Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10;10) để lim 1 2an

CHUÛ ÑEÀ 4. GIÔÙI HAÏN Baøi 01 GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số ( ) n u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay 0 n u → khi . n → +∞ Định nghĩa 2 Ta nói dãy số ( ) n v có giới hạn là a (hay n v dần tới a ) khi , n → +∞ nếu ( ) lim 0. n n v a →+∞ − = Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay n v a → khi . n → +∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) 1 lim 0; n n →+∞ = 1 lim 0 k n n →+∞ = với k nguyên dương; b) lim 0 n n q →+∞ = nếu 1; q < c) Nếu n u c = (c là hằng số) thì lim lim . n n n u c c →+∞ →+∞ = = Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim n n u a →+∞ = ta viết tắt là lim n u a = . II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1 a) Nếu lim n u a = và lim n v b = thì ( ) lim n n u v a b • + = + ( ) lim n n u v a b • − = − ( ) lim . . n n u v ab • = lim n n u a v b      • =        (nếu 0 b ≠ ). b) Nếu lim 0, n n u a u n  =     ≥ ∀   thì lim . 0 n u a a   =    ≥   III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn ( ) n u có công bội q , với 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: ( ) 1 2 3 1 1 . 1 n S u u u u u q q = + + + + = − … < … +IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa • Ta nói dãy số ( ) n u có giới hạn là +∞ khin → +∞ , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u = +∞ hay n u → +∞ khi . n → +∞ • Dãy số ( ) n u có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu ( ) lim n u − = +∞ . Kí hiệu: lim n u = −∞ hay n u → −∞ khi . n → +∞ Nhận xét: ( ) lim . n n u u = +∞ ⇔ − = −∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k n = +∞ với k nguyên dương; b) lim n q = +∞ nếu 1 q > . 3. Định lí 2 a) Nếu lim n u a = và lim n v = ±∞ thì lim 0 n n u v = . b) Nếu lim 0 n u a = > , lim 0 n v = và 0, 0 n v n > ∀ > thì lim . n n u v = +∞ c) Nếu lim n u = +∞ và lim 0 n v a = > thì . lim . n n u v +∞ = CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 11 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Câu 1. Kết quả của giới hạn sin 5 lim 2 3 n n     −       bằng: A. 2. − B. 3. C. 0. D. 5 . 3 Lời giải. Ta có sin 5 1 , 0 3 n n n ≤ ≤ mà 1 lim 0 n = nên sin 5 lim 0, 3 n n = do đó sin 5 lim 2 2. 3 n n     − = −       Chọn A. Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) : Nhập ( ) sin 5 2. 3 X X − Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn. Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT. Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để 1 2 cos 1 lim . 2 2 k n n n n − = A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. Lời giải. Ta có 2 sin 2 1 sin 2 2 2 n n n n n n n − = − . Điều kiện bài toán trở thành 1 cos lim 0. k n n n = Ta có 1 lim cos cos 0 1 n = = nên bài toán trở thành tìm k sao cho * 1 2 , 3 lim lim 0 1 0 2 2 k k k k l n k n k n ∈ − = = = ⇔ − < ⇔ <    → ℕ không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn). Chọn A. Câu 3. Kết quả của giới hạn 3sin 4 cos lim 1 n n n + + bằng: A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải. Ta có 3sin 4cos 7 7 0 1 1 3sin 4cos 0 lim 0. 1 n n n n n n n n + ≤ ≤ ≤ → +  → +  = + + Chọn B. Câu 4. Kết quả của giới hạn 2 cos 2 lim 5 1 n n n     −       + bằng: A. 4. B. 1 . 4 C. 5. D. 4. − Lời giải. Ta có 2 2 2 2 cos 2 1 c cos 2 0 lim 5 os 2 0 lim 0 1 1 1 5. 1 n n n n n n n n n n n n ≤ ≤ ≤ →  → =  → + + +     − =       + Chọn C. Câu 5. Kết quả của giới hạn 2 3 lim sin 2 5 n n n π     −       là: A. . −∞ B. 2. − C. 0. D. . +∞ Lời giải. Ta có 2 3 3 1 sin lim sin 2 lim . 2 . 5 5 n n n n n n π π         − = −             Vì 3 3 3 lim lim 1 sin lim . 2 . 1 sin 5 0 lim . 2 2 0 1 sin 1 5 5 . 0 n n n n n n n n n n π π π     = +∞ = +∞            →  → − = −∞               − = − <              ≤ →  ≤ Chọn A. Câu 6. Giá trị của giới hạn ( ) 1 lim 4 1 n n   −     +      +     bằng: A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 li lim m 4 4 0 1 1 1 . 1 n n n n n n n n − − ≤ ≤ ≤ →  → =    −     + =      +      → + + + Chọn C. Câu 7. Cho hai dãy số ( ) n u và ( ) n v có ( ) 2 1 1 n n u n − = + và 2 1 . 2 n v n = + Khi đó ( ) lim n n u v + có giá trị bằng: A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải. Ta có ( ) 2 2 0 lim lim 0 li 1 1 0 1 1 . 0 m 2 0 1 0 n n n n n n u n u n u v n v n v        → = =  ≤ ≤ ≤ → + ≤ ≤ ≤  → + =       →  + Chọn B. Chú ý : Cho ( ) ( ) , P n Q n lần lượt là các đa thức bậc , m k theo biến : n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m an a a Q n b n b n bn P x a n b b a n − − − − = + + + = / + = + + + + = / ⋯ ⋯ Khi đó ( ) ( ) lim lim m m k k P n a n Q n b n = , viết tắt ( ) ( ) m m k k P n a n Q n b n ∼ , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu (m k < ) thì ( ) ( ) lim 0. P n Q n = Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu (m k = ) thì ( ) ( ) lim . m k P n a Q n b = Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu (m k > ) thì ( ) ( ) 0 lim . 0 m k m k khi a b P n khi a b Q n  +∞ >   =   −∞ <   Để ý rằng nếu ( ) ( ) , P n Q n có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc là . k n Ví dụ n có bậc là 3 4 1 , 2 n có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! Câu 8. Giá trị của giới hạn 2 3 lim 4 2 1 n n − − + là: A. 3 . 4 − B. . −∞ C. 0. D. 1. − Lời giải. Ta có 2 2 2 3 3 0 lim lim 0. 2 1 4 4 2 1 4 n n n n n − − = = = − + − + Chọn C. Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 9. Giá trị của giới hạn 2 3 2 lim 3 1 n n n n + + − bằng: A. 2. B. 1. C. 2 . 3 D. 0. Lời giải. Ta có 2 2 3 2 3 1 2 2 0 lim lim 0. 3 1 1 3 1 1 n n n n n n n n + + = = = + − + − Chọn D. Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 10. Giá trị của giới hạn 3 4 3 2 1 lim 4 2 1 n n n n − + + + là: A. . +∞ B. 0. C. 2 . 7 D. 3 . 4 Lời giải. Ta có 3 2 4 4 3 4 3 2 1 3 2 1 0 lim lim 0. 2 1 4 4 2 1 4 n n n n n n n n n − + − + = = = + + + + Chọn B. Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Câu 11. Giá trị của giới hạn 1 lim 2 n n n 2 + + bằng: A. 3 . 2 B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải. Ta có 2 2 1 1 1 0 lim lim 0. 2 1 2 1 n n n n n n 2 + + = = = + + Chọn D. Giải nhanh : 2 1 1 0. 2 n n n n n n n 2 + =  → + ∼ Câu 12. Cho hai dãy số ( ) n u và ( ) n v có 1 1 n u n = + và 2 . 2 n v n = + Khi đó lim n n v u có giá trị bằng: A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Ta có 1 1 1 1 lim lim lim 1. 2 2 1 1 n n v n n u n n + + = = = = + + Chọn A. Giải nhanh : 1 1. 2 n n n n + = + ∼ Câu 13. Cho dãy số ( ) n u với 4 5 3 n an u n + = + trong đó a là tham số thực. Để dãy số ( ) n u có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: A. 10. a = B. 8. a = C. 6. a = D. 4. a = Lời giải. Ta có 4 4 lim lim lim . 3 5 3 5 5 n a an a n u n n + + = = = + + Khi đó lim 2 2 10 5 n a u a = ⇔ = ⇔ =  → Chọn A. Giải nhanh : 4 2 10. 5 3 5 5 an an a a n n + = ⇔ = + ∼ ∼ Câu 14. Cho dãy số ( ) n u với 2 5 3 n n b u n + = + trong đó b là tham số thực. Để dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là: A. b là một số thực tùy ý. B. 2. b = C. không tồn tại . b D. 5. b = Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 lim lim lim 3 5 3 5 5 n b n b n u n n b ∀ + + = = =  → + + ∈ℝ Chọn A. Giải nhanh : 2 2 2 5 3 5 5 n b n n n + = + ∼ với mọi . b ∈ℝ Câu 15. Tính giới hạn 2 2 5 lim . 2 1 n n L n + + = + A. 3 . 2 L = B. 1 . 2 L = C. 2. L = D. 1. L = Lời giải. Ta có 2 2 2 2 1 5 1 5 1 lim lim 1 2 2 1 2 n n n n L n n + + + + = = =  → + + Chọn B. Giải nhanh: 2 2 2 2 5 1 . 2 2 1 2 n n n n n + + = + ∼ Câu 16. Cho dãy số ( ) n u với 2 2 4 2 . 5 n n n u an + + = + Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: A. 4. a = − B. 4. a = C. 3. a = D. 2. a = Lời giải. ( ) 2 2 2 2 1 2 4 4 2 4 2 lim lim lim 5 0 2. 5 n n n n n u a a a an a n + + + + = = = = ⇔ = + + = / Chọn D. Giải nhanh : 2 2 2 2 4 2 4 4 2 2. 5 n n n a a an an + + = ⇔ = + ∼ ∼ Câu 17. Tính giới hạn 2 3 3 3 lim . 2 5 2 n n L n n − = + − A. 3 . 2 L = − B. 1 . 5 L = C. 1 . 2 L = D. 0. L = Lời giải. 2 3 3 2 3 1 3 3 3 lim lim 5 2 2 2 5 2 2 n n n L n n n n − − − = = =  → + − + − Chọn A. Giải nhanh: 2 3 3 3 3 3 3 3 . 2 2 5 2 2 n n n n n n − − = − + − ∼ Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ( ) 2 4 4 5 3 lim 0. 1 2 1 n an L a n n − = > − + + A. 0; 1. a a ≤ ≥ B. 0 1. a < < C. 0; 1. a a < > D. 0 1. a ≤ < Lời giải. ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 3 4 5 3 0 5 3 3 lim lim 0 . 2 1 1 1 1 2 1 1 a a n an a n L a a a n n a n n −  < − −  = = = > ⇔  > − − + +  − + + Chọn C. Câu 19. Tính giới hạn ( )( ) ( )( ) 3 2 4 2 3 1 lim . 2 1 7 n n n L n n − + = − − A. 3 . 2 L = − B. 1. L = C. 3. L = D. . L = +∞ Lời giải. Ta có ( )( ) ( )( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 1 2 1 1 . 3 1 3 2 3 1 1.3 3 lim lim lim . 1 7 1 7 2.1 2 2 1 7 2 . 1 2 1 n n n n n n n n n L n n n n n n n n                − + − +             − +            − = = = = = −        − −         − − − −                        Chọn A. Giải nhanh: ( )( ) ( )( ) 3 2 3 2 4 4 2 3 1 .3 3 . 2 2 . 2 1 7 n n n n n nn n n − + − = − − − ∼ Câu 20. Tính giới hạn ( )( )( ) ( )( ) 2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim . 3 1 3 7 n n n n L n n n + + + = − − − A. 0. L = B. 1. L = C. 8 . 3 L = D. . L = +∞ Lời giải. ( )( )( ) ( )( ) 2 3 3 4 2 3 4 2 2 1 5 1 2 4 2 2 1 4 5 1.2.4 8 lim lim . 3 1 7 1.3 3 3 1 3 7 1 3 n n n n n n n L n n n n n n           + + +          + + +        = = = =    − − −     − − −            Chọn C. Giải nhanh: ( )( )( ) ( )( ) 2 3 2 3 4 2 4 2 2 2 1 4 5 .2 .4 8 . 3 .3 3 1 3 7 n n n n n n n n n n n n + + + = − − − ∼ Câu 21. Tính giới hạn 3 3 1 lim . 8 n L n + = + A. 1 . 2 L = B. 1. L = C. 1 . 8 L = D. . L = +∞ Lời giải. 3 3 3 3 3 1 1 1 1 lim lim 1 8 8 1 1 n n L n n + + = = = =  → + + Chọn B. Giải nhanh: 3 3 3 3 1 1. 8 n n n n + = + ∼ Câu 22. Kết quả của giới hạn 3 2 2 lim 1 3 n n n − − là: A. 1 . 3 − B. . +∞ C. . −∞ D. 2 . 3 Lời giải. 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 lim lim lim . . 1 1 1 3 3 3 n n n n n n n n n n     −  −      − = =   −   − −       Ta có 3 2 2 2 2 2 lim 2 1 2 2 1 im lim . 1 1 lim 0 1 3 3 1 3 3 n n n n n n n n n  = +∞     −  − −   → = = −∞  →   = − < −  −   −    Chọn C. Giải nhanh : 3 3 2 2 2 1 . 3 1 3 3 n n n n n n − = −  →−∞ − − ∼ Câu 23. Kết quả của giới hạn 3 2 2 3 lim 4 2 1 n n n n + + + là: A. 3 . 4 B. . +∞ C. 0 D. 5 . 7 Lời giải. 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 lim lim lim . . 2 1 2 1 4 2 1 4 4 n n n n n n n n n n n n n     +  +      + = =   + +   + + + +       Ta có 3 2 2 2 2 2 lim 2 3 2 2 3 3 im lim . . 3 2 1 lim 0 4 2 1 4 2 1 4 4 n n n n n n n n n n n n  = +∞     +  + +   → = = +∞   = > + +  + +   + +    Chọn B. Giải nhanh : 3 3 2 2 2 3 3 3 . . 4 4 2 1 4 n n n n n n n + =  → +∞ + + ∼ Câu 24. Kết quả của giới hạn 4 3 lim 4 5 n n n − − là: A. 0. B. . +∞ C. . −∞ D. 3 . 4 Lời giải. 4 4 3 3 3 3 3 1 1 3 lim lim lim . . 5 5 4 5 4 4 n n n n n n n n n n     −  −      − = =   −   − −       Ta có 3 4 3 3 3 lim 3 1 3 3 1 lim llim . . 1 5 4 5 lim 0 4 5 4 4 n n n n n n n n n   = +∞    −  −   −  → = = −∞   − = − <  −   −     Chọn C. Giải nhanh : 4 4 3 3 1 . . 4 5 4 4 n n n n n n − − = −  →−∞ − ∼ Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? A. 3 2 3 2 lim . 2 1 n n + − B. 2 3 2 3 lim . 2 4 n n − − − C. 3 2 2 3 lim . 2 1 n n n − − − D. 2 4 4 2 2 3 lim . 2 n n n n − − + Lời giải. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » ! 3 2 3 2 lim 2 1 n n + = +∞ − : « bậc tử » > « bậc mẫu » và 2.2 4 0. m k a b = = > 2 3 2 3 lim 0 2 4 n n − = − − : « bậc tử » < « bậc mẫu ». Chọn B. 3 2 2 3 lim 2 1 n n n − = +∞ − − : « bậc tử » > « bậc mẫu » và ( ) ( ) 3 . 2 0. n k a b = − − > 2 4 4 2 2 3 3 3 lim 2 2 2 n n n n − − = = − − + : « bậc tử » = « bậc mẫu » và 3 3 . 2 2 m k a b − = = − Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 3 − ? B. 2 2 2 . 3 5 n n n u n − = + A. 4 3 3 2 2 1 . 3 2 1 n n n u n n − + − = + − C. 2 3 3 2 3 . 9 1 n n n u n n − = + − D. 2 3 2 5 . 3 4 2 n n n u n n − + − = + − Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và 0. m k a b > Chọn C. 2 3 3 2 3 3 1 lim lim . 9 3 9 1 n n n u n n − − = = = − + − Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? +∞ A. 2 1 . 5 5 n n u n + = + B. 2 3 2 . 5 5 n n u n n − = + C. 2 2 2 . 5 5 n n n u n n − = + D. 2 1 2 . 5 5 n n n + + Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » > « bậc mẫu » với 0. m k a b > Chọn A. 2 2 1 1 1 lim lim lim . 5 5 5 5 n n n u n n n + + = = = +∞ + + vì 2 lim 1 1 . 1 lim 0 5 5 5 m k n a n b n  = +∞      +    = = >    +    Các đáp án còn lại đều rơi vào trường hợp « bậc tử » ≤ « bậc mẫu » nên cho kết quả hữa hạn. Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? −∞ A. 2 1 2 . 5 5 n n n + + B. 3 3 2 1 . 2 n n n u n n + − = − + C. 2 4 2 3 2 3 . 2 n n n u n n − = + D. 2 2 . 5 1 n n n u n − = + Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và 0. m k a b < Chọn C. 2 4 2 3 2 3 2 n n n u n n − = + : « bậc tử » > « bậc mẫu » và 3.2 6 0 lim . m k n a b u = − = − <  → = −∞ Chú ý : (i) ( ) 1 0 1 1 0 lim . 0 n m m m n n khi a a n a n khi a an a − −  +∞ >   + + =   − < + + ∞   ⋯ (ii) Giả sử { } max : 1;2 ; i q q i m = … > thì ( ) 0 1 1 0 1 lim . 0, 1. 0, 1 n n m m n a khi q aq a q khi a q khi a q aq a   <    + + = +∞ + + > >    −∞ < >   ⋯ Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau. Câu 29. Tính giới hạn ( ) 2 lim 3 5 3 . L n n = + − A. 3. L = B. . L = −∞ C. 5. L = D. . L = +∞ Lời giải. ( ) 2 2 2 5 3 lim 3 5 3 lim 2 L n n n n n     = + − = + − = +∞       vì 2 2 lim . 5 3 lim 2 2 0 n n n   = +∞          + − = >           Chọn D. Giải nhanh : 2 2 3 5 3 3 . n n n + −  → +∞ ∼ Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng ( ) 10;10 − để ( ) ( ) 2 3 lim 5 3 2 L n a n = − − = −∞ . A. 19. B. 3. C. 5. D. 10. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 5 lim 5 3 2 lim 3 2 n a n n a n     − − = − − = −∞       ( ) ( ) 2 2 2 , 10;10 5 lim 3 2 2 0 2 2 1; 0; 1. a a a a a a n ∈ ∈ −     ⇔ − − = − < ⇔ − < <    → = −       ℤ Chọn B. Câu 31. Tính giới hạn ( ) 4 2 lim 3 4 1 . n n n + − + A. 7. L = B. . L = −∞ C. 3. L = D. . L = +∞ Lời giải. Ta có ( ) 4 2 4 2 3 4 4 1 1 lim 3 4 1 lim 3 n n n n n n n     + − + = + − + = +∞       vì 4 2 3 4 lim . 4 1 1 lim 3 3 0 n n n n   = +∞          + − + = >           Chọn D. Giải nhanh : 4 2 4 3 4 1 3 . n n n n + − +  → +∞ ∼ Câu 32. Cho dãy số ( ) n u với ( ) ( ) 2 2 2 ... 2 . n n u = + + + Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. lim . n u = −∞ B. 2 lim . 1 2 n u = − C. lim . n u = +∞ D. Không tồn tại lim . n u Lời giải. Vì ( ) ( ) 2 2, 2 , , 2 n … lập thành cấp số nhân có 1 2 u q = = nên ( ) ( ) ( ) 1 2 2. 2 2 2 1 lim 1 2 n n n n u u −   = = − −  → = +∞       − vì 2 2 0 . 2 1 a q   = − >     = >    Chọn C. Câu 33. Giá trị của giới hạn 2 1 3 1 ... 2 2 2 lim 1 n n + + + + + bằng: A. 1 . 8 B. 1. C. 1 . 2 D. 1 . 4 Lời giải. Ta có ( ) ( ) 1 1 3 1 1 1 ... 1 2 . . 2 2 2 2 2 2 n n n n + + + + + + = + + = ⋯ Do đó 2 2 2 1 3 1 ... 1 2 2 2 lim lim 4 1 4 4 n n n n n + + + + + = = + + (“bậc tử” = “bậc mẫu”). Chọn D. Câu 34. Giá trị của giới hạn 2 2 2 1 2 1 lim ... n n n n   −   + + +       bằng: A. 0. B. 1 . 3 C. 1 . 2 D. 1. Lời giải. Ta có ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... 1 2 . . 2 1 2 n n n n n n n n n n n n + − + − − − + + + = + + = = − ⋯ Do đó 2 2 2 2 2 1 2 1 1 lim ... lim . 2 2 n n n n n n n   − −   + + + = =       Chọn C. Câu 35. Giá trị của giới hạn ( ) 2 1 3 5 2 1 lim 3 4 n n   + + + + +          +   ⋯ bằng: A. 0. B. 1 . 3 C. 2 . 3 D. 1. Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 1 2 1 5 2 1 2 1 3 n n n n + − − = + + = + ⋯ nên ( ) 2 2 2 1 3 5 2 1 1 lim lim 3 3 4 3 4 n n n n   + + + + +    = =  →       + +   ⋯ Chọn B. Câu 36. Giá trị của giới hạn ( ) 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 1 n n       + + +      +   là: A. 1 . 2 B. 1. C. 0. D. . −∞ Lời giải. Ta có ( ) 1 1 1 1 1 1 1 lim ... lim 1 lim 1 1. 1.2 2.3 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n n n               + + + = − + − + = − =                  + +  + − +  ⋯ Chọn B. Câu 37. Giá trị của giới hạn ( )( ) 1 1 1 lim ... 1.3 3.5 2 1 2 1 n n       + + +      − +   bằng: A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 1. D. 2. Lời giải. Với mọi * k ∈ℕ thì ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 k k k k     = −       − + − + , do đó ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim ... lim 1 1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2 1 2 1 1 1 1 lim 1 . 2 2 1 2 n n n n n           + + + = − + − + −        − + − +         = − =   +   Chọn A. Câu 38. Giá trị của giới hạn ( ) 1 1 1 lim ...... 1.4 2.5 3 n n     + + +   +     bằng: A. 11 . 18 B. 2. C. 1. D. 3 . 2 Lời giải. Ta có ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... 1 1.4 2.5 3 3 4 2 5 3 6 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 3 1 1 1 3 1 1 3 11 1 1 1 3 6 1 2 3 n n n n n n n n n n n n     + + + = − + − + − +   +               = + + + − + + +          + − + + + +            = + + − − −       + + +     = − − −       + + + ⋯ ⋯ ⋯ Do đó ( ) 1 1 1 1 11 1 1 1 11 lim ...... lim . 1.4 2.5 3 3 6 1 2 3 8 n n n n n           + + + = − − − =            + + + +   Chọn A. Câu 39. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 2 2 1 2 ... lim 1 n n n + + + + bằng: A. 4. B. 1. C. 1 . 2 D. 1 . 3 Lời giải. Đặt ( ) ( )( ) 3 2 1 2 1 2 3 6 6 n n n n n n P n − + − + = = thì ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 1 6 2 3 n P P P P P n P n n n n P n P + = − + − + + + − + + = + = + + − + ⋯ ⋯ Do đó ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 ... lim li 1 2 3 2 1 3 1 6 m . 6 1 n n n n n n n n + + = + + + = + = + Chọn D. Câu 40. Cho dãy số có giới hạn ( ) n u xác định bởi 1 1 2 . 1 , 1 2 n n n u u n u +    =       = ≥   −   Tính lim . n u A. lim 1. n u = − B. lim 0. n u = C. 1 lim . 2 n u = D. lim 1. n u = Lời giải. Giả sử lim n u a = thì ta có ( ) 1 2 2 2 2 1 1 1 lim lim 1 2 2 1 . 0 2 n n a a a u a a a u a a a +    = / = / − = − + =    = = = ⇔ ⇔ ⇔ =     − −     Chọn D. Câu 41. Cho dãy số có giới hạn ( ) n u xác định bởi 1 1 2 . 1 , 1 2 n n u u u n +  =      +  = ≥     Tính lim . n u A. lim 1. n u = B. lim 0. n u = C. lim 2. n u = D. lim . n u = +∞ Lời giải. Giả sử lim n u a = thì ta có 1 1 1 lim lim 1 2 2 n n u a a u a + + + = = = ⇔ =  → Chọn A. Câu 42. Kết quả của giới hạn 2 9 1 lim 4 2 n n n − + − bằng: A. 2 . 3 B. 3 . 4 C. 0. D. 3. Lời giải. 2 2 1 1 9 9 1 3 lim lim 2 4 2 4 4 n n n n n n − + − + = =  → − − Chọn B. Giải nhanh: 2 2 9 1 9 3 . 4 2 4 4 n n n n n − + = − ∼ Câu 43. Kết quả của giới hạn 2 4 2 1 lim 3 2 n n n − + + + bằng: A. 2 . 3 − B. 1 . 2 C. 3 . 3 − D. 1 . 2 − Lời giải. 2 2 4 4 2 1 1 2 1 1 lim lim 2 3 3 2 3 n n n n n n − + + − + + = = −  → + + Chọn C. Giải nhanh : 2 2 4 4 2 1 1 . 3 3 2 3 n n n n n − + + − = − + ∼ Câu 44. Kết quả của giới hạn 2 3 lim 2 5 n n + + là: A. 5 . 2 B. 5 . 7 C. . +∞ D. 1. Lời giải. 3 2 2 3 2 lim lim 1. 5 2 5 2 2 n n n n + + = = = + + Chọn D. Giải nhanh: 2 3 2 1. 2 5 2 n n n n + = + ∼ Câu 45. Kết quả của giới hạn 1 4 lim 1 n n n + − + + bằng: A. 1. B. 0. C. 1. − D. 1 . 2 Lời giải. 2 2 1 1 4 1 4 0 lim lim 0 1 1 1 1 1 n n n n n n n n + − + − = = =  → + + + + Chọn B. Giải nhanh: 1 4 1 0. 1 n n n n n n + − =  → + + ∼ Câu 46. Biết rằng 2 2 1 lim sin . 4 2 n n a b n n π + + = + − − Tính 3 3 . S a b = + A. 1. S = B. 8. S = C. 0. S = D. 1. S = − Lời giải. Ta có 2 2 2 1 1 1 1 1 1 lim lim 2 2 sin 1 4 1 2 2 1 n n n n n n n π + + + + + = = = − − − − 2 2 8 0 a S b   =   →  → =  →   =   Chọn B. Câu 47. Kết quả của giới hạn 4 2 10 lim 1 n n + + là: A. . +∞ B. 10. C. 0. D. . −∞ Lời giải. 2 4 2 2 4 10 10 0 lim lim 0. 1 1 1 1 1 n n n n n = = = + + + + Chọn C. Giải nhanh: 2 4 2 4 10 10 10 0. 1 n n n n =  → + + ∼ Câu 48. Kết quả của giới hạn ( ) 4 2 2 2 lim 1 1 n n n n + + + − là: A. . +∞ B. 1. C. 0. D. . −∞ Lời giải. ( ) ( ) 3 4 2 4 2 2 1 2 2 lim 1 lim 0 1 1 n n n n n n n + + + = = + − + − (“bậc tử” < “bậc mẫu”). Chọn C. Giải nhanh: ( ) 4 2 4 2 2 2 2 1 . 0. 1 n n n n n n n n + + =  → + − ∼ Câu 49. Biết rằng 3 2 3 2 5 7 lim 3 3 2 an n b c n n + − = + − + với , , a b c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức 3 . a c P b + = A. 3. P = B. 1 . 3 P = C. 2. P = D. 1 . 2 P = Lời giải. Ta có 3 3 2 3 3 3 3 2 2 5 7 5 7 lim lim 3 3 1 2 3 3 2 3 a an n b a n n n n n n + − + − = = = − + − + 3 1 3 . 3 3 0 b a b c P c    =  = + ⇒ ⇒ =    =   Chọn B. Câu 50. Kết quả của giới hạn 5 2 5 lim 200 3 2 n n − + là: A. . +∞ B. 1. C. 0. D. . −∞ Lời giải. Ta có 5 2 5 5 5 3 200 2 lim 200 3 2 lim 3 n n n n n       − + = − + = −∞        vì 5 5 5 3 lim . 200 2 lim 3 3 0 n n n  = +∞             − + = − <            Chọn D. Giải nhanh: 5 5 2 5 5 5 200 3 2 3 3. . n n n n − + − = −  →−∞ ∼ Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 51. Giá trị của giới hạn ( ) lim 5 1 n n + − + bằng: A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải. 5 1 0 n n n n + − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 4 lim 5 1 lim 0 5 1 n n n n + − + = =  → + + + Chọn A. Câu 52. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 1 n n n − + − là: A. 1 . 2 − B. 0. C. 1. D. . −∞ Lời giải. 2 2 1 0 n n n n n − + − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n − + − + − + − = = = −  → − + + − + + Chọn A. Giải nhanh : 2 2 2 1 1 1 . 2 1 n n n n n n n n n n − + − − + − = = − − + + + ∼ Câu 53. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 1 3 2 n n − − + là: A. 2. − B. 0. C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. ( ) 2 2 2 2 1 2 lim 1 3 2 lim 1 3 n n n n n       − − + = − − + = −∞        vì 2 2 1 2 lim , lim 1 3 1 3 0. n n n       = +∞ − − + = − <        Chọn C. Giải nhanh : ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 1 3 . n n n n n − − + − = −  →−∞ ∼ Câu 54. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 2 2 n n n n + − − là: A. 1. B. 2. C. 4. D. . +∞ Lời giải. 2 2 2 2 2 2 0 n n n n n n + − − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 4 4 lim 2 2 lim lim 2. 2 2 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n + − − = = = + + − + + − Chọn B. Giải nhanh : 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2. 2 2 n n n n n n n n n n n n + − − = = + + − + ∼ Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để ( ) ( ) 2 2 2 lim 2 1 0. n a n n a n + − + + + = A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải. ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 n a n n a n n n + − + + + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp: Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 lim 2 1 lim 1 a a n n a n n a n n n n − − − + − + + + = + + + 2 2 2 1 2 1 2 lim 0 . 2 2 1 1 1 1 a a a a a n b n n − − −  = − − −  = = = ⇔  =  + + + Chọn B. Câu 56. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 2 1 2 3 2 n n n n − + − − + là: A. 0. B. 2 . 2 C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 0 n n n n n n − + − − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 lim 2 1 2 3 2 lim 2 1 2 3 2 1 2 1 lim . 1 1 3 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n − − + − − + = − + + − + − = = − + + − + Chọn B. Giải nhanh : 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 . 2 2 1 2 3 2 2 2 n n n n n n n n n n n n − − + − − + = = − + + − + + ∼ Câu 57. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 2 1 2 n n n n + − − + là: A. 1. − B. 1 2. − C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. Giải nhanh : ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 . n n n n n n n + − − + − = −  →−∞ ∼ Cụ thể : ( ) 2 2 2 2 1 1 lim 2 1 2 lim . 1 2 n n n n n n n n       + − − + = + − − + = −∞        vì 2 2 1 1 lim , lim 1 2 1 2 0 n n n n       = +∞ + − − + = − <  →        Chọn C. Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( ) 2 2 lim 8 0 n n n a − − + = . A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Lời giải. Nếu 2 2 2 8 0 n n n a n n − − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 2 8 lim 8 lim lim 1 1 1 a n a n n n a n n n n − − − − + = = + + + + 2 4 0 2. a a = − = ⇔ = ± Chọn B. Câu 59. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 2 3 n n n − + − là: A. 1. − B. 0. C. 1. D. . +∞ Lời giải. 2 2 2 3 0 n n n n n − + − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 3 2 2 3 lim 2 3 lim lim 1 2 3 2 3 1 1 n n n n n n n n n n − + − + − + − = = = −  → − + + − + + Chọn A. Giải nhanh : 2 2 2 2 3 2 2 3 1. 2 3 n n n n n n n n n n − + − − + − = = − − + + + ∼ Câu 60. Cho dãy số ( ) n u với 2 2 5 1 n u n an n = + + − + , trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim 1. n u = − A. 3. B. 2. C. 2. − D. 3. − Lời giải : 2 2 2 2 5 1 0 n an n n n + + − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 lim lim 5 1 lim 5 1 4 lim 2. 2 5 1 1 1 n an u n an n n an n a a n a a n n n + − = = + + − + = + + + + + = = ⇔ = − + + + + Chọn C. Giải nhanh : 2 2 2 2 2 2 4 1 5 1 2. 2 5 1 an an a n an n a n an n n n + − + + − + = = ⇔ = − + + + + + ∼ ∼ Câu 61. Giá trị của giới hạn ( ) 3 3 3 3 lim 1 2 n n + − + bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 0 n n n n + − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 lim 1 2 lim 0. 1 1. 2 2 n n n n n n − + − + = =  → + + + + + + Chọn C. Câu 62. Giá trị của giới hạn ( ) 3 2 3 lim n n n − + là: A. 1 . 3 B. . +∞ C. 0. D. 1. Lời giải. 3 3 2 3 3 0 n n n n n − + − + =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1 1 lim lim lim . 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n − + = = =   − − − +   − − − +       Chọn A. Giải nhanh : ( ) 2 2 3 2 3 3 3 2 6 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 . 3 n n n n n n n n n n n n n n n − + = = − − + − − − + ∼ Câu 63. Giá trị của giới hạn ( ) 3 3 2 lim 2 n n n − − bằng: A. 1 . 3 B. 2 . 3 − C. 0. D. 1. Lời giải. 3 3 3 2 3 2 0 n n n n n − − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 lim 2 lim lim . 3 2 2 2 . 2 1 1 1 n n n n n n n n n n n n − − − − = = = −   − + − +   − + − +       Chọn B. Giải nhanh : ( ) 2 2 3 3 2 3 3 2 6 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 . 3 . 2 . 2 n n n n n n n n n n n n n n n − − − − = = − + + − + − + ∼ Câu 64. Giá trị của giới hạn ( ) lim 1 1 n n n   + − −     là: A. 1. − B. . +∞ C. 0. D. 1. Lời giải. ( ) ( ) 1 1 0 n n n n n n + − − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 lim 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n + − − = = =  → + + − + + − Chọn D. Giải nhanh : ( ) 2 2 1 1 1. 1 1 n n n n n n n n n + − − = = + + − + ∼ Câu 65. Giá trị của giới hạn ( ) lim 1 n n n   + −     bằng: A. 0. B. 1 . 2 C. 1 . 3 D. 1 . 4 Lời giải. ( ) ( ) 1 0 n n n n n n + − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 1 1 lim 1 lim lim 2 1 1 1 1 n n n n n n n + − = = =  → + + + + Chọn B. Giải nhanh : ( ) 1 1 . 2 1 n n n n n n n n n + − = = + + + ∼ Câu 66. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 1 3 n n n   + − −     bằng: A. 1. − B. 2. C. 4. D. . +∞ Lời giải. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 0 n n n n n n + − − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 lim 1 3 lim lim 2 1 3 1 3 1 1 n n n n n n n n + − − = = =  → + + − + + − Chọn B. Giải nhanh : ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 1 3 2. 1 3 n n n n n n n n n + − − = = + + − + ∼ Câu 67. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 1 6 n n n n n   + + − + −     là: A. 7 1. − B. 3. C. 7 . 2 D. . +∞ Lời giải. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 0 n n n n n n n n + + − + − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 2 2 7 lim 1 6 lim 1 6 7 7 lim . 2 1 1 1 6 1 1 n n n n n n n n n n n n n n + + − + − = + + + + − = = + + + + − Chọn C. Giải nhanh : ( ) 2 2 2 2 2 2 7 7 7 1 6 . 2 1 6 n n n n n n n n n n n n n + + − + − = = + + + + − + ∼ Câu 68. Giá trị của giới hạn 2 1 lim 2 4 n n 2 + − + là: A. 1. B. 0. C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. 2 2 2 2 4 0 n n n n 2 + − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 lim lim 2 4 lim . 1 1 2 2 2 4 n n n n n n n 2           = − + + + = − + + + = −∞          + − +     vì 2 2 1 2 4 lim , lim 1 1 1 0 2 n n n           = +∞ − + + + = − <  →              Chọn C. Giải nhanh : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 . 2 2 2 4 n n n n n n n 2 = − + + + − + = −  →−∞ + − + ∼ Câu 69. Giá trị của giới hạn 2 9 2 lim 3 2 n n n n − − + − là: A. 1. B. 0. C. 3. D. . +∞ Lời giải. 2 2 9 2 9 3 0 n n n n n = / − =  − +  → ∼ giải nhanh : 2 2 9 2 9 1 3 2 3 n n n n n n − − + =  → − ∼ Chọn A. Cụ thể : 2 2 1 1 2 9 9 2 9 lim lim 1. 2 3 2 3 3 n n n n n n n n − − + − − + = = = − − Câu 70. Giá trị của giới hạn 3 3 1 lim 1 n n + − là: A. 2. B. 0. C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. 3 3 3 3 1 0 n n n n + − − =  → ∼ nhân lượng liên hợp : ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 3 3 1 lim 1 lim 0 1 1 n n n n n n + − = =  → + + + + Chọn B. Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA H=M LŨY THỪA Câu 71. Kết quả của giới hạn 2 2 5 lim 3 2.5 n n n + − + bằng: A. 25 . 2 − B. 5 . 2 C. 1. D. 5 . 2 − Lời giải. Giải nhanh : 2 2 2 5 5 25 2 3 2.5 2.5 n n n n n + + − − = −  → + ∼ Chọn A. Cụ thể : 2 1 2 25 2 5 25 5 lim lim . 2 3 2.5 3 2 5 n n n n n +     −       − = = − +     +       Câu 72. Kết quả của giới hạn 1 1 3 2.5 lim 2 5 n n n n + + − + bằng: A. 15. − B. 10. − C. 10. D. 15. Lời giải. Giải nhanh : 1 1 1 3 2.5 2.5 10 2 5 5 n n n n n n + + + − − = −  → + ∼ Chọn B. Cụ thể : 1 1 3 10 3 2.5 5 lim lim 10. 2 5 2 2. 1 5 n n n n n n + +     −       − = = − +     +       Câu 73. Kết quả của giới hạn 1 3 4.2 3 lim 3.2 4 n n n n + − − + là: A. 0. B. 1. C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. Giải nhanh : 1 3 4.2 3 3 3 0. 4 3.2 4 4 n n n n n n n +   − −   =  →       + ∼ Chọn A. Cụ thể : 1 3 1 1 8. 3. 3 4.2 3 0 4 2 4 lim lim 0. 1 3.2 4 1 3. 1 2 n n n n n n n n +             − −                   − − = = = +     +       Câu 74. Kết quả của giới hạn 3 1 lim 2 2.3 1 n n n − − + bằng: A. 1. − B. 1 . 2 − C. 1 . 2 D. 3 . 2 Lời giải. Giải nhanh : 3 1 3 1 2 2 2.3 1 2.3 n n n n n − = −  → − + − ∼ Chọn B. Cụ thể : 1 1 3 1 1 3 lim lim . 2 2 2.3 1 2 1 2 3 3 n n n n n n     −       − = = − − +         − +             Câu 75. Biết rằng ( ) ( ) 1 2 1 2 5 2 1 2 3 5 lim 1 5.2 5 3 n n n n n a c b n + +     − +  +     + = +     −   + −     với , , . a b c ∈ℤ Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 . S a b c = + + A. 26. S = B. 30. S = C. 21. S = D. 31. S = Lời giải. Giải nhanh : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 5 2 1 5 2 3 2 1 5 2 2 5. 5 1 5 5.2 5 3 5 2 n n n n n n a n n b n n c + + +  =   − + +   + + = + = +  → =   −  + −  =   ∼ Vậy 2 2 2 1 5 2 30. S = + + = Chọn B. Cụ thể : ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 2. 2 5 2 1 2 3 5 5 lim lim 1 1 2 1 5.2 5 3 1 5. 5 . 5 5 n n n n n n n n n n n n + +                 − +      +       − +           +        + + = +         −          + −  −          + −                      1 5 2 2. 5 5 = + = + Câu 76. Kết quả của giới hạn 2 2 2 3 2 lim 3 3 2 n n n n n n π π + + + − + là: A. 1. B. 1 . 3 C. . +∞ D. 1 . 4 Lời giải. Giải nhanh: 2 2 2 3 2 3 4 4 1 4 3 3 2 3 3 4.4 4.4 n n n n n n n n n n n n n n π π π π + + + + + = =  → − + − + ∼ Chọn D. Cụ thể : 2 2 2 3 1 3 2 1 4 4 lim lim . 4 3 3 2 3 3. 3. 4 4 4 n n n n n n n n n n π π π π +         + +             + + = = − +         − +             Câu 77. Kết quả của giới hạn lim 3 5 n n   −     là: A. 3. B. 5. − C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. Giải nhanh : Vì 3 5 > nên 3 5 3 . n n n −  → +∞ ∼ Chọn D. Cụ thể : 5 lim 3 5 lim3 1 3 n n n n                − = − = +∞                     vì lim3 . 5 lim1 1 0 3 n n   = +∞             − = >             Câu 78. Kết quả của giới hạn ( ) 4 1 lim 3 .2 5.3 n n + − là: A. 2 . 3 B. 1. − C. . −∞ D. 1 . 3 Lời giải. Giải nhanh : ( ) 4 1 3 .2 5.3 5.3 5 0 . n n n + − − = −∞ − <  → ∼ Chọn C. Cụ thể : ( ) 4 1 2 lim 3 .2 5.3 lim3 162. 5 3 n n n n +           − = − = −∞              vì lim3 . 2 lim 162. 5 5 0 3 n n   = +∞                 − = − <                   Câu 79. Kết quả của giới hạn 1 3 4.2 3 lim 3.2 4 n n n n + − − + là: A. 0. B. 1. C. . −∞ D. . +∞ Lời giải. Giải nhanh : 1 3 4.2 3 3 3 0. 4 3.2 4 4 n n n n n n n +   − −   =  →       + ∼ Chọn A. Cụ thể : 1 1 1 8.3 3 24. 0 4 4 3 4.2 3 3 4.2 3 0 lim 0. 3.2 4 3.2 4 n n n n n n n n n n n + + +     ≤ ≤ = →  →   − − − − = + +     Câu 80. Kết quả của giới hạn 1 2 2 3 10 lim 3 2 n n n n + + + − + là: A. . +∞ B. 2 . 3 C. 3 . 2 D. . −∞ Lời giải. Ta có ( )( ) 3 0 3 2 2 0 1 2 2 . 6 2 2 6 n n n n n k n n k n n n n n C n C =    →  − −   ≥ = ⇒    → +∞     = ⇒ ∑ ∼ Khi đó: 1 2 2 2 1 2 3. 10. 2 3 10 2 2 2 lim lim . 1 2 3 2 3 n n n n n n n n n n n +     + +       + + = = +∞ − + − + vì 2 2 2 lim 1 . 2 3. 10. 2 2 2 lim 0 1 2 3 3 n n n n n n n    = +∞             + +          = >    − +     Chọn A. Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc ( ) 0;2018 để 1 4 1 . 1024 4 2 lim 3 4 n n n n a + + + + ≤ A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. Lời giải. Giải nhanh: 1 4 10 4 2 4 2 4 1 3 4 4 2 1 2 1024 2 10. 1024 n n n a n n n a a a + + + ≤ ⇔ ≥ + = ⇔ ≥ = + ∼ Mà ( ) 0;2018 a ∈ và a ∈ℤ nên { } 10;2017 a ∈  → có 2008 giá trị . a Chọn B. Cụ thể : ( ) 1 4 4 2 1 1 2. 4 2 1 1 1 2 lim lim . 3 4 4 2 3 2 4 4 n n n n n a n a a a a + +     +       + = = = = +     +       Câu 82. Kết quả của giới hạn ( ) 2 1 2 lim 3 1 3 n n n n n   −  +    +      −     bằng: A. 2 . 3 B. 1. − C. 1 . 3 D. 1 . 3 − Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 lim lim lim . 3 1 3 1 3 3 n n n n n n n n n n   − −  + +    + = +      − −     Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 lim 0 2 1 2 1 lim lim 1 3 1 3 3 3 1 2 1 3 lim . 3 1 3 3 1 0 3 n n n n n n n n n n n n n n n    −     ≤ ≤ → ⇒ =   +   +  = =     −  −  +  −    ⇒ + =        −           −        Chọn C. Câu 83. Kết quả của giới hạn ( ) 3 1 cos3 lim 1 n n n n   + −           −    bằng: A. 3 . 2 B. 3. C. 5. D. 1. − Lời giải. ( ) ( ) 3 1 cos3 1 cos3 3 lim lim . 1 1 n n n n n n n n n     + − −         = +             − −       Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 cos3 1 cos3 1 0 li 3 3 lim 3 1 1 3 1 co m s3 lim 3 0 1 1 1 . 1 0 n n n n n n n n n n n n n    = =     −  + −       ⇒ =         −     − − ≤ ≤ → ⇒ = − − −       Chọn B. Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc ( ) 0;20 sao cho 2 2 1 1 lim 3 3 2 n an n − + − + là một số nguyên. A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim 3 3 1 1 1 lim 3 3 . 3 2 1 1 lim lim 0 2 2 n n n a an n a n an a n n    −  −   = =   + −  + ⇒ + − = +   +         = =           Ta có ( ) { } 0;20 , 1;6;13 . 3 a a a a    ∈ ∈ ∈   →     ∈ +  ℤ ℤ Chọn B. Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3 2 n n − + là: A. 0. B. 2. C. 3. D. . +∞ Lời giải. Ta có 1 lim 2.3 2 lim 3 . 2 2. . 3 3 n n n n n n     − + = − +       Vì ( ) 2 lim 3 0 1 2 2. 2 0 3 lim 3 2 0 lim 0 , 1 1 3 3 lim 2 1 lim 0 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n n C             = +∞   = +∞     − +       ≤ ≤ = = = >     → ⇒ =  →     − −                  =              do đó lim 2.3 2 . n n − + = +∞ Chọn D. Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Câu 86. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 9 4 . Số hạng đầu 1 u của cấp số nhân đó là: A. 1 3. u = B. 1 4. u = C. 1 9 . 2 u = D. 1 5. u = Lời giải. Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có : ( ) ( ) 1 1 3 3 1 3 1 1 2 2 1 1 2 . 9 1 1 9 2 1 2 1 3 . 4 2 1 4 u q u q q q q u S u q       =  = −  = −     −       ⇔ ⇔         − − =      = + =  = =             −      Chọn A. Câu 87. Tính tổng 3 1 1 1 9 3 1 3 9 3 n S − = + + + + + + + ⋯ ⋯. A. 27 . 2 S = B. 14. S = C. 16. S = D. 15. S = Lời giải. Ta có 1 3 2 4 1 : 1, 1 3 1 1 1 1 1 1 1 27 9 3 1 9 1 9 . 1 3 9 3 2 1 3 3 3 1 3 3 n CSNlvh u q n S − = = −                         = + + + + + + + = + + + + = =              −               + + ⋯ ⋯  ⋯ ⋯ Chọn A. Câu 88. Tính tổng 1 1 1 1 2 1 2 4 8 2 n S     = + + + + + +       ⋯ ⋯ . A. 2 1. S = + B. 2. S = C. 2 2. S = D. 1 . 2 S = Lời giải. Ta có 1 1 : 1, 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2. 1 2 4 8 2 1 2 n CSNlvh u q S = =                         = + + + + + + = =              −               ⋯ ⋯  Chọn C. Câu 89. Tính tổng 2 4 2 1 3 9 3 n n S = + + + + + ⋯ ⋯. A. 3. S = B. 4. S = C. 5. S = D. 6. S = Lời giải. Ta có 1 2 : 1, 3 2 2 4 2 2 2 1 1 3 9 3 3 2 1 3. 2 3 1 3 3 n CSN lv n h u q n S = =     + +  =    = + + + + + = + + +    =       −    ⋯ ⋯  ⋯  ⋯ Chọn A. Câu 90. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( ) 1 1 1 1 1 1 , , ,..., ,... 2 6 18 2.3 n n + − − − bằng: A. 3 . 4 B. 8 . 3 C. 2 . 3 D. 3 . 8 Lời giải. Ta có : ( ) ( ) 1 1 2 1 1 : 1 1 1, 3 1 1 1 1 1 1 3 1 . 1 2 3 2 8 3 3 1 1 1 1 1 2 6 18 2.3 3 n n CSN lvh u n n q S + + − = = − −                −          + = − + + + = =              +           − = + + +     − ⋯ ⋯ ⋯  Chon D. Câu 91. Tính tổng 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 9 2 3 n n S             = − + − + + − +                   . A. 1. B. 2 . 3 C. 3 . 4 D. 1 . 2 Lời giải. Ta có 1 1 1 2 1 : 3 : 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ... ... 2 3 4 9 2 3 1 1 1 1 2 4 3 9 3 n n CSNlvh n u q n CSN lvh u q S = = = =             = − + − + + − +                                           = + + − + +                        + + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       1 1 1 1 3 2 1 . 1 1 2 2 1 1 2 3   = − = − =     − −    Chọn D. Câu 92. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 1 ... lim 1, 1 1 ... n n a a a a b b b b + + + + < < + + + + bằng: A. 0. B. 1 . 1 b a − − C. 1 . 1 a b − − D. Không tồn tại. Lời giải. Ta có 2 1 ... n a a a + + + + là tổng 1 n + số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a , nên ( ) 1 1 2 1. 1 1 1 ... . 1 1 n n n a a a a a a a + + − − + + + + = = − − Tương tự: ( ) 1 1 2 1 1 1 1 ... . 1 1 n n n b b b b b b b + + − − + + + + = = − − Do đó ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 lim lim lim . 1, 1 . 1 1 1 ... 1 1 1 n n n n n n a a a a b a b a a b a a b b b b b b + + + + − + + + + − − − − = = = < < − − + + + + − − − Chọn B. Câu 93. Rút gọn 2 4 6 2 cos cos cos 1 cos n x x x x S + + + + = + + ⋯ ⋯ với cos 1. x ≠ ± A. 2 sin . S x = B. 2 cos . S x = C. 2 1 . sin S x = D. 2 1 . cos S x = Lời giải. Ta có 2 1 2 4 6 2 2 2 : 1, cos 1 1 cos cos cos cos 1 . 1 cos sin n CSN lvh u q x x x x x x x S = = + + + + + = = = + − ⋯ ⋯  Chọn C. Câu 94. Rút gọn ( ) 2 4 6 2 1 sin sin sin 1 in .s n n S x x x x = − + − + + − + ⋯ ⋯ với sin 1. x ≠ ± A. 2 sin . S x = B. 2 cos . S x = C. 2 1 . 1 sin S x = + D. 2 tan . S x = Lời giải. Ta có ( ) 2 1 2 : 1, s 6 n 2 4 2 i 1 si 1 1 n si . n sin s 1 n in . si n CSN lvh x n u q S x x x x x = =− + − + + − − + = = + ⋯ ⋯  Chọn C. Câu 95. Thu gọn 2 3 1 tan tan tan S α α α − = − + +… với 0 . 4 α π < < A. 1 . 1 tan S α = − B. cos . 2 sin 4 S α π α =     +       C. tan . 1 tan S α α = + D. 2 tan . S α = Lời giải. Ta có ( ) tan 0;1 α ∈ với mọi 0; , 4 π α     ∈       do đó 1 2 3 : 1, tan 1 cos cos tan . 1 tan sin co 1 tan tan s 2 sin 4 CSN lvh u q S α α α π α α α α α α α = =− − +… = = =   + +   +       = − +  Chọn B. Câu 96. Cho , m n là các số thực thuộc ( ) 1;1 − và các biểu thức: 2 3 1 M m m m = + + + +⋯ 2 3 1 N n n n = + + + +⋯ 2 2 3 3 1 A mn m n m n = + + + +⋯ Khẳng định nào dưới đây đúng? A. . 1 MN A M N = + − B. . 1 MN A M N = + + C. 1 1 1 . A M N MN = + − D. 1 1 1 . A M N MN = + + Lời giải. Ta có 1 1 1 1 , 1 1 1 1 M m m M n N N n       = = −     −   ⇒       = − =     −     khi đó 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 MN A mn M N M N = = =    − + −     − − −            Chọn A. Câu 97. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111⋯ được biểu diễn bởi phân số tối giản a b . Tính tổng . T a b = + A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. Lời giải. Ta có 2 3 0,5111 0,5 10 10 10 n − − − = + + + + + ⋯ ⋯ ⋯ Dãy số 2 3 10 ;10 ;...;10 ;... n − − − là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 2 1 10 , u − = công bội bằng 1 10 q − = nên 2 1 1 10 1 . 1 90 1 10 u S q − − = = = − − Vậy 23 46 23 0,5111... 0,5 68. 45 90 45 a S T a b b  =   = + = =  →  → = + =   =   Chọn B. Câu 98. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535... A = được biểu diễn bởi phân số tối giản a b . Tính . T ab = A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. Lời giải. Ta có 2 2 4 2 35 35 35 35 35 10 0,353535... 0,35 0,0035 ... ... 3465. 1 99 99 10 10 1 10 a A T b  =   = = + + = + + = = ⇒ ⇒ =   =   − . Chọn B. Câu 99. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231... B = được biểu diễn bởi phân số tối giản a b . Tính . T a b = − A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. Lời giải. Ta có 3 3 6 3 5, 231231... 5 0,231 0,000231 ... 231 1742 231 231 231 1742 10 5 ... 5 5 1409 1 333 999 333 10 10 1 10 B a T b = = + + +  =   = + + + = + = + =  → ⇒ =   =   − Chọn A. Câu 100. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323… được biểu diễn bởi phân số tối giản a b . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 15 2 . a b − > B. 14 2 . a b − > C. 13 2 . a b − > D. 12 2 . a b − > Lời giải. Ta có 4 6 8 12 13 1 1 1 0,17232323 0,17 23 10 10 10 1 17 17 23 1706 853 10000 23. 1 100 100 100.99 9900 4950 1 100 853 2 4097 2 . 4950 a T b     … = + + +       = + = + = = −  =    → ⇒ < = <   =   ⋯ . Chọn D. Baøi 02 GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA H M SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm 0 x và hàm số ( ) y f x = xác định trên K hoặc trên { } 0 \ . K x Ta nói hàm số ( ) y f x = có giới hạn là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số ( ) n x bất kì, { } 0 \ n x K x ∈ và 0 n x x → , ta có ( ) . n f x L → Kí hiệu: ( ) 0 lim x x f x L → = hay ( ) f x L → khi 0 . x x → Nhận xét: 0 0 lim ; x x x x → = 0 lim x x c c → = với c là hằng số. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 a) Giả sử ( ) 0 lim x x f x L → = và ( ) 0 lim x x g x M → = . Khi đó: ( ) ( ) 0 lim ; x x f x g x L M →   • + = +   ( ) ( ) 0 lim ; x x f x g x L M →   • − = −   ( ) ( ) 0 lim . . ; x x f x g x L M →   • =   ( ) ( ) 0 lim x x f x L g x M → • = (nếu 0 M ≠ ). b) Nếu ( ) 0 f x ≥ và ( ) 0 lim x x f x L → = , thì 0 L ≥ và ( ) 0 lim . x x f x L → = 3. Giới hạn một bên Định nghĩa 2 • Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) 0 ; . x b Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( ) y f x = khi 0 x x → nếu với dãy số ( ) n x bất kì, 0 n x x b < < và 0 n x x → , ta có ( ) . n f x L → Kí hiệu: ( ) 0 lim . x x f x L + → = • Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) 0 ; . a x Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số ( ) y f x = khi 0 x x → nếu với dãy số ( ) n x bất kì, 0 n a x x < < và 0 n x x → , ta có ( ) . n f x L → Kí hiệu: ( ) 0 lim . x x f x L − → = Định lí 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim . x x x x x x f x L f x f x L + − → → → = ⇔ = = II – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA H M SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa 3 a) Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) ; . a +∞ Ta nói hàm số ( ) y f x = có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số ( ) n x bất kì, n x a > và n x → +∞ , ta có ( ) . n f x L → Kí hiệu: ( ) lim . x f x L →+∞ = b) Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) ; . a −∞ Ta nói hàm số ( ) y f x = có giới hạn là số L khi x →−∞ nếu với dãy số ( ) n x bất kì, n x a < và n x →−∞ , ta có ( ) . n f x L → Kí hiệu: ( ) lim . x f x L →−∞ = Chú ý: a) Với , c k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim ; lim ; lim 0; lim 0. k k x x x x c c c c c c x x →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ = = = = b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0 x x → vẫn còn đúng khi n x → +∞ hoặc x →−∞ . III – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA H M SỐ 1. Giới hạn vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ) ; . a +∞ Ta nói hàm số ( ) y f x = có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số ( ) n x bất kì, n x a > và n x → +∞ , ta có ( ) . n f x →−∞ Kí hiệu: ( ) lim . x f x →+∞ =−∞ Nhận xét: ( ) ( ) ( ) lim lim . x x f x f x →+∞ →+∞ = +∞ ⇔ − =−∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim k x x →+∞ = +∞ với k nguyên dương. b) →−∞  +∞  =   −∞   neáu chaün lim . neáu leû k x k x k 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích ( ) ( ) . f x g x ( ) 0 lim x x f x L → = ( ) 0 lim x x g x → ( ) ( ) 0 lim x x f x g x →     +∞ +∞ 0 L > −∞ −∞ +∞ −∞ 0 L < −∞ +∞ b) Quy tắc tìm giới hạn của thương ( ) ( ) f x g x ( ) 0 lim x x f x L → = ( ) 0 lim x x g x → Dấu của ( ) g x ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → L ±∞ Tùy ý 0 + +∞ 0 L > − −∞ + −∞ 0 L < 0 − +∞ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Câu 1. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 3 7 11 x x x → + + là: A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. Lời giải. ( ) 2 2 2 lim 3 7 11 3.2 7.2 11 37 x x x → + + = + + =  → Chọn A. Câu 2. Giá trị của giới hạn 2 3 lim 4 x x → − là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. ( ) 2 2 3 lim 4 3 4 1 x x → − = − =  → Chọn B. Câu 3. Giá trị của giới hạn 2 0 1 lim sin 2 x x → là: A. 1 sin . 2 B. . +∞ C. . −∞ D. 0. Lời giải. Ta có 2 0 1 1 lim sin 0.sin 0 2 2 x x → = =  → Chọn D. Câu 4. Giá trị của giới hạn 2 3 1 3 lim 2 x x x →− − + là: A. 1. B. 2. − C. 2. D. 3 . 2 − Lời giải. ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 3 3 lim 2 2 1 2 x x x →− − − − = =−  → + − + Chọn B. Câu 5. Giá trị của giới hạn ( )( ) 3 4 1 lim 2 1 3 x x x x x → − − − là: A. 1. B. 2. − C. 0. D. 3 . 2 − Lời giải. ( )( ) ( )( ) 3 3 4 4 1 1 1 lim 0 2 1 3 2.1 1 1 3 x x x x x → − − = =  → − − − − Chọn C. Câu 6. Giá trị của giới hạn 4 1 1 lim 3 x x x x →− − + − là: A. 3 . 2 − B. 2 . 3 C. 3 . 2 D. 2 . 3 − Lời giải. Ta có 4 1 1 1 1 2 lim 1 1 3 3 3 x x x x →− − − − = =−  → − − + − Chọn D. Câu 7. Giá trị của giới hạn 2 1 3 1 lim 1 x x x x →− + − − là: A. 3 . 2 − B. 1 . 2 C. 1 . 2 − D. 3 . 2 Lời giải. Ta có 2 1 3 1 3 1 1 3 lim 1 1 1 2 x x x x →− + − + + = =−  → − − − Chọn A. Câu 8. Giá trị của giới hạn ( )( ) 2 4 3 9 lim 2 1 3 x x x x x → − − − là: A. 1 . 5 B. 5. C. 1 . 5 D. 5. Lời giải. ( )( ) ( )( ) 2 2 4 4 3 9 9.3 3 1 lim 2 1 3 2.3 1 3 3 5 x x x x x → − − = =  → − − − − Chọn C. Câu 9. Giá trị của giới hạn 2 3 2 2 1 lim 2 x x x x x → − + + là: A. 1 . 4 B. 1 . 2 C. 1 . 3 D. 1 . 5 Lời giải. 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 1 lim 2 2 2 2.2 x x x x x → − + − + = =  → + + Chọn B. Câu 10. Giá trị của giới hạn 3 2 2 3 4 3 2 lim 1 x x x x → − − − + là: A. 3 . 2 − B. 2 . 3 − C. 0. D. . +∞ Lời giải. Ta có: 3 2 3 2 3 4 3 2 12 4 6 2 0 lim 0 1 3 3 x x x x → − − − − − − = = =  → + Chọn C. Vấn đề 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN Câu 11. Kết quả của giới hạn 2 15 lim 2 x x x + → − − là: A. . −∞ B. . +∞ C. 15 . 2 − D. 1. Lời giải. Vì ( ) ( ) 2 2 2 lim 15 13 0 15 lim . 2 lim 2 0 & 2 0, 2 x x x x x x x x x + + + → → →   − =− <  −   → =−∞   − − = − > ∀ >    Chọn A. Câu 12. Kết quả của giới hạn 2 2 lim 2 x x x + → + − là: A. . −∞ B. . +∞ C. 15 . 2 − D. Không xác định. Lời giải. 2 2 2 lim 2 2 0 2 lim . 2 lim 2 0 & 2 0, 2 x x x x x x x x x + + + → → →   + = >  +    → = +∞   − − = − > ∀ >     Chọn B. Câu 13. Kết quả của giới hạn ( ) 2 3 6 lim 2 x x x + → − + + là: A. . −∞ B. 3. C. . +∞ D. Không xác định. Lời giải. Ta có 2 2 x x + = + với mọi 2, x >− do đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 3 2 3 2 lim lim lim lim 3 3 2 2 2 x x x x x x x x x x + + + + → − → − → − → − + + + = = = =  → + + + Chọn B. Câu 14. Kết quả của giới hạn 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x − → − − + là: A. . −∞ B. . +∞ C. 1 . 3 − D. 1 . 3 Lời giải. Ta có ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim . 2 1 2 1 2 3 2 5 2 x x x x x x x x x x − − − → → → − − = = =− − − − − + Chọn C. Câu 15. Kết quả của giới hạn ( )( ) 2 2 3 13 30 lim 3 5 x x x x x + →− + + + + là: A. 2. − B. 2. C. 0. D. 2 . 15 Lời giải. Ta có 3 0 x+ > với mọi 3, x >− nên: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 10 3. 10 3 3 3 7 13 30 lim lim lim 0 5 3 5 3 5 3 5 x x x x x x x x x x x x x x + + + →− →− →− + + + + − + − + + + = = = = + + + + + − + . Chọn C. Câu 16. Cho hàm số ( ) 2 2 1 1 3 1 1 . x x x f x x x < − =          + ≥   víi víi Khi đó ( ) 1 lim x f x + → là: A. . +∞ B. 2. C. 4. D. . −∞ Lời giải. ( ) 2 2 1 1 lim lim 3 1 3.1 1 2 x x f x x + + → → = + = + =  → Chọn B. Câu 17. Cho hàm số ( ) 2 1 1 1 2 2 . 1 x x f x x x x +       < = − − ≥      víi víi Khi đó ( ) 1 lim x f x − → là: A. . +∞ B. 1. − C. 0. D. 1. Lời giải. ( ) 2 1 1 1 lim lim 1 x x x f x x − − → → + = = +∞ − vì ( ) ( ) ( ) 2 1 1 lim 1 2 . li 0 0 1 m 1 & 1 x x x x x x − − → → ∀ <   + =     − = − >    Chọn A. Câu 18. Cho hàm số ( ) 2 3 2 1 2 . x x f x x x       − ≥ = − <  víi víi Khi đó ( ) 2 lim x f x → là: A. 1. − B. 0. C. 1. D. Không tồn tại. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 3 1 lim lim 1 lim 1. lim lim 1 1 x x x x x x x f x x f x f x f x f x x + + + − − − → → → → → → →   = − =   ⇒ = = ⇒ =   = − =    Chọn C. Câu 19. Cho hàm số ( ) 2 3 2 1 2 . x x f x ax x − + ≥ = −      <   víi víi Tìm a để tồn tại ( ) 2 lim . x f x → A. 1. a = B. 2. a = C. 3. a = D. 4. a = Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 lim lim 1 2 1 . lim lim 2 3 3 x x x x f x ax a f x x − − + + → → → →   = − = −     = − + =    Khi đó ( ) 2 lim x f x → tồn tại ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 1 3 2. x x f x f x a a − + → → ⇔ = ⇔ − = ⇔ = Chọn B. Câu 20. Cho hàm số ( ) 2 2 2 3 3 1 3 2 . 3 3 x x x f x x x x − + > = = − <            víi víi víi Khẳng định nào dưới đây sai? A. ( ) 3 lim 6. x f x + → = B. Không tồn tại ( ) 3 lim . x f x → C. ( ) 3 lim 6. x f x − → = D. ( ) 3 lim 15. x f x − → =− Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 3 3 3 lim lim 2 3 6 lim lim lim lim 3 2 15 + + + − − − → → → → → →   = − + =     → ≠   = − =−     x x x x x x f x x x f x f x f x x  → không tồn tại giới hạn khi 3. x → Vậy chỉ có khẳng định C sai. Chọn C. Vấn đề 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC Câu 21. Giá trị của giới hạn ( ) 3 lim 1 x x x →−∞ − + là: A. 1. B. . −∞ C. 0. D. . +∞ Lời giải. ( ) 3 3 2 3 1 1 lim 1 lim 1 x x x x x x x →−∞ →−∞     − + = − + = +∞       vì 3 2 3 lim . 1 1 lim 1 1 0 x x x x x →−∞ →−∞   =−∞          − + =− <           Chọn D. Giải nhanh: ( ) 3 3 1 1 x x x − + −  →+∞ ∼ khi . x →−∞ Câu 22. Giá trị của giới hạn ( ) 3 2 lim 2 3 x x x x →−∞ + + là: A. 0. B. . +∞ C. 1. D. −∞ . Lời giải. Ta có ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 3 lim 2 3 lim 2 3 lim 1 . x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞     + + = − + − = − + − = +∞       Chọn B. Giải nhanh: 3 3 2 2 3 x x x x + + → +∞ ∼ khi . x →−∞ Câu 23. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 1 x x x →+∞ + + là: A. 0. B. . +∞ C. 2 1. − D. −∞ . Lời giải. Giải nhanh: 2 2 : 1 2 x x x x x x → +∞ + + + = → +∞ ∼ . Chọn B. Đặt x làm nhân tử chung: ( ) 2 2 1 lim 1 lim 1 1 x x x x x x →+∞ →+∞       + + = + + = +∞        vì 2 2 lim . 1 lim 1 1 2 0 x x x x + →+∞ →  = +∞       + + = >     Câu 23. Giá trị của giới hạn ( ) 3 3 2 lim 3 1 2 x x x →+∞ − + + là: A. 3 3 1. + B. . +∞ C. 3 3 1. − D. −∞ . Lời giải. Giải nhanh: ( ) 3 3 3 2 3 2 3 : 3 1 2 3 3 1 . x x x x x x → +∞ − + + + = + → +∞ ∼ Chọn B. Đặt x làm nhân tử chung: ( ) 3 3 2 3 3 2 1 2 lim 3 1 2 lim 3 1 x x x x x x x →+∞ →+∞       − + + = − + + = +∞        vì 3 3 3 2 lim . 1 2 lim 3 1 3 1 0 x x x x x →+∞ →+∞  = +∞              − + + = + >             Câu 25. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 4 7 2 x x x x x →+∞ + + là: A. 4. B. . −∞ C. 6. D. +∞ . Lời giải. Giải nhanh: ( ) ( ) 2 2 2 : 4 7 2 4 2 4 . x x x x x x x x x → +∞ + + + = → +∞ ∼ Chọn D. Đặt 2 x làm nhân tử chung: ( ) 2 2 7 lim 4 7 2 lim 4 2 x x x x x x x x →+∞ →+∞       + + = + + = +∞        vì 2 lim . 7 lim 4 2 4 0 x x x x →+∞ →+∞   = +∞             + + = >             Vấn đề 4. DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 Câu 26. Giá trị của giới hạn 3 2 2 8 lim 4 x x x → − − là: A. 0. B. . +∞ C. 3. D. Không xác định. Lời giải. Ta có 3 2 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 lim lim lim 3 ( 2)( 2) 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x → → → − − + + + + = = = = − + + − Chọn C. Câu 27. Giá trị của giới hạn 5 3 1 1 lim 1 x x x →− + + là: A. 3 . 5 − B. 3 . 5 C. 5 . 3 − D. 5 . 3 Lời giải. ( )( ) ( )( ) 4 3 2 5 4 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 lim lim lim . 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →− →− →− + − + − + + − + − + = = = + − + + − + Chọn D. Câu 28. Biết rằng 3 2 3 2 6 3 lim 3 . 3 x x a b x →− + = + − Tính 2 2 . a b + A. 10. B. 25. C. 5. D. 13. Lời giải. Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 lim lim lim 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x →− →− →− + − + − + + = = − − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3. 3 3 3 18 3 3 10 1 2 3 3 3 a a b b   − − − +    =       = = =  → ⇒ + =   = − −   . Chọn A. Câu 29. Giá trị của giới hạn 2 2 3 6 lim 3 x x x x x →− − − + + là: A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 5 . 3 D. 3 . 5 Lời giải. ( )( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 6 2 3 2 5 lim lim lim . 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x →− →− →− + − − − + − − − = = = = + − + Chọn C. Câu 30. Giá trị của giới hạn 3 3 3 lim 27 x x x − → − − là: A. 1 . 3 B. 0. C. 5 . 3 D. 3 . 5 Lời giải. Ta có 3 0 x − > với mọi 3, x < do đó: ( )( ) 3 2 3 3 3 3 lim lim 27 3 9 3 x x x x x x x x − − → → − − = − − + + 2 2 3 3 3 3 lim 0. 9 3 9 3.3 3 x x x x − → − − = = = + + + + Chọn B. Câu 31. Giá trị của giới hạn ( ) 2 21 21 7 0 1 2 lim x x x x π π → + − − là: A. 21 2 . 7 π − B. 21 2 . 9 π − C. 21 2 . 5 π − D. 21 1 2 . 7 π − Lời giải. Ta có ( ) ( )( ) 2 21 7 2 21 21 7 21 0 0 0 1 2 1 1 2 2 lim lim lim . 7 x x x x x x x x x x π π π π → → → + − − + − − = + =− Chọn A. Câu 32. Giá trị của giới hạn 2 2 0 lim x x x x x + → + − là: A. 0. B. . −∞ C. 1. D. . +∞ Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + → → → + − + − = = = +∞ + + + + vì 1 0 > ; ( ) 2 0 lim 0 x x x x + → + + = và 2 0 x x x + + > với mọi 0. x > Chọn D. Câu 33. Giá trị của giới hạn 3 3 1 1 lim 4 4 2 x x x → − + − là: A. 1. − B. 0. C. 1. D. . +∞ Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 1 1 3 2 3 ( 1) 4 4 2 4 4 4 1 lim lim 4 4 2 4 4 8 1 x x x x x x x x x x → → − + + + + − = + − + − + + ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 3 2 3 4 4 2 4 4 4 12 lim 1. 12 4 1 x x x x x → + + + + = = = + + Chọn C. Câu 34. Giá trị của giới hạn 3 0 2 1 8 lim x x x x → + − − là: A. 5 . 6 B. 13 . 12 C. 11 . 12 D. 13 . 12 − Lời giải. Ta có 3 3 0 0 2 1 8 2 1 2 2 8 lim lim x x x x x x x x x → →   + − − + − − −     = +        ( ) 2 0 3 3 2 1 1 13 lim 1 . 12 12 1 1 4 2 8 8 x x x x →         = + = + =      + +  + − + −    Chọn B. Câu 35. Biết rằng 0, 5 b a b > + = và 3 0 1 1 lim 2 x ax bx x → + − − = . Khẳng định nào dưới đây sai? A. 1 3. a < < B. 1. b > C. 2 2 10. a b + > D. 0. a b − < Lời giải. Ta có 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 lim lim x x ax bx ax bx x x x → →   + − − + − − −     = +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 3 3 0 2 3 3 lim 1 1 1 1 1 lim 2. 3 2 1 1 1 1 1 x x ax bx x x x x x a b a b x x x → →     = +      + −   + + + +           = + = + =      + −   + + + +       Vậy ta được: 5 5 3, 2 2 3 12 2 3 2 a b a b a b a b a b  + =    + =    ⇔ ⇔ = =  →     + = + =      Chọn A. Vấn đề 5. DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ ∞ Câu 36. Kết quả của giới hạn 2 2 2 5 3 lim 6 3 x x x x x →−∞ + − + + là: A. 2. − B. . +∞ C. 3. D. 2 . Lời giải. Ta có 2 2 2 2 5 3 2 2 5 3 lim lim 2 6 3 6 3 1 x x x x x x x x x x →−∞ →+∞ + − + − = = + + + + . Chọn D. Giải nhanh : khi x →−∞ thì : 2 2 2 2 2 5 3 2 2. 6 3 x x x x x x + − = + + ∼ Câu 37. Kết quả của giới hạn 3 2 2 2 5 3 lim 6 3 x x x x x →−∞ + − + + là: A. 2. − B. . +∞ C. . −∞ D. 2 . Lời giải. Ta có: 3 2 3 2 2 5 3 2 2 5 3 lim lim . . 6 3 6 3 1 x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ + − + − = =−∞ + + + + Chọn C. Giải nhanh : khi x →−∞ thì : 3 2 3 2 2 2 5 3 2 2 . 6 3 x x x x x x x + − = →−∞ + + ∼ Câu 38. Kết quả của giới hạn 3 2 6 5 2 7 11 lim 3 2 5 x x x x x →−∞ − + + − là: A. 2. − B. . +∞ C. 0. D. . −∞ Lời giải. Ta có: 3 2 3 4 6 6 5 6 2 7 11 2 7 11 0 lim lim 0. 2 5 3 3 2 5 3 x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − + = = = + − + − Chọn C. Giải nhanh : khi x →−∞ thì : 3 2 3 6 5 6 3 2 7 11 2 2 1 . 0. 3 3 2 5 3 x x x x x x x − + = → + − ∼ Câu 39. Kết quả của giới hạn 2 2 3 lim 1 x x x x →−∞ − + − là: A. 2. − B. . +∞ C. 3. D. 1 − . Lời giải. Khi x →−∞ thì 2 2 2 2 0 1 x x x x x x x x x =−  → + − − =− − =− = / ∼  → chia cả tử và mẫu cho x , ta được 2 2 3 2 2 3 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x →−∞ →−∞ − − = =− + − − + − . Chọn D. Câu 40. Biết rằng ( ) 2 2 3 1 a x x x − − + − có giới hạn là +∞ khi x → +∞ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2 4. P a a = − + A. min 1. P = B. min 3. P = C. min 4. P = D. min 5. P = Lời giải. Khi x → +∞ thì 2 2 2 1 0 x x x x x x x x =  → + − − = − = ∼  → Nhân lượng liên hợp: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 lim lim 2 3 1 lim 2 1 1 . 1 x x x a x a x x x x a x x x x →+∞ →+∞ →+∞   − −         = − − + + = − − + +             + − Vì ( ) 2 2 2 lim 2 3 lim 1 lim 1 1 4 0 1 x x x x a x x x x →+∞ →+∞ →+∞   = +∞   − −   ⇒ = +∞         + + = > + −             3 lim 2 2 0 2 x a a a x →+∞     ⇔ − − = − > ⇒ <       . Giải nhanh : ta có 2 2 3 1 x x x x − → +∞  → + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 . 2 2 2 a x x x a x x x a x a = − − + + − + = − → +∞ ⇔ < ∼ . Khi đó ( ) 2 in 2 m 3, 3 2 4 1 3 1 2 3. P a a a P a P ≥ = ⇔ = − + = − + = < ⇒ = Chọn B. Câu 41. Kết quả của giới hạn 2 4 1 lim 1 x x x x →−∞ − + + là: A. 2. − B. 1. − C. 2. − D. . +∞ Lời giải. Giải nhanh: khi 2 2 4 1 4 2 2. 1 x x x x x x x x − + − →−∞  → = =− + ∼ Chọn C. Cụ thể: 2 2 1 1 4 4 1 4 lim lim 2. 1 1 1 1 x x x x x x x x →−∞ →−∞ − − + − + − = = =− + + Câu 42. Kết quả của giới hạn 2 2 4 2 1 2 lim 9 3 2 x x x x x x x →+∞ − + + − − + là: A. 1 . 5 − B. . +∞ C. . −∞ D. 1 5 . Lời giải. Giải nhanh : khi 2 2 2 2 4 2 1 2 4 2 1 . 3 2 5 9 3 2 9 2 x x x x x x x x x x x x x x x − + + − − − → +∞  → = = + − + + ∼ Chọn D. Cụ thể : 2 2 2 2 1 2 4 1 4 2 1 2 1 lim lim . 5 3 9 3 2 9 2 x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ − + + − − + + − = = − + − + Câu 43. Biết rằng 2 2 4 2 1 2 lim 0 3 x x x x L ax x bx →−∞ − + + − = > − + là hữu hạn (với , a b là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng. A. 0. a ≥ B. 3 L a b =− + C. 3 L b a = − D. 0. b > Lời giải. Ta phải có 2 3 0 ax x − > trên ( ) 0. ; a α −∞ ⇔ ≥ Ta có 2 2 4 2 1 2 4 3 0. x x x x x x x →−∞  → − + + − =− = / − ∼ Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó 2 2 4 2 1 2 lim 0 3 x x x x ax x bx →−∞ − + + − > − + khi và chỉ khi 2 3 ax x bx − + là đa thức bậc 1. Ta có ( ) 2 2 0. 3 ax x bx ax bx a b x a b − + + = − +  →− + = /  ∼ Khi đó ( ) 2 2 4 2 1 2 3 3 0 0 . 3 x x x x L b a b a b a a b x ax x bx − + + − − = = > ⇔ − > ⇒ > − − + − + ∼ Chọn B. Câu 44. Kết quả của giới hạn 3 2 3 2 2 1 lim 2 1 x x x x →−∞ + + + là: A. 2 . 2 B. 0. C. 2 . 2 − D. 1. Lời giải. Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 2 2 1 1 . 2 2 2 1 2 x x x x x x x x + + →−∞  → = =− − + ∼ Chọn C. Cụ thể: 3 3 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 1 lim lim . 1 2 2 1 2 x x x x x x x x →−∞ →−∞ + + + + = =− + − + Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của a để ( ) 2 lim 2 1 x x ax →−∞ + + là . +∞ A. 2. a > B. 2. a < C. 2. a > D. 2. a < Lời giải. Giải nhanh: 2 2 2 1 2 x x ax x x →−∞  → + + + ∼ ( ) 2 2 2 0 2. x ax a x a a =− + = − → +∞ ⇔ − < ⇔ < Chọn B. Cụ thể: vì lim x x →−∞ =−∞ nên ( ) 2 2 1 lim 2 1 lim 2 x x x ax x a x →−∞ →−∞       + + = − + + = +∞        2 1 lim 2 2 0 2. x a a a x →−∞       ⇔ − + + = − < ⇔ <        Vấn đề 6. DẠNG VÔ ĐỊNH ∞−∞ Câu 46. Giá trị của giới hạn ( ) 3 2 lim 2 x x x →−∞ − là: A. 1. B. . +∞ C. 1. − D. −∞ . Lời giải. Giải nhanh : 3 2 3 2 2 . x x x x →−∞  → − →−∞ ∼ Chọn D. Cụ thể: ( ) 3 2 3 1 lim 2 lim 2 x x x x x x →−∞ →−∞     − = − =−∞       vì 3 lim . 1 lim 2 2 0 x x x x →−∞ →−∞   =−∞          − = >           Câu 47. Giá trị của giới hạn 2 2 1 1 lim 2 4 x x x − →     −       − − là: A. . −∞ B. . +∞ C. 0. D. 1. Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 lim lim lim 2 4 4 4 x x x x x x x x x − − − → → →       + − +       − = = =−∞                   − − − − Vì ( ) ( ) 2 2 2 lim 1 3 0; lim 4 0 x x x x − − → → + = > − = và 2 4 0 x − < với mọi ( ) 2;2 . x ∈ − Chọn A. Câu 48. Biết rằng 4 a b + = và 3 1 lim 1 1 x a b x x →     −       − − hữu hạn. Tính giới hạn 3 1 lim 1 1 x b a L x x →     = −       − − . A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. − Lời giải. Ta có ( )( ) 2 2 3 3 2 1 1 1 lim lim lim . 1 1 1 1 1 x x x a b a ax ax b a ax ax b x x x x x x → → →   + + − + + −   − = =       − − − − + + Khi đó 3 1 lim 1 1 x a b x x →     −       − − hữu hạn 2 1 .1 .1 0 2 1. a a b a b ⇔ + + − = ⇔ − =− Vậy ta có 3 1 4 1 lim 2 1 3 1 1 x a b a a b L a b b x x →   + = =         ⇔ ⇒ =− −           − =− = − −     ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x x x x x → → − + + − =− =− = + + − + + . Chọn C. Câu 49. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 1 2 x x x →+∞ + − là: A. 0. B. . +∞ C. 2 1. − D. −∞ . Lời giải. Ta có ( ) 2 2 1 lim 1 2 lim 2 1 x x x x x x →+∞ →+∞       + − = + − = +∞        Vì 2 1 lim ; lim 2 1 2 1 0. x x x x →+∞ →+∞       = +∞ + − = − >        Chọn B. Giải nhanh : ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 . x x x x x x x x → +∞  → + − − = − = − → +∞ ∼ Câu 50. Giá trị của giới hạn ( ) 2 lim 1 x x x →+∞ + − là: A. 0. B. . +∞ C. 1 . 2 D. −∞ . Lời giải. 2 2 1 0 x x x x x x x → +∞  → + − − = − =  → ∼ Nhân lượng liên hợp. Giải nhanh: 2 2 2 1 1 1 1 0. 2 1 x x x x x x x x → +∞  → + − = = → + + + ∼ Chọn A. Cụ thể: ( ) 2 2 2 1 1 0 lim 1 lim lim 0. 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + − = = = = + + + + Câu 51. Biết rằng ( ) 2 lim 5 2 5 5 . x x x x a b →−∞ + + = + Tính 5 . S a b = + A. 1. S = B. 1. S =− C. 5. S = D. 5. S =− Lời giải: 2 2 5 2 5 5 5 5 5 0 x x x x x x x x →−∞  → + + + =− + = ∼  → Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 5 2 5 x x x x →−∞  → + + 2 2 2 2 2 1 . 2 5 5 5 2 5 5 5 x x x x x x x x x = = =− − + + − ∼ Cụ thể: Ta có ( ) 2 2 2 lim 5 2 5 lim 5 2 5 x x x x x x x x x →−∞ →−∞ + + = + + 1 2 2 1 1 lim 5 1. 5 5 2 2 5 5 0 5 5 x a S b x →−∞    =−  = = =− =−  → ⇒ =−   −  =  − + +  Chọn A. Câu 52. Giá trị của giới hạn ( ) 2 2 lim 3 4 x x x x x →+∞ + − + là: A. 7 . 2 B. 1 . 2 − C. . +∞ D. . −∞ Lời giải. Khi 2 2 2 2 3 4 0 x x x x x x x → +∞  → + − + − = ∼  → Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 2 3 4 x x x x x → +∞  → + − + 2 2 2 2 1 . 2 2 3 4 x x x x x x x x x x − − − = = =− + + + + ∼ Chọn B. Cụ thể: ( ) 2 2 lim 3 4 x x x x x →+∞ + − + = 2 2 1 1 lim lim . 2 3 4 3 4 1 1 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ − − = =− + + + + + + Câu 53. Giá trị của giới hạn ( ) 3 3 2 lim 3 1 2 x x x →−∞ − + + là: A. 3 3 1. + B. . +∞ C. 3 3 1. − D. −∞ . Lời giải. Giải nhanh: ( ) 3 3 3 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 . x x x x x x →−∞  → − + + + = − →−∞ ∼ Chọn D. Cụ thể: ( ) 3 3 2 3 3 2 1 2 lim 3 1 2 lim 3 1 x x x x x x x →−∞ →−∞       − + + = − − + =−∞        Vì 3 3 3 2 1 2 lim , lim 3 1 3 1 0. x x x x x →−∞ →−∞       =−∞ − − + = − >        Câu 54. Giá trị của giới hạn ( ) 3 2 3 2 lim x x x x x →+∞ + − − là: A. 5 . 6 B. . +∞ C. 1. − D. −∞ . Lời giải. Khi 3 3 2 3 2 2 3 0 x x x x x x x x x → +∞  → + − − −− = − = ∼  → Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: ( ) ( ) 3 3 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x + − − = + − + − − ( ) 2 2 3 6 2 2 2 2 3 6 3 2 3 3 3 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + + + + + + − + − ∼ ( ) 1 1 5 . 2 3 6 x = + = → +∞ Chọn A. Cụ thể: ( ) ( ) 3 3 2 3 2 2 3 2 lim lim x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + − − = + − + − − ( ) 2 2 2 3 2 3 3 3 1 1 5 lim . 2 3 6 1 1 1 x x x x x x x x x →+∞          = + = + =       + +   + − + −     Câu 55. Giá trị của giới hạn ( ) 3 3 lim 2 1 2 1 x x x →+∞ − − + là: A. 0. B. . +∞ C. 1. − D. −∞ . Lời giải. 3 3 3 3 2 1 2 1 2 2 0 x x x x x → +∞  → − − + − =  → ∼ nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 3 3 2 1 2 1 x x − − + = ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 0. 4 4 4 3 4 2 1 4 1 2 1 x x x x x x x − − − = → + + − + − − + ∼ Chọn A. Cụ thể: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 2 lim 2 1 2 1 lim 0. 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x →+∞ →+∞ − − − + = = − + − + + + Vấn đề 7. DẠNG VÔ ĐỊNH 0.∞ Câu 56. Kết quả của giới hạn 0 1 lim 1 x x x →         −           là: A. . +∞ B. 1. − C. 0. D. +∞ . Lời giải. Ta có ( ) 0 0 1 lim 1 lim 1 0 1 1. x x x x x → →         − = − = − =−           Chọn B. Câu 57. Kết quả của giới hạn ( ) 2 2 lim 2 4 x x x x + → − − là: A. 1. B. . +∞ C. 0. D. −∞ . Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 2. 0. 2 lim 2 lim 0 2 4 2 x x x x x x x x + + → → − − = = = − + . Chọn C. Câu 58. Kết quả của giới hạn 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x x →+∞ + + + là: A. 2 . 3 B. 6 . 3 C. . +∞ D. −∞ . Lời giải. Giải nhanh: 3 2 2 2 2 1 2 6 1 6 1 6 . . . . . . 3 3 3 3 2 3 x x x x x x x x x x x x + → +∞  → = = = + + ∼ Chọn B. Cụ thể: ( ) 2 3 2 3 2 3 1 2 2 1 2 1 6 lim lim lim . 1 2 3 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + + = = = + + + + + + Câu 59. Kết quả của giới hạn 2 2 0 1 lim sin x x x x π →     −       là: A. 0 . B. 1 − . C. . π D. . +∞ Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 0 0 1 lim sin lim sin 1 1. x x x x x x x π π → →     − = − =−       Chọn B. Câu 60. Kết quả của giới hạn ( ) ( ) 3 2 1 lim 1 1 x x x x + → − + − là: A. 3. B. . +∞ C. 0. D. −∞ . Lời giải. Với ( ) 1;0 x ∈ − thì 1 0 x + > và 0 1 x x > − . Do đó ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 1 1 lim 1 lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x + + → − → − + = + − + − + − ( ) ( ) 2 1 lim 1 1 0 1 x x x x x x + → − = + − + = − . Chọn C. Baøi 03 HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC I – HM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1 Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng K và 0 . x K ∈ Hàm số ( ) y f x = được gọi là liên tục tại 0 x nếu ( ) ( ) 0 0 lim . x x f x f x → = II – HM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2 Hàm số ( ) y f x = được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số ( ) y f x = được gọi là liên tục trên đoạn [ ] ; a b nếu nó liên tục trên khoảng ( ) ; a b và ( ) ( ) ( ) ( ) lim , lim . x a x b f x f a f x f b + − → → = = Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một '' đường liền '' trên khoảng đó. Hàm số liên tục trên khoảng ( ) ; a b Hàm số không liên tục trên khoảng ( ) ; a b III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ . b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử ( ) y f x = và ( ) y g x = là hai hàm số liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số ( ) ( ) y f x g x = + , ( ) ( ) y f x g x = − và ( ) ( ) . y f x g x = liên tục tại 0 x ; b) Hàm số ( ) ( ) f x g x liên tục tại 0 x nếu ( ) 0 0 g x ≠ . O x y b a y O x a b Định lí 3 Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] ; a b và ( ) ( ) . 0, f a f b < thì tồn tại ít nhất một điểm ( ) ; c a b ∈ sao cho ( ) 0 f c = . Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] ; a b và ( ) ( ) . 0, f a f b < thì phương trình ( ) 0 f x = có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ( ) ; a b . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HM SỐ Câu 1. Hàm số ( ) 1 3 4 f x x x = − + + liên tục trên: A. [ ] 4;3 . − B. [ ) 4;3 . − C. ( ] 4;3 . − D. [ ] [ ) ; 4 3; . −∞ − ∪ +∞ Lời giải. Điều kiện: ( ] 3 4 4; 0 4 0 3 3 TXD x x D x x ≥ + > ≤−   − >−     ⇔  → = −  →         hàm số liên tục trên ( ) 4;3 . − Xét tại 3, x= ta có ( ) ( ) 3 3 1 1 lim lim 3 3 4 7 x x f x x f x − − → →      = − + = =  →        + Hàm số liên tục trái tại 3. x= Vậy hàm số liên tục trên ( ] 4;3 . − Chọn C. Câu 2. Hàm số ( ) 3 cos sin 2sin 3 x x x x f x x + + = + liên tục trên: A. [ ] 1;1 . − B. [ ] 1;5 . C. 3 ; . 2     − +∞      D. . ℝ Lời giải. Vì 0 2sin 3 x+ = / với mọi TXD x D ∈  → =  → ℝ ℝ Hàm số liên tục trên . ℝ Chọn D. Câu 3. Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên ℝ với ( ) 2 3 2 1 x x f x x − + = − với mọi 1. x= / Tính ( ) 1 . f A. 2. B. 1. C. 0. D. 1. − Lời giải. Vì ( ) f x liên tục trên ℝ nên suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 2 1 lim lim lim 2 1. 1 x x x x x f f x x x → → → − + = = = − =− − Chọn D. Câu 4. Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên [ ] 3;3 − với ( ) 3 3 x x f x x + − − = với 0 x ≠ . Tính ( ) 0 f . A. 2 3 . 3 B. 3 . 3 C. 1. D. 0. Lời giải. Vì ( ) f x liên tục trên [ ] 3;3 − nên suy ra ( ) ( ) 0 0 0 3 3 2 1 0 lim lim lim . 3 3 3 x x x x x f f x x x x → → → + − − = = = = + + − Chọn B. Câu 5. Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên ( ) 4; − +∞ với ( ) 4 2 x f x x = + − với 0 x ≠ . Tính ( ) 0 f . A. 0. B. 2. C. 4. D. 1. Lời giải. Vì ( ) f x liên tục trên ( ) 4; − +∞ nên suy ra ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim 4 2 4. 4 2 x x x x f f x x x → → → = = = + + = + − Chọn C. Vấn đề 2. HM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 2 2 khi 2 2 khi 2 x x x f x x m x     − −        ≠ = − = liên tục tại 2. x = A. 0. m= B. 1. m= C. 2. m= D. 3. m= Lời giải. Tập xác định: D =ℝ , chứa 2 x = . Theo giả thiết thì ta phải có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 lim lim lim 1 3. 2 x x x x x m f f x x x → → → − − = = = = + = − Chọn D. Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 3 2 2 2 khi 1 1 3 khi 1 x x x x f x x x m x   − +   − ≠ = − +  =       liên tục tại 1. x = A. 0. m= B. 2. m= C. 4. m= D. 6. m= Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ℝ . Theo giả thiết ta phải có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 1 lim lim lim lim 2 3 0. 1 1 x x x x x x x x x m f f x x m x x → → → → − + − + − + = = = = = + = ⇔ = − − Chọn A. Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số ( ) 1 khi 1 1 1 khi 1 x x y f x x k x − ≠ = = − +       =      liên tục tại 1. x = A. 1 . 2 k = B. 2. k = C. 1 . 2 k =− D. 0. k = Lời giải. Hàm số ( ) f x có TXĐ: [ ) 0; . D= +∞ Điều kiện bài toán tương đương với Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim . 1 2 2 1 x x x x k y y k x x → → → − + = = = = = ⇔ =− − + Chọn C. Câu 9. Biết rằng hàm số ( ) 3 khi 3 1 2 khi 3 x x f x x m x     − ≠ = +        − = liên tục tại 3 x= (với m là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( ) 3;0 . m∈ − B. 3. m≤− C. [ ) 0;5 . m∈ D. [ ) 5; . m∈ +∞ Lòi giải. Hàm số ( ) f x có tập xác định là ( ) 1; . − +∞ Theo giả thiết ta phải có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 2 3 3 lim lim lim lim 1 2 4. 3 1 2 x x x x x x x m f f x x x x → → → → − + + − = = = = =− + + =− − + − Chọn B. Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 2 1 sin khi 0 khi 0 x x f x x m x      ≠ = =     liên tục tại 0. x = A. ( ) 2; 1 . m∈ − − B. 2. m≤− C. [ ) 1;7 . m∈ − D. [ ) 7; . m∈ +∞ Lời giải. Với mọi 0 x= / ta có ( ) 2 2 1 si 0 n 0 f x x x x ≤ = ≤ → khi 0 x→  → ( ) 0 lim 0. x f x → = Theo giải thiết ta phải có: ( ) ( ) 0 0 lim 0. x m f f x → = = = Chọn C. Câu 11. Biết rằng 0 sin lim 1. x x x → = Hàm số ( ) tan khi 0 0 khi 0 x x f x x x ≠ = =          liên tục trên khoảng nào sau đây? A. 0; . 2 π           B. ; . 4 π     −∞       C. ; . 4 4 π π     −       D. ( ) ; . −∞ +∞ Lời giải. Tập xác định: 3 3 | ; ; 2 2 2 2 2 2 2 k k k k D k π π π π π π π π π π ∈                   + ∈ = + + = ∪ − ∪ + ∪                          =  ℤ ℝ ℤ ⋯ ⋯ ∪ ∖ Ta có ( ) ( ) 0 0 0 tan sin 1 1 lim lim lim . 1. 1 cos co 0 s 0 0 x x x x x f x x x x f → → → = = = / = = =  → ( ) f x không liên tục tại 0. x= Chọn A. Câu 12. Biết rằng 0 sin lim 1. x x x → = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) sin khi 1 1 khi 1 x x f x x m x π     ≠ = − =      liên tục tại 1. x = A. . m π =− B. . m π = C. 1. m=− D. 1. m= Lời giải. Tập xác định . D=ℝ Điều kiện bài toán tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 sin 1 lim lim 1 sin sin 1 sin 1 lim lim lim . * . 1 1 1 x x x x x x m f f x x x x x x x x π π π π π π π π → → → → → = = = −   − + − − −   = = = −   − − −     Đặt ( ) 1 t x π = − thì 0 t → khi 1. x→ Do đó (*) trở thành: ( ) 0 sin lim . . t t m t π π → = − =− Chọn A. Câu 13. Biết rằng 0 sin lim 1. x x x → = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( ) 2 1 cos khi khi x x f x x m x π π π      +       ≠ = − = liên tục tại . x π = A. . 2 m π = B. . 2 m π =− C. 1 . 2 m= D. 1 . 2 m=− Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ℝ . Điều kiện củz bài toán trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin sin 2cos 1 cos 1 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim * 2 2 2 x x x x x x x x x m f f x x x x x π π π π π π π π π π π π → → → → →             − −               +   = = = = = =     − − −     −           Đặt 0 2 2 x t π = − → khi 1. x→ Khi đó (*) trở thành: 2 2 0 1 sin 1 1 lim .1 . 2 2 2 t t m t →     = = =       Chọn C. Câu 14. Hàm số ( ) 4 2 3 khi 1 khi 1, 0 1 khi 0 x x x f x x x x x x      =− + =           ≠− ≠ + = liên tục tại: A. mọi điểm trừ 0, 1. x x = = B. mọi điểm . x ∈ℝ C. mọi điểm trừ 1. x =− D. mọi điểm trừ 0. x = Lời giải. Hàm số ( ) y f x = có TXĐ: D =ℝ . Dễ thấy hàm số ( ) y f x = liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1;0 −∞ − − và ( ) 0;+∞ . (i) Xét tại 1 x =− , ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 3 1 . 1 x x x x x x x x x x f x x x f x x x x →− →− →− →− + − + + = = = − + = = − + +  → hàm số ( ) y f x = liên tục tại 1 x =− . (ii) Xét tại 0 x = , ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 0 0 0 0 1 1 lim lim lim lim 1 1 0 . 1 x x x x x x x x x x f x x x f x x x x → → → → + − + + = = = − + = = + +  → hàm số ( ) y f x = liên tục tại 0 x = . Chọn B. Câu 15. Số điểm gián đoạn của hàm số ( ) ( ) 2 0,5 khi 1 1 khi 1, 1 1 1 khi 1 x x x f x x x x x      =− + = ≠           − ≠ − = là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Hàm số ( ) y f x = có TXĐ D=ℝ . Hàm số ( ) ( ) 2 1 1 x x f x x + = − liên tục trên mỗi khoảng ( ) ; 1 −∞ − , ( ) 1;1 − và ( ) 1;+∞ . (i) Xét tại 1 x =− , ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 2 1 x x x x x x f x f x x →− →− →− + = = = = − − −  → Hàm số liên tục tại 1 x =− . (ii) Xét tại 1 x = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x + + + − − − → → → → → →   +  = = =+∞   − −   →   +   = = =−∞   − −  Hàm số ( ) y f x = gián đoạn tại 1 x = . Chọn B. Vấn đề 3. HM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( ) 2 2 khi 2 1 khi 2 m x x f x m x x   ≤ = −  >     liên tục trên ℝ ? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Lời giải. TXĐ: D=ℝ . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( ) ;2 −∞ ; ( ) 2;+∞ . Khi đó ( ) f x liên tục trên ⇔ ℝ ( ) f x liên tục tại 2 x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lim 2 lim lim 2 . x x x f x f f x f x f + − → → → ⇔ = ⇔ = = ( ) * Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 lim lim 1 2 1 * 4 2 1 . 1 2 lim lim 4 x x x x f m m f x m x m m m m f x m x m + + − − → → → →    =   =−        = − = −  → ⇔ = − ⇔      =      = =    Chọn A. Câu 17. Biết rằng hàm số ( ) [ ] ( ] khi 1 khi 0;4 4;6 x x f x m x   ∈   ∈ = +    tục trên [ ] 0;6 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2. m< B. 2 3. m ≤ < C. 3 5. m < < D. 5. m≥ Lời giải. Dễ thấy ( ) f x liên tục trên mỗi khoