Giải bài 70, 71, 72, 73, 74, 75 trang 40; bài 76 trang 41 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Ôn tập chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba. Bài 72 Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)Bài 70 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp \(\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\) \(\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}\) \(\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\) \(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\) Lời giải: \(\eqalign{ & \sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{25} \over {81}}} .\sqrt {{{16} \over {49}}} .\sqrt {{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2}}\cr & = {5 \over 9}.{4 \over 7}.{{14} \over 3} = {{40} \over {27}} \cr} \) \(\eqalign{ & \sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}.{{64} \over {25}}.{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}} .\sqrt {{{64} \over {25}}} .\sqrt {{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{9}} \right)}^2}}\cr & = {7 \over 4}.{8 \over 5}.{{14} \over 9} = {{196} \over {45}} \cr} \) c) \(\begin{array}{l} \dfrac{{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} }}{{\sqrt {567} }} = \sqrt {\dfrac{{640.34,3}}{{567}}} = \sqrt {\dfrac{{64.343}}{{567}}}\\ = \sqrt {\dfrac{{64.49.7}}{{81.7}}} \= \sqrt {\dfrac{{64.49}}{{81}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {64} .\sqrt {49} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{8.7}}{9} = \dfrac{{56}}{9} \end{array}\) \(\eqalign{ & \sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}} \cr & = \sqrt {21,6.810.\left( {{{11}^2} - {5^2}} \right)} \cr & = \sqrt {216.81.\left( {11 + 5} \right)\left( {11 - 5} \right)} \cr & = \sqrt {{36.6}{{.9}^2}{{.4}^2}.6}\cr& = \sqrt {{36^2}{{.9}^2}{{.4}^2}} = 36.9.4 = 1296 \cr} \) Bài 71 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Rút gọn các biểu thức sau:
Phương pháp: Sử dụng công thức: \(\begin{array}{l} \sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)\\ \sqrt {{A^2}} = \left| A \right| \end{array}\) \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{1}{{\left| B \right|}}\sqrt {AB} ;\,\,\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\left( {B > 0} \right)\) Lời giải:
\(\eqalign{ & 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \cr & = 2\left| {\sqrt 2 - 3} \right| + \left| { - 3} \right|\sqrt 2 - 5.(-1)^2 \cr & = 2\left( {3 - \sqrt 2 } \right) + 3\sqrt 2 - 5 \cr } \) (vì \(\sqrt 2 - 3 < 0)\) \(= 6 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 - 5 = 1 + \sqrt 2\) Bài 72 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)
Lời giải:
\(\eqalign{ & \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {a + b} .\sqrt {a - b} \cr & = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right) \cr} \) \(\eqalign{ & 12 - \sqrt x - x \cr & = 12 - 4\sqrt x + 3\sqrt x - x \cr & = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) \cr & = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right) \cr} \) Bài 73 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải: \(\eqalign{ & \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \cr &= \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {3^2 + 2.3.2a + ({{\rm{2a}})^2}} \cr & = \sqrt {{3^2}.\left( { - a} \right)} - \sqrt {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \cr & = 3\sqrt { - a} - \left| {3 + 2a} \right|\cr&\text{Thay a = - 9 ta được} \cr & 3\sqrt 9 - \left| {3 + 2.\left( { - 9} \right)} \right| \cr & = 3.3 - |-15|= 9 - 15 = - 6 \cr} \) Điều kiện \(m\ne 2\) \(\eqalign{ & 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4} \cr & =1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 2.2.m + 2^2} \cr & = 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} \cr & = 1 + {{3m\left| {m - 2} \right|} \over {m - 2}} \cr} \) \( = \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với\,\, m - 2 > 0} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với \,\,m - 2 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \) \(= \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với\,\, m> 2} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với \,\,m < 2} \right) \hfill \cr} \right.\) \(m = 1,5 < 2.\) Vậy giá trị biểu thức tại \(m = 1,5\) là \(1 – 3m = 1 - 3.1,5 = -3,5\) \(\eqalign{ & \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & =\sqrt {1 - 2.1.5{\rm{a}} + (5{{\rm{a}})^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\sqrt {{{\left( {1 - 5{\rm{a}}} \right)}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\left| {1 - 5{\rm{a}}} \right| - 4{\rm{a}} \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 5{\rm{a}} - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} \ge 0} \right) \hfill \cr 5{\rm{a}} - 1 - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 9{\rm{a}}\left( {với\,\, a \le {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr a - 1\left( {với\,\, a > {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vì \(\displaystyle a= \sqrt 2 > {1 \over 5}\) . Vậy giá trị của biểu thức tại \(a=\sqrt 2\) là \(a - 1 = \sqrt 2 - 1\) d) \(\eqalign{ & 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} \cr & 4{\rm{x}} - \sqrt {(3{{\rm{x}})^2} + 2.3{\rm{x}} + 1} \cr & = 4{\rm{x}} - \sqrt {{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} \cr & = 4{\rm{x}} - \left| {3{\rm{x}} + 1} \right| \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x - }}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 \ge 0} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x}} - 3{\rm{x}} - 1\left( {với \,3{\rm{x}} \ge - 1} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + 3{\rm{x}} + 1\left( {với \,3{\rm{x}} < - 1} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ x - 1\left( {v{\rm{ới \,x}} \ge - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr 7{\rm{x}} + 1\left( {với \,x < - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vì \( \displaystyle x=- \sqrt 3 < - {1 \over 3}\) . Giá trị của biểu thức tại \( x=- \sqrt 3\) là \(7x+1=7.( - \sqrt 3 ) + 1 = - 7\sqrt 3 + 1\) Chú ý: Các em có thể không phá dấu giá trị tuyệt đối mà thay trực tiếp giá trị của biến vào. Bài 74 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Tìm x, biết:
Phương pháp: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) Đưa về dạng \(\left| A \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = m\\ A = - m \end{array} \right.\) Lời giải: \( \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3 \) \( \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1} \right| = 3 \) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 1 = 3\\ 2x - 1 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = 4\\ 2x = - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy \(x=-1;x=2.\) Điều kiện: \(x\ge 0\) \(\eqalign{ & {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \cr & \Leftrightarrow {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over 3} - 1 - {1 \over 3}} \right)\sqrt {15} x = 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {15{\rm{x}}} = 6 \cr & \Leftrightarrow 15{\rm{x}} = 36 \cr & \Leftrightarrow x = {{12} \over 5}\,(thỏa\,\, mãn) \cr} \) Vậy \(x=\dfrac{12}5.\) Bài 75 trang 40 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Chứng minh các đẳng thức sau:
Phương pháp: Sử dụng công thức \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)\) và các hằng đẳng thức để biến đổi phân tích các tử (mẫu) thành nhân tử ( nếu có thể) để rút gọn. Lời giải: a) \(\eqalign{ & VT=\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 2.\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt {2^2.2} - 2}} - {{\sqrt {6^2.6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 6 - \sqrt 6 } \over {2\sqrt 2 - 2}} - {6.{\sqrt {6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - {{6\sqrt 6 } \over 3}} \right].{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{\sqrt 6 } \over 2} - 2\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }}\cr& = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{4\sqrt 6 }}{2}} \right).\frac{1}{{\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{ - 3} \over 2}\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = - {3 \over 2} = - 1,5 =VP\cr} \) \(\eqalign{ & VT=\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr &= \left( {{{\sqrt {7}.\sqrt 2 - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5}.\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5 }\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 3 }}} \right]:{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {7 - 5} \right) = - 2=VP \cr} \) \(\eqalign{ & VT={{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt a.\sqrt b + \sqrt b.\sqrt b.\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt {ab} + \sqrt b.\sqrt {ab} } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & = {{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\cr&= \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) \cr & = a - b=VP \cr} \) \(\eqalign{ &VT= \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & =\left( {1 + {{\sqrt a .\sqrt a+ \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{\sqrt a.\sqrt a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & = \left[ {1 + {{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)} \over {\sqrt a + 1}}} \right]\left[ {1 - {{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a - 1}}} \right] \cr & = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) \cr & =1-(\sqrt a)^2= 1 - a =VP\cr} \) Bài 76 trang 41 SGK Toán lớp 9 tập 1 Câu hỏi: Cho biểu thức \(\displaystyle Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0
Lời giải: \(\begin{array}{l} \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ \= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} -\left( \sqrt{ {{a^2} - {b^2}}} \right)^2}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ \= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b^2}{b.{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ \= \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ \= \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ \= \dfrac{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a + b} }}\, (do\,\, a>b>0)\\ \= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} \end{array}\) Vậy \(Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}.\)
\(Q=\dfrac{{\sqrt {3b - b} }}{{\sqrt {3b + b} }} = \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt {4b} }} \\= \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt 2 .\sqrt {2b} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
