Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Khi nói tới lược đồ Hoocne (Hoocner, Hocner hay là Horner, cái tên không rõ cách gọi lắm ) hầu hết các bạn học sinh trong chúng ta đều thấy cái tên này rất quen thuộc. Vì Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một ứng dụng hay mà thầy sẽ gửi tới các bạn trong bài viết này chính là: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne.

You watching: Sơ đồ hoocne cho phương trình bậc 4

Khi nói tới việc chia đa thức các bạn đã được học rất kỹ trong chương trình toán trung học cơ sở ở lớp 8 với chiêu thức chia thông thường, tuy nhiên nếu vận dụng giải pháp sơ đồ Hoocne các bạn sẽ có một cách tính nhanh tuyệt vời vừa tiết kiệm ngân sách và chi phí thời hạn mà lại đúng chuẩn .

Bạn đang đọc: Sơ Đồ Hoocne Cho Phương Trình Bậc 4, Phương Trình Bậc Cao

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức USD f_ { ( x ) } USD cho đa thức USD x – \ alpha USD, khi đó ta thực thi như sau :Giả sử cho đa thức USD f_ { ( x ) } = a_0x ^ n + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + a_ { 2 } x ^ { n-2 } + … + a_ { n-1 }. x ^ 1 + a_n USD. Khi đó đa thức thương USD g_ { ( x ) } = b_0x ^ { n-1 } + b_1x ^ { n-2 } + … b_ { n-1 } USD và đa thức dư được xác lập theo lược đồ sau :

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Trong lược đồ gồm 2 hàng : Hàng trên chứa thông số của đa thức USD f_ { ( x ) } USD, hàng dưới chứa thông số tìm được của USD g_ { ( x ) } USD

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f_{(x)}$ theo ẩn giảm dần và đặt số $\alpha$ vào vị trí đầu tiên của hàng 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào thì hệ số của nó coi như bằng 0 và ta vẫn phải cho vào lược đồ

Bước 2: Hạ hệ số $a_0$ ở hàng trên xuống hàng dưới cùng cột. Đây cũng chính là hệ số đầu tiên của $g_{(x)}$ tìm được, tức là: $b_0=a_0$.

Bước 3: Lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.

Ta có USD b_1 = \ alpha. b_0 + a_1 USD

Quy tắc nhớ: “Nhân ngang, cộng chéo”

Bước 4: Cứ làm như vậy cho tới hệ số cuối cùng. và kết quả ta sẽ có:

USD f_ { ( x ) } = ( x – \ alpha ). g_ { ( x ) } + r USDhay USD a_0x ^ n + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + a_ { 2 } x ^ { n-2 } + … + a_ { n-1 }. x ^ 1 + a_n = ( x – \ alpha ) ( b_0x ^ { n-1 } + b_1x ^ { n-2 } + … b_ { n-1 } ) + r USD

Chú ý:

Bậc của đa thức $g_{(x)}$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f_{(x)}$ 1 đơn vị vì đa thức chia $x-\alpha$ có bậc là 1Nếu $r=0$ thì đa thức $f_{(x)}$ chia hết cho đa thức $g_{(x)}$ và $x=\alpha$ sẽ là một nghiệm của đa thức $f_{(x)}$Bậc của đa thức USD g_ { ( x ) } USD luôn nhỏ hơn bậc của đa thức USD f_ { ( x ) } USD 1 đơn vị chức năng vì đa thức chia USD x – \ alpha USD có bậc là 1N ếu USD r = 0 USD thì đa thức USD f_ { ( x ) } USD chia hết cho đa thức USD g_ { ( x ) } USD và USD x = \ alpha USD sẽ là một nghiệm của đa thức USD f_ { ( x ) } USDPhương pháp trên đây chính là cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne đó các bạn, có vẻ như hơi lằng nhằng với các số ở dạng tổng quát đúng không ? Để thấy được nó dễ hiểu hơn và thực sự rất dễ vận dụng thì tất cả chúng ta thực thi làm 1 vài bài tập vậy .

Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức $f_{(x)} = x^4-2x^3-3x^2+7x-2$ cho đa thức $x-2$

Hướng dẫn giải

Trước khi làm bài tập này ta có một chú ý nho nhỏ: Nếu chia cho đa thức $x-2$ thì số $\alpha=2$ nếu chia cho đa thức $x+2$ thì số $\alpha=-2$.

