφ cho ta: $(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi +i(3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi )$ Mặt khác theo công thức Moivre: $(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos3\varphi =isin3\varphi $ Từ đó suy ra: $cos3\varphi =cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi =4cos^{3}\varphi -3cos\varphi $ $sin3\varphi =3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi =3sin\varphi -4sin^{3}\varphi $ Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức cosφ+i sinφ với công thức Moivre, ta có thể biểu diễn cos nφ và sin nφ theo các lũy thừa của cosφ và sinφ. 4.3. Căn bậc hai của số phức dạng lượng giácTừ công thức Moivre, dễ thấy số phức z=r(cosφ+isinφ),r>0 có 2 căn bậc hai là: $\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})$ và $-\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})=\sqrt{r}(cos(\frac{\varphi }{2}+\pi )+isin(\frac{\varphi }{2}+\pi ))$ Ví dụ 1: Căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i là kết quả nào sau đây? A. $z_{0}=3+2i,z_{1}=3-2i$ B. $z_{0}=3-2i,z_{1}=-3+2i$ C. $z_{0}=2-3i,z_{1}=-2+3i$ D. Một kết quả khác Lời giải: Gọi v=x+iy là căn bậc hai của z, ta có: $v^{2}=z\Leftrightarrow (x+iy)^{2}=5+12i$ Vậy z=5+12i có căn bậc hai là $z_{0}=3+2i$, $z_{1}=-3-2i$ => Chọn A Ví dụ 2: Căn bậc hai của số phức 4 + 65i là: Lời giải: Giả sử v là một căn bậc hai của $4+6\sqrt{5}i$. Ta có: $v^{2}=4+6\sqrt{5}i\Leftrightarrow w^{2}=(3+\sqrt{5}i)^{2}\Leftrightarrow w=\pm (3+\sqrt{5})i$ 5. Một số dạng lượng giác của số phức thường gặp và ví dụ minh hoạ5.1. Dạng 1: Chuyển số phức về dạng lượng giácCho số phức: z=a+bi, viết z dưới dạng z=r(cosφ+isinφ) Bước 1: Tính r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ Bước 2: Tính φ thỏa mãn $cos\varphi =\frac{a}{r},sin\varphi =\frac{b}{r}$ Ví dụ 1: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: a, 5 b, -7 c, 6i d, -10i Lời giải: a, 5 = 5(1+0i) = 5(cos0+i sin0) b, -7 = 7(-1+0i) = 7(cos$\pi $+sin$\pi $i) c, 6i=6(0+i)=6(cos$\frac{\pi }{2}$+isin$\frac{\pi }{2}$) d, -10i=10(0-i)=10(cos$-\frac{\pi }{2}$+isin$-\frac{\pi }{2}$) Ví dụ 2: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: a, $(1+3i)(i+2i)$ b, $(1+i)\left [ 1+(\sqrt{3}-2) i\right ]$ c, $(\sqrt{2}-2i)\left [ \sqrt{2} +(3\sqrt{2}-4)i\right ]$ Lời giải: Ví dụ 3: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: a, $1+\frac{i}{\sqrt{3}}$ b, $1+\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})i$ Lời giải:
Ví dụ 4: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: a, $\frac{1}{2+2i}$ b, $\frac{3-i}{1-2i}$ c, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$ Lời giải: 5.2. Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thứcPhương pháp: Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị và rút gọn biểu thức. Ví dụ 1: Tính số phức sau: z=$\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}+1)^{5}}{(-1-i\sqrt{3})^{10}}$ Lời giải: Vdụ 2: Giải phương trình: $z^{5}+z^{4}+x^{3}+x^{2}+z+1=0 (1)$ Lời giải: (1) <=> $z^{4}(z+1)+z^{2}(z+1)+(z+1)=0$ <=> $(z+1)(z^{4}+z^{2}+1)=0$ <=> z= -1 hoặc $(z^{4}+z^{2}+1)=0$ Xét phương trình: Tóm lại, phương trình có tất cả 5 nghiệm: $z=-1,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 6. Một số bài tập dạng lượng giác của số phức và phương pháp giảiVí dụ 1: Biến đổi các số phức sau sang dạng lượng giác: a, $(1-i)(1+i)$ b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$ c, $\frac{1}{2+2i}$ Lời giải: Ví dụ 2: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a, $\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$ b, $(cos\frac{\pi }{6}-isin\frac{\pi }{6})i^{-5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$ Lời giải: Ví dụ 3: Cho số phức: z =$1-cos\frac{\pi }{8}+i.sin\frac{\pi }{8}$. Tính $z^{1012}$
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp các số nguyên n và $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$ sao cho số phức $z=(1+i\sqrt{3})^{n}$ là số thực. Số phần tử của tập S là? Lời giải: Ta có: $1+i\sqrt{3}=2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})$ z=$2^{n}(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3})$ Để $z\epsilon \Rightarrow 2^{n}sin\frac{\pi }{3}=0\Rightarrow sin\frac{\pi }{3}=0$ ⇒ n chia hết cho 3 và n nguyên dương $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$ ⇒ $n\epsilon \left \{ 3;6;9 \right \}$ Tập S có ba phần tử Ví dụ 5: Tìm số phức z sao cho $z^{5},\frac{1}{z^{2}}$ là hai số phức liên hợp? Lời giải: Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng lượng giác của số phức. Để đạt được kết quả tốt nhất các em cần làm thêm nhiều dạng bài tập khác. Mong rằng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ hôm nay nhé! >> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản |
