§3. GIÁ TRỊ LỚN NHÂT và
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM số
KIÊN THỨC CẦN BẢN
Định nghĩa
Cho hàm sổ y - f(x) xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sổ y = f(x) trên tập D nếu f(x) < M với mọi X thuộc D và tồn tại Xo € D sao cho f(xc) = M.
Kí hiệu M = maxf(x).
D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trẽn tập D nếu f(x) > m với mọi X thuộc D và tồn tại Xoe D sao cho f(x0) = m.
Kí hiệu: m = minf(x).
D
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]
Tìm các điểm X1, X2, Xn trên khoảng (a; b), tại đó t '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
Tính f(a), f(xi), f(Xỉ) f(Xn), f(b).
Tìm sô lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong'các sô trên. Ta có:
M = maxf(x), m = minf(x)
[a: bi [a; bj
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP - Tilth giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cùa hàm sò: a) y = X1 - 3xz - 9x + 35 trên các đoạn [—1: 4] và [0: 5]
bj y = X4 -- 3x? + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] 2 — x „ .
- y = 7—— trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
1 - X
đ) y = \Iỗ - 4x trên đoạn [-1: 1],
- Xét D = [-4; 4], HSLT trên [-4; 4]
y' = 3x2 - 6x - 9; y' = 0
X = 3 e D X = -1 6 D
Ta có: y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-l) = 40; y(3) = 8
Vậy: max y = 40 ; min y =-41.
xe[-4;4] xe[-4;4]
- Xét D = [0; 5], HSLT trên [0; 5]
X = 3 e D
Vậy:
Ta có: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8
inaxy = 40; miny - 8 . [0:5] ‘ [OS]
y' = 4x:ì - 6x = 2x(2x2 - 3); y' = 0
- ■ Với D = [0:
31 thìx = -^|
e D. IISLT trên [0; 3]
Ta có y(0) = 2; y(3) = 56, y( ) = - — . Vậy miny = V2 4 [0:3r
- Với D = [2; 5J. HSLT trên [2; 5] thì X = 0; X = ±
nên: y(2) = 6; y(5) = 552
Vậy min y = 6; max y = 552 .
[2:5] ■ [2;5] ■
-
4,
D = [-1; 1] : y' = r-: 2 . < 0, Vx e [-1; 1]
<5 4x
y(-l) = 3; y(l) = 1 Vậy min y = 1; maxy = 3.
Trong số các hình chữ nhặt cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có điện tích lớn nhất.
éjũỉi
Gọi X là một cạnh của hình chữ nhật (x > 0). Cạnh còn lại là 8 - X (0 < X < 8). Khi đó diện tích hình chữ nhật là:
s = x(8 - x) = 8x - X2 => S' = 8 - 2x; S' = 0 o X = 4 Bảng biến thiên:
X
0
4
8
S'
-
0
—
////////////
s
CĐ'^—
MaxS =
(0:H)
S(4) = 16 X = 4
Trong tát cả các hình chữ nhật cùng diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Vậy khi hình chữ nhật là hình vuông thì diện tích lớn nhát.
, , 48
Gọi X là một cạnh của hình chữ nhật (x > 0). Cạnh còn lại là —.
x
Chu vi hình chữ nhật là: p = 2
p' z 0 o x' - 48 o x = 4\f3
Bảng biến thiên:
Tính giá trị lớn nhất của các hàm sô: a) y = —í— ; b) y = 4x“ - 3x’.
. ' 1 + X
Vậy khi hình chữ nhật trở thành hình vuông thì chu vi nhỏ nhát.
éỹiải
- Tập xác định: D = R
—8x _.
y' = 7T. - ; y' = 0 X = 0 (y = 4)
(1 + X )
- Tập xác định: D =
y' = 12x y' = 0
12x:ì = 12x2(l - X)
(y = 0) (y = 1)
Vậy maxy = 1.
- I I 4
- Tính giá trị nhỏ nhát ciia các hàm sô sau: a) y = IX I: b) y = X + — (x > 0).
Bảng biến thiên:
X
—OC'
0
+OO
V'
-
0
—
y
-
4——-._
0
Vậy maxy = 4.
tfiai.
Tập xác định: D = R
Ta có Ixl >0 với Vx e R, dấu bằng xảy ra khi X = 0. Vậy miny = 0.
Xét D = (0; +°o)
- BÀI TẬP LÀM THÊM
Tìm giá trị lớn nhâ’t, nhỏ nhát, của hàm số: y = 2x + Võ - X2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra:
y = 2x:i + 3x2 - 12x + 1 trong [-1; 5]
y = Võ - 4x trong [-2; 0]
Dựng hình chừ nhật có diện tích lớn nhât biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16 cm.
Chứi g minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhât và có diện tích lứn nhf'it.
Trong các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định hình nón có thể tích lớn nhất.
Series các bài giải hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 12, hỗ trợ các em tiết kiệm thời gian ôn luyện đạt hiệu quả nhất thông qua các phương pháp giải các dạng toán hay, nhanh và chính xác nhất. Dưới đây là lời giải bài tập SGK Bài 3 (Chương 3): Ứng dụng của tích phân trong hình học từ đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm biên soạn và chia sẻ.
Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: - Toán 12: Nguyên Hàm - Giải bài tập SGK (Hay nhất)
- Bất phương trình mũ và lôgarit - Giải bài tập SGK Toán 12
- Phương trình mũ và Lôgarit - Giải bài tập SGK Toán 12
Giải Toán 12 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài 1 (trang 121 SGK Giải tích 12):Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: Lời giải Bài 2 (trang 121 SGK Giải tích 12):Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2+1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy. Lời giải: Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x2 + 1 tại điểm M(2; 5) là : y'=y' (2)[x - 2] + 5 ⇔ y = 4x - 3 Điểm M(2; 5) thuộc đường y = x2 + 1 vì 5 = 22 + 1 Vậy diện tích cần tìm là: Bài 3 (trang 121 SGK Giải tích 12):Parabol y=x2/2 chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính 2√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng. Lời giải: Bài 4 (trang 121 SGK Giải tích 12):Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox: Lời giải Bài 5 (trang 121 SGK Giải tích 12):Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt góc POM = a’, OM = R (0 =< a < π/3, R > 0). Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox. - Tính thể tích của V theo a và R.
- Tìm a sao cho thể tích của V lớn nhất.
Lời giải: - Ta có: OP = Rcosa.PM = Rsina
Phương trình đường thẳng OM là y = xtana Vậy thể tích khối tròn xoay là: Lời giải Tham khảo một số đề thi thử THPT Quốc gia 2021 môn Toán (được xem nhiều): - Đáp án Đề thi thử THPT Quốc gia 2021 môn Toán THPT Thăng Long - Hà Nội
- Đề thi thử THPT Quốc gia 2021 môn Toán Sở GD&ĐT Hòa Bình
- Đề thi thử THPT Quốc gia 2021 môn Toán Sở GD&ĐT TP. Cần Thơ
- Đề thi thử THPT Quốc gia 2021 môn Toán Sở GD&ĐT Tỉnh Tiền Giang
Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích đầy đủ các môn được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi. ►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về hướng dẫn giải bài tập SGK Toán Giải tích 12 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học file Word, pdf hoàn toàn miễn phí! | 