Dựa vào hướng dẫn ở trên thầy sẽ có lược đồ hoocner cho bài toán này như sau :

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Đa thức $g_{(x)}$ tìm được ở đây chính là: $g_{(x)} = 1.x^3+0.x^2-3.x+1 = x^3-3x+1$

Thầy lý giải thêm cho các bạn nhé :

Giả sử số $\alpha=2$ là một cô gái rất đẹp + chân dài. Các hệ số mới tìm được sẽ là các Đại Gia chân đất.

See more: Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Thông Báo Tuyển Sinh 2021

Xem thêm: Cân bằng phương trình hóa học một cách dễ dàng

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của $f_{(x)}$ ở hàng 1, đặt số $\alpha=2$ vào cột 1 hàng 2, hạ hệ số đầu tiên xuống hàng 2. Hệ số đầu tiên bằng 1 (Đại gia thứ 1)

Bước 2: Đại gia thứ 1 thấy cô gái đẹp chạy tới ôm lấy, ta có 2.1. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -2 vào (tiền của đại gia).

Ta có: 2.1+(-2) = 0, được kết quả là 0 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 2)

Bước 3: Đại gia thứ 2 này được sinh ra thấy cô gái đẹp cũng chạy tới ôm lấy, ta có 2.0. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -3 vào (tiền của đại gia), ta có: 2.0+(-3) = -3. Được kết quả là -3 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 3)

Bước 4: Cứ tiếp tục thức hiện như vậy ta có kết quả như trong lược đồ thầy trình bày bên trên.

Kết quả ta có: $x^4-2x^3-3x^2+7x-2 = (x-2)(x^3-3x+1)$

Qua ví dụ trực quan như này các bạn thấy dễ hiểu hơn rồi chứ ? Chắc chắn là dễ hiểu hơn cái lược đồ tổng quát rồi. Tuy nhiên không phải khi nào bài toán cũng nhu yếu triển khai phép chia đa thức bằng lược đồ Hoocne. Các bạn phải biết rằng những khi nào thì ta nên sử dụng lược đồ Hoocner hay vận dụng lược đồ Hoocner trong những trường hợp như thế nào ? Những bài toán như thế nào ? Thầy hoàn toàn có thể điểm danh một số ít trường hợp mà ta hoàn toàn có thể dùng ngay dưới đây .

Chia đa thức cho đa thức nhanh nhấtTìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4…phương trình bậc caoPhân tích đa thức thành nhân tử…Chia đa thức cho đa thức nhanh nhấtTìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4 … phương trình bậc caoPhân tích đa thức thành nhân tử …Giờ tất cả chúng ta cùng làm thêm một bài tập nữa, bài tập về tìm nghiệm của phương trình bậc 3 nhé

Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau: $2x^3-x^2-5x-2=0$

Hướng dẫn giải

Với phương trình này các bạn hoàn toàn có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm và các bạn sẽ biết được phương trình này có 3 nghiệm là : USD x = – 1 ; x = 2 ; x = – \ frac { 1 } { 2 } USDTuy nhiên tất cả chúng ta không hề dùng máy tính để tính nghiệm và Kết luận ngay như vậy được, việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được tối thiểu 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta hoàn toàn có thể sử dụng lược đồ Hoocner để đổi khác .

Sau khi biết được 1 nghiệm nguyên của phương trình là $x=-1$, thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $2x^3-x^2-5x-2=0$ cho đa thức $x+1$. Áp dụng hoocner ta sẽ được kết quả như sau:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
Nhìn vào bảng trên ta có hiệu quả như sau :

$2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2)$

Rất nhanh phải không các bạn. Nếu sử dụng phép chia đa thức thường thì thì việc có được hiệu quả như này sẽ mất rất nhiều thời hạn để đo lường và thống kê .Biến đổi tới đây tất cả chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này đơn thuần rồi. Cụ thể như sau :

$2x^3-x^2-5x-2=0 \Leftrightarrow (x+1)(2x^2-3x-2)=0$

$ \Leftrightarrow \left

Việc giải phương trình $2x^2-3x-2=0$ các bạn có thể sử dụng công thức nghiệm để có kết quả như trên.

See more: Lưu Trữ Trường Giang Số 7 Chau Tinh Tri, Lưu Trữ Trường Giang Số 7

Xem thêm: Bài tập cân bằng phương trình hóa học Lớp 8 có đáp án

Vậy phương trình có 3 nghiệm là : USD x = – 1 ; x = 2 ; x = – \ frac { 1 } { 2 } USD

Qua hai bài tập trên các bạn đã thấy một ứng dụng rất tuyệt vời của lược đồ Hoocner: chia đa thức cho đa thức. Nếu sau khi biết được cách sử dụng mà lại không dùng tới thì quả là rất lãng phí. Nói tóm lại thì Hoocner sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc học toán từ trung học cơ sở tới trung học phổ thông. Hãy bắt tay ngay vào việc rèn luyện thêm một số bài tập nữa nhé.

Chuyên mục: Chuyên mục : Blog

Sử dụng lược đồ Horner để chia đa thức môn Toán lớp 8, 9 được VnDoc biên soạn và đăng tải. Thông thường khi các em làm toán việc chia đa thức với phương pháp chia bình thường không có gì đáng nói, nhưng nếu các em sử dụng phương pháp sơ đồ Hoocne thì sẽ tiết kiệm thời gian mà lại chính xác. Để tìm hiểu rõ hơn về phương pháp này, các em cùng tham khảo bài viết dưới đây nhé

Đây là tài liệu nâng cao kiến thức về cách chia đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Ngoài ra, Tip.edu.vn đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8, Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử. Bởi vậy, VnDoc giới thiệu tài liệu này để giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về Đa thức và cách chia đa thức cũng như ôn luyện thi học sinh giỏi.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử.

Bởi vậy, VnDoc giới thiệu tài liệu này để giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác.

Sơ đồ Horner (Hoocne/ Hoắc – le/ Hắc – le) dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x – α , khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Khi đó đa thức thương

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo ẩn giảm dần và đặt số α vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số a0 ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của g(x) tìm được, tức là  b0.

Bước 3: Lấy số α nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số b1 ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b0 sau đó cộng với hệ số a1 ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số b2 ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b1 sau đó cộng với hệ số a2 ở hàng trên,….)

Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

hay

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

* Chú ý:

+ Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia x – α có bậc là 1.

+ Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và x = α sẽ là một nghiệm của đa thức f(x). Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được α, ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức f(x), α chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức f(x) = x4 – 2x3 – 3x2 + 7x – 2 cho đa thức x + 3.

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức x – 3 thì α = 3, còn nếu chia cho đa thức x + 3 thì α = -3.

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hooc ne như sau:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Đa thức g(x) tìm được ở đây chính là:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
và r = 85

Vậy khi chia đa thức f(x) = x4 – 2x3 – 3x2 + 7x – 2 cho đa thức x + 3  ta được:

f(x) = (x + 3)(x3 – 5x2 + 12x – 29) + 85

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hooc ne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 2x3 – x2 – 5x – 2 = 0.

Lời giải:

Với phương trình này, khi ta bấm máy tính để tính nghiệm sẽ được 3 nghiệm của phương trình này là x = -1; x = 2;

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Tuy nhiên, trong trình bày bài toán ta không thể viết “Theo máy tính ta được nghiệm của phương trình là….” mà ta sẽ đi phân tích đa thức f(x) = 2x3 – x2 – 5x  -2 thành nhân tử.

Việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc ne để biến đổi.

Phương trình trên có một nghiệm nguyên x = -1 thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức f(x) cho đa thức x + 1.

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hooc ne như sau:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Vậy khi chia đa thức f(x) = x4 – 2x3 – 3x2 + 7x – 2 cho đa thức x + 1 ta được:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Việc thực hiện sơ đồ Hoocne ta chỉ nên thực hiện trong nháp. Khi trình bày ta sẽ trình bày như sau:

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

b,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

c,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

d,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức:

a,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
cho
Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

b,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
cho
Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

c,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
cho
Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

d,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3
cho
Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

b,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

c,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

d,

Sơ đồ Hoocne cho phương trình bậc 3

Sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức được VnDoc chia sẻ trên đây. Tài liệu này giới thiệu về lược đồ Hoocne và cách sử dụng lược đồ Hoocne nhằm giúp các em tiết kiệm thời gian giải bài và làm bài. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số tài liệu lớp 9 các em tham khảo nhé

  • Chuyên đề xác định đa thức
  • 200 đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán
  • Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi
  • Giải bài tập Toán lớp 9 trọn bộ
  • Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
  • Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

————

Ngoài chuyên đề sử dụng sơ đồ Hooc ne (Horner) để chia đa thức này, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu như tài liệu học tập lớp 8, tài liệu học tập lớp 9, đề thi học kì 1 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9,… mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!