và đường sinh của nó : a) Song song với trục Ox b) Song song với đường thẳng x=y, z=c (c là hằng số). Show Lời giải
// Ox nên (d) có dạng: (d) : x=x ′ +t y=y ′ z=z ′ Lại có M(x’,y’,z’) thuộc (S) nên ta có hệ phương trình sau {(x ′ −1) 2 + (y ′ + 3) 2 + (z ′ −2) 2 = 25 x′+y′−z′+ 2 = 0 .Lúc này ta có {(x−t−1) 2 + (y+ 3) 2 + (z−2) 2 = 25(1) x−t+y−z+ 2 = 0(2) .Từ (2) có:x−t=−y+z− 2 thay vào (1) ta có(−y+z+ 1) 2 + (y+ 3) 2 + (z−2) 2 = 25 ⇒(z−y+ 1) 2 +y 2 + 6y+ 9 +z 2 − 4 z+ 4−25 = 0 ⇒ 2 y 2 + 2x 2 − 2 xy+ 2x+ 4y− 4 z−11 = 0 Vậy phương trình mặt trụ (S) cần tìm là: 2 y 2 + 2x 2 − 2 xy+ 2x+ 4y− 4 z−11 = 0
có dạng {x=y z=c Phương trình chính tắc của (d’) có dạng: (d ′ ) : x=t y=t z=c Mà (d)//(d’) nên (d) có dạng (d ′ ) : x=x ′ +t y=y ′ +t z=z ′ F′ x= 4x+ 2y+ 6z+ 8, F ′ y= 2x+ 10y+ 12z+ 14, F ′ z= 6x+ 12y+ 16z+ 18.
−→v = (1; 0; 0)là: 1 F′ x= 0⇔ 4 x+ 2y+ 6z+ 8 = 0⇔ 2 x+y+ 3z+ 4 = 0.
−→v = (0; 1; 0)là 1 F′ y= 0⇔ 2 x+ 10y+ 12z+ 14 = 0⇔x+ 5y+ 6z+ 7 = 0.
−→v = (0; 0; 1)là 1 F′ z= 0⇔ 6 x+ 12y+ 16z+ 18 = 0⇔ 3 x+ 6y+ 8z+ 9 = 0.
−→ad = (3, 2 ,−5). Do đó có phương trình là: 3(4x+2y+6z+8)+2(2x+10y+12z+14)−5(6x+12y+16z+18) = 0⇔ 7 x+17y+19z+19 = 0. Vậy phương trình mặt kính liên hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 x+ 17y+ 19z+ 19 = Bài 7:Tìm mặt kính chính của mặtx 2 +y 2 − 3 z 2 − 2 xy− 6 yz− 6 zx+ 2x+ 2y+ 4z= 0 Lời giải x 2 +y 2 − 3 z 2 − 2 xy− 6 yz− 6 zx+ 2x+ 2y+ 4z= 0 Mặt kính trên còn được viết dưới dạng: [ x y z ]1 − 1 − 3−1 1 − 3− 3 − 3 − 3x y z + 2[1 1 2]x y z =Gọi −→u là phương chính của mặt bậc 2 trên hay −→u là vector riêng của ma trận A=1 − 1 − 3−1 1 − 3− 3 − 3 − 3Ta có đa thức đặc trưng: PA(λ)= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 −λ − 1 − 3 −1 1−λ − 3 − 3 − 3 − 3 −λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\= (1−λ) 2 (− 3 −λ)− 9 − 9 −9(1−λ)−(− 3 −λ)−9(1−λ) \= (−λ) 3 −λ 2 + 24λ− 36 PA(λ) = 0⇔λ=− 6 , λ= 3, λ= 2 Vậy A có các giá trị riêngλ=− 6 , λ= 3, λ 2 Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ=− 6 có dạng −→u = ( 12a; 12a;a)Khi đó mặt kính chính của mặt bậc 2 đã cho có dạng: 12a(2x− 2 y− 6 z+ 2) + 12a(2y− 2 x− 6 z+ 2) +a(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0 Chọna= 2ta được −x−y− 2 z+ 1 = 0 Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ= 3có dạng −→u= (− 2 b;b;b)Khi đó mặt kính chính của mặt bậc 2 đã cho có dạng: − 2 b(2x− 2 y− 6 z+ 2) +b(2y− 2 x− 6 z+ 2) +b(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0 Chọnb= 1ta được − 12 x+ 2 = 0 Với vecto riêng ứng với giá trị riêngλ= 2có dạng −→u= (−c;c; 0)Khi đó mặt kính chính của mặt bậc 2 đã cho có dạng: −c(2x− 2 y− 6 z+ 2) +c(2y− 2 x− 6 z+ 2) + 0(− 6 z− 6 y− 6 x+ 4) = 0 Chọnc= 1ta được −x+y+ 1 = 0 Bài 8:Tìm quỹ tích những tiếp tuyến với Elipsoid x 2 8+y 2 6+z 2 4\= 1, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểmM(5, 1 ,0). (S)x 2 8 +y 2 6 +z 2 4 \= 1.Gọi phương trình tiếp tuyến quaM(5, 1 ,0)có dạng: x = 5 +at y = 1 +bt z = ct .(Vớia,b,c∈R,a 2 +b 2 +c 2 6 = 0). Xét phương trình giao điểm của(d)và(S), ta được: (at+ 5) 2 8+(bt+ 1) 2 6+(ct) 2 4\= 1⇔(3a 2 + 4b 2 + 6c 2 ).t 2 + (30a+ 8b).t+ 55 = 0 Phương trình này phải có nghiệm kép, tức là: ∆′ (15a+ 4b) 2 − 55 .(3a 2 + 4b 2 + 6c 2 ) = 0 (3) ⇔ 60 a 2 − 204 b 2 − 330 c 2 + 120ab= 0 Phương trình có nghiệm kép:t=− 15 a+ 4b 3 a 2 + 4b 2 + 6c 2 \=−5515 a+ 4b Theo đề bài ta có phương trình mặt: x 2 4+y 2 9−z 2 16\= 1⇔x 2 4 −z 2 16 \= 1−+y 2 9 ⇔ (x 2 −z 4 )(x 2 +z 4 )\=(1 −y 3 )(1 +y 3 )Ta có hai họ đường sinh thẳng: (d) : m (x 2 −z 4 )\=n (1 +y 3 )n (x 2 +z 4 )\=m (1 −y 3 )và (d ′ ) : p (x 2 −z 4 )\=q (1 −y 3 )q (x 2 +z 4 )\=p (1 +y 3 )Măt phẳng(P) x 2 4 +y 2 9 −z 2 16 \= 1có vectơ pháp tuyến là(6, 4 ,3).(d)có cặp vectơ pháp tuyến là v 1 = (m 2 ,−n 3 ,−m 4 )v 2 = (n 2 ,m 3 ,n 4 )Nên có vectơ chỉ phương là[v 1 , v 2 ] = (m 2 −n 2 12 ,−mn 4 ,m 2 +n 2 6 )Theo đề bài ta có(d)‖(P) Suy ra: m 2 −n 2 2 −mn+ m 2 +n 2 2 \= 0⇒m 2 =mn⇒m=n Suy ra:(d) : x 2 −z 4 \= 1 +y 3 x 2 +z 4 \= 1−y 3 Hay (d) : {6 x− 4 y− 3 z−12 = 0 6 x+ 4y+ 3z−12 = 0 (d′))có cặp vectơ pháp tuyến là v 1 = (p 2 ,q 3 ,−p 4 )v 2 = (q 2 ,−p 3 ,q 4 )Nên có vectơ chỉ phương là[v 1 ′ , v 2 ′ ] = (q 2 −p 2 12,−pq 4 ,−p 2 +q 2 6)Theo đề bài ta có(d ′ ))‖(P) Suy ra: p 2 −q 2 2−pq− p 2 +q 2 2\= 0⇒p 2 =−pq⇒p=−q Suy ra:(d) : −(x 2 −z 4 )\= 1−y 3 − (x 2 +z 4 )\= 1 +y 3 Hay (d) : {6 x− 4 y− 3 z+ 12 = 0 6 x+ 4y+ 3z+ 12 = 0 Bài 11:Lập phương trình mặt bậc hai biết ba đường sinh thẳng của nó là {y= 0 z= 0 ,{x=y z= 1 và {x= 0 z= 2 .Phương trình mặt bậc hai cần tìm có dạng Ax 2 +By 2 +Cz 2 + 2Dxy+ 2Eyz+ 2F xz+ 2Gx+ 2Hy+ 2Iz+J= 0. (1) Do (1) chứa đường sinh {y= 0 z= 0 NênAx 2 + 2Gx+J= 0. Suy raA=G=J= 0. (∗) Do (1) chứa đường sinh {x=y z= 1 ⇒Ax 2 +Bx 2 +C+ 2Dx 2 + 2Ex+ 2F x+ 2Gx+ 2Hx+ 2I+J= 0. ⇒(A+B+ 2D)x 2 + 2(E+F+G+H)x+C+ 2I+J= 0. ⇒A+B+ 2D= 0E+F+G+H= 0C+ 2I+J= 0(∗∗)Do (1) chứa đường sinh {x= 0 z= 2 ⇒By 2 + 4C+ 4Ey+ 2Hy+ 4I+J= 0. ⇒By 2 + (4E+ 2H)y+ 4I+ 4C+J= 0. ⇒B= 04 E+ 2H= 04 I+ 4C+J= 0(∗)Từ (*) và (**), suy ra A=B=C=D=G=I=J= 0E=F2 E=HChọnE= 1⇒F= 1,H=− 2 Vậy phương trình mặt bậc hai cần tìm là 2 yz+ 2xz− 4 y= 0hayyz+xz− 2 y= 0. Vậy đường bậc hai có tâmI( 143, 3 ,13).e)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ: 8 x− 4 y+ 12z = − 8 − 4 x+ 2y− 6 z = 4 12 x− 6 y+ 18z = − 12 Hệ vô số nghiệm Vậy đường bậc hai vô số tâm. f)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ: 2 x+ 4y = 12 4 x+ 8y = − 6 10 z = 0 Hệ vô nghiệm Vậy đường bậc hai vô tâm. g)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ: 6 x+ 4y− 2 z = 4 4 x+ 4y = 0 − 2 x = 8 Suy ra x = − 4 y = 4 z = − 6 Vậy đường bậc hai có tâmI(− 4 , 4 ,−6). h)Tọa độ tâmI(x, y, z)là nghiệm của hệ: 2 x− 10 y+ 6z = 2 − 10 x+ 50y− 30 z = 2 6 x− 30 y+ 18z = 0 Hệ vô nghiệm Vậy đường bậc hai vô tâm. Bài 13:Lập phương trình nón tiệm cận của các mặt: (a)x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z= 0. (b) 2 x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz− 4 x− 8 y+ 3 = 0. Lời giải (a) x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z= 0 GọiI(xo, yo, zo)là tâm của mặt trên, tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình: 2 xo+ 2yo+ 6zo+ 2 = 0 2 yo+ 2xo− 2 zo−6 = 0 2 zo− 2 yo+ 6xo−2 = 0 ⇔xo = 1 yo = 1 zo = − 1 Vậy tọa độ I là(1; 1;−1) Gọi −→u= (a, b, c)là phương tiệm cận của mặt trên Đường thẳng đi qua I có phương vector −→u là: x = 1 +at y = 1 +bt z = −1 +ct Để −→u là phương tiệm cận thì a 2 +b 2 +c 2 + 2ab− 2 bc+ 6ac= 0 ⇔(x−1) 2 + (y−1) 2 + (z+ 1) 2 + 2(x−1)(y−1)−2(y−1)(z+ 1) + 6(x−1)(z+ 1) = 0 ⇔x 2 +y 2 +z 2 + 2xy− 2 yz+ 6xz+ 2x− 6 y− 2 z+ 1 = 0 (S′ )Suy ra mặt bậc 2 (S′)là quỹ tích các đường tiệm cận Ta kiểm tra (S′)có là mặt nón hay không Tịnh tiến (S′)về tâm I ta được x ′ 2 +y ′ 2 +z ′ 2 + 2x ′ y ′ − 2 y ′ z ′ + 6x ′ z ′ = 0 ⇔x ′ 2 + 2y ′ (z ′ + 3y ′ ) + (y ′ + 3z ′ ) 2 −(y ′ + 3z ′ ) 2 +y ′ 2 +z ′ 2 − 2 y ′ z ′ = 0 ⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 − 8 z ′ 2 − 8 y ′ z ′ = 0 ⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 −8(z ′ 2 + 2z ′ · y′ 2 +y′ 2 4 −y′ 2 4 \= 0(1)⇔(x ′ +y ′ + 3z ′ ) 2 −8(z ′ + y′ 2 )2 + 2y ′ 2 = 0 Đặt X = x′+y′+ 3z′ Y = √2 y ′ Z = 2√2(z′+ y ′ 2)(1)trở thành X2 +Y 2 −Z 2 = 0 Vậy (S′)là nón thực. (b) 2 x 2 + 6y 2 + 2z 2 + 8xz− 4 x− 8 y+ 3 = 0 GọiI(xo, yo, zo)là tâm của mặt trên, tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình: 4 xo+ 8zo−4 = 0 12 yo− 8 = 0 4 zo+ 8xo = 0 (a) Xét hệ phương trình { 3 y 2 + 4z 2 + 24x+ 12y− 72 z+ 360 = 0 x−y+z= 0 ⇔{3 y 2 + 4z 2 + 24(y−z) + 12y− 72 z+ 360 = 0 x=y−z ⇔{3 y 2 + 4z 2 + 36y− 96 z+ 360 = 0 x=y−z. Đặt {y=t 1 z=t 2 , ta cóx=t 1 −t 2. Vậy trên 2 - phẳng x=t 1 −t 2 y=t 1 z=t 2 , ta xác định được giao tuyến cần tìm có dạng 3 t 2 1 + 4t 2 2 + 36t 1 − 96 t 2 + 360 = 0. (b) Xét hệ phương trình { x 2 − 3 y 2 +z 2 − 6 xy+ 2yz− 3 y+z−1 = 0 2 x− 3 y−z+ 2 = 0 ⇔{x 2 − 3 y 2 +z 2 − 6 xy+ 2yz− 3 y+z−1 = 0 z= 2x− 3 y+ 2 ⇔{x 2 − 3 y 2 + (2x− 3 y+ 2) 2 − 6 xy+ 2y(2x− 3 y+ 2)− 3 y+ 2x− 3 y+ 2−1 = 0 z= 2x− 3 y+ 2 ⇔{x 2 − 3 y 2 + 4x 2 + 9y 2 + 4− 12 xy+ 8x− 12 y− 6 xy+ 4xy− 6 y 2 + 4y− 3 y+ 2x− 3 y+ 2−1 = 0 z= 2x− 3 y+ 2 ⇔{5 x 2 − 14 xy+ 10x− 14 y+ 5 = 0 z= 2x− 3 y+ 2. Đặt {x=t 1 y=t 2 , ta cóz= 2t 1 − 3 t 2 + 2. Vậy trên 2 - phẳng x=t 1 y=t 2 z= 2t 1 − 3 t 2 + 2 , ta xác định được giao tuyến cần tìm có dạng 5 t 2 1 − 14 t 1 t 2 + 10t 1 − 14 t 2 + 5 = 0. Bài 15:Hãy đưa phương trình tổng quá của các mặt bâc hai sau về dạng chính tắc (trong hệ tọa độ trực chuẩn) và xác định loại của chúng. a) 7 x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 4 xy− 4 yz− 6 x− 24 y+ 18z+ 30 = 0 b) 6 x 2 − 2 y 2 + 6z 2 + 4zx+ 8x− 4 y− 8 z+ 1 = 0 c)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy− 4 yz− 8 xz− 14 x− 4 y+ 14z + 16 = 0d)x 2 +y 2 + 5z 2 − 6 xy− 2 yz+ 2xz− 4 x+ 8y− 12 z+ 14 = 0 e) 4 x 2 + 5y 2 + 6z 2 − 4 xy+ 4yz+ 4z+ 6y+ 4z−27 = 0 f) 2 x 2 + 5y 2 + 2z 2 − 2 xy+ 2yz− 4 xz+ 2x− 10 y− 2 z−1 = 0 g)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy+ 4yz− 10 zx+ 2x+ 4y− 10 z−1 = 0 i) 2 x 2 + 10y 2 − 2 z 2 + 12xy+ 8yz+ 12x+ 4y+ 8z−1 = 0 j) 2 x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 4xy+ 2yz+ 2zx− 4 z+ 6y− 2 z+ 3 = 0
14 x− 4 y = 6 − 4 x+ 12y− 4 z= 24 − 4 y+ 10z=− 18 ⇔x= 1 y= 2 z=− 1 I(1; 2;−1) x=x′+ 1 y=y ′ + 2 z=z′ − 1 Khi đó, phương trình trở thành: 7 x′ 2
⇔ (x′ √7) 2− 2 x′ √7.2 √y′ 7 +(2 √y′ 7 ) 2+(y′ √ √ 38 7 ) 2− 2.y′ √ √ 38 7 .z ′ 2 √ 7 √ 38 + 1419 z′ 2 + 81 19 z′ 2 = 6 ⇔(x ′ √7 6 − √ 2 y′ 42 ) 2+(y′ √ √ 38 42 −2 z′ √ √ 7 228 ) 2+(√ 9 z′ 114 ) 2\= 1Đặt X=x′ √7 6 − √ 2 y′ 42 Y= y′ √ √ 38 42 −2 z′ √ √ 7 228 Z= √ 9 z′ 114 X 2 +Y 2 +Z 2 = 1 (Elipsoit)
⇔ (6 x √5) 2− 2. 6 x √5(2 z √5 − 4√5)
(2 y √15) 2− 2. 2 y √15. 2√15 −(2√15) 2+(4 z √10) 2− 2. 4 z √10.√10 + 10 = 0⇔(6 x √5 − 2 z √5 + 4√5) 2−(2 y √15 + 2√15) 2+(4 z √10 −√10) 2\= 0Đặt X= 6x √5 − 2 z √5 + 4√5Y= 2y √15 + 2√15Z= 4z √10 −√10X 2 −Y 2 +Z 2 = 0(Nón bậc 2) c)x 2 − 2 y 2 +z 2 + 4xy− 4 yz− 8 xz− 14 x− 4 y+ 14z+ 16 = 0 ⇔x 2 + 2x(2y− 4 z−7) + (2y− 4 z−7) 2 − 6 y 2 − 15 z 2 + 12yz+ 24y− 42 z−33 = 0 ⇔(x+ 2y− 4 z−7) 2 − 6 y 2 + 2y √6(z √6 + 2√6)−(6z 2 + 24z+ 24)− 9 z 2 − 18 z−9 = 0 ⇔(x+ 2y− 4 z−7) 2 − (y √6 −z √6 − 2√6) 2−(3z+ 3) 2 = 0 Đặt X=x+ 2y− 4 z− 7 Y =y √6 −z √6 − 2√6Z= 3z+ 3 X 2 −Y 2 −Z 2 = 0 ⇐⇒2(x 2 + 2x(3y+ 3) + (3y+ 3) 2 )− 8 y 2 − 32 y− 19 − 2 z 2 + 8yz+ 8z= 0. |
