Tập sinh là gì đại số tuyến tính năm 2024

Cho không gian vectơ V trên trường K, span của một tập hợp vectơ S (không nhất thiết là vô hạn) được định nghĩa là tập giao W của tất cả các không gian con của V chứa S. W được gọi là không gian con được span bởi hay sinh bởi S, hay bởi các vectơ trong hệ S. Một cách khác, S gọi là một hệ span hay hệ sinh của W, ta nói S span hay sinh ra W.

Span của S có thể được định nghĩa một cách tương đương là tập hợp chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính với R của các phần tử ai. Tương tự trường hợp riêng không gian vectơ, mô đun con của A span bởi một tập con bất kỳ của A là giao của tất cả các mô đun con chứa tập con đó.

• HỆ SINH
  • Một hệ vecto S là hệ sinh của một không gian vecto U khi tất cả các vecto thuộc U đều có thể biểu diễn thông qua các vecto của S
  • Ví dụ: Cho S = {x1, x2} và Không gian vecto R^2. Chứng minh hệ S là hệ sinh của R^2
    • Hệ S:
      • x1 (1, 2)
      • x2 (3, 1)
    • Trước tiên cần nhớ lại đinh nghĩa về “biểu diến thông qua các vecto” là gì?
      • Cụ thể là vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto).
    • Vậy bây giờ ta gọi vecto A thuộc KGVT R^2 và A = (x, y)
      • Nếu S là hệ sinh của KGVT R^2 thì Vecto A sẽ biểu diễn được thông qua 2 vecto x1 và x2 thuộc hệ S.
      • Tức là ta có phép tính A = k.x1 +p.x2 hoặc (x, y) = k.(1, 2) + p(3, 1)
      • Ta cần chứng minh có tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2
      • Xét hệ pt:
        • x = k.1 + p.3
        • y = k.2 + p.1
        • <=>
        • k = (3y – x)/5
        • p = (2x – y)/5
        • Với mọi tọa độ x và y thuộc KGVT R^2 thì ta luôn tìm được 2 giá trị k và p thỏa mãn hệ:
          • x = k.1 + p.3
          • y = k.2 + p.1
        • Vì vậy luôn tồn tại k và p để A = k.x1 + p.x2. Hay nói cách khác là vecto A luôn có thể biểu diễn được qua 2 vecto x1 và x2
        • Vậy hệ S là hệ sinh là KGVT R^2
• CƠ SỞ
  • Một hệ S được gọi là cơ sở của một không gian vecto U khi nó đáp ứng đủ 2 điều kiện:
    • 1. Các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
    • 2. S là hệ sinh của không gian vecto U
  • Chú ý: Nếu số vecto trong hệ S = số chiều của KGVT U thì ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên
  • Ví dụ: Cho không gian vecto R^3 (dim = 3) và hệ S = {x1, x2, x3}
    • Hệ S:
      • x1 (1, 2, 0)
      • x2 (2, 1, 0)
      • x3 (3, 0, 1)
    • Chứng minh S là cơ sở của KGVT R^3
    • Giải:
      • Ta cần chứng minh 2 điều kiện:
        • 1 là các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
        • S là hệ sinh của không gian vecto R^3
      • Tuy nhiên xét thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy nên ta chỉ cần chứng minh 1 trong 2 điều kiện trên là được.
      • Ta sẽ chứng minh các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính.
      • Thấy số vecto của hệ S = dim R^3 = 3 vậy ta xét định thức của ma trận A =
        • (1 2 0)
        • (2 1 0)
        • (3 0 1)
      • Det(A) = 1.1.1 + 2.0.3 + 0.2.0 – (3.1.0 + 0.0.1 + 1.2.2) = 2 != 0.
      • Vậy các vecto trong hệ S độc lập tuyến tính
      • \=> Hệ S là cơ sở của KGVT R^3
• TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
  • Vecto C được biểu diến thông qua 2 vecto A và B khi C = k.A + p.B ( phép cộng 2 vecto)
  • Vậy vecto C là tổ hợp tuyến tính của vecto A và vecto B
  • Ví dụ ứng dụng:
    • Tìm k để vecto y = (3, -1, 11, k) là tổ hợp tuyến tính của hệ vecto S (x1, x2, x3)
    • Hệ S:
      • x1 (2, 1, 3, 8)
      • x2(1, 3, 0, 5)
      • x3(-1, 2, 2, 2)
    • Vậy để vecto y là tổ hợp tuyến tính của hệ S thì ta có phép toán:
      • y = a.x1 + b.x2 + c.x3
      • Cụ thể hơn là
      • (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
      • Biến đổi thành hệ phương trình (*)
        • 3 = a.2 + b.1 + c.(-1)
        • -1 = a.1 + b.3 + c.2
        • 11 = a.3 + b.0 + c.2
        • k = a.8 + b.5 + c.2
      • Nhiệm vụ của chúng ta là tìm k để hệ trên có nghiệm.
        • Sử dụng phương pháp GAU ta lấy các hệ số thành 2 ma trận rồi so sánh rank của chúng với nhau.
        • Nếu rank bằng nhau thì hệ phương trình (*) có nghiệm
        • Từ hệ (*) ta có ma trận:
          • (1 3 2 -1)
          • (2 1 -1 3)
          • (3 0 2 11)
          • (8 5 2 k)
          • Sau khi biến đổi thành ma trận hình thang ta được
          • (1 3 2 -1)
          • (0 -1 -1 1)
          • (0 0 1 1)
          • (0 0 0 k-16)
          • Xét thấy ma trận tạo từ 3 cột đầu có rank = 3. Để ma trận tạo từ cả 4 cột có rank = 3 thì k-16 =0 <=> k = 16.
        • Vậy k =16 thì rank của 2 ma trận tạo từ các hệ số của hệ phương trình (*) bằng nhau.
        • Mà rank bằng nhau thì suy ra hệ phương trình (*) đó có nghiệm. Mà hệ đó có nghiệm thì tồn tại phép toán:
          • (3, -1, 11, k) = a.(2, 1, 3, 8) + b.(1, 3, 0, 5) + c.(-1, 2, 2, 2)
          • Hoặc là:
          • y = a.x1 + b.x2 + c.x3
          • Vậy kết luận vecto Y (3, -1, 11, k) với k = 16 là tổ hợp tuyến tính của hệ S.

Điều hướng bài viết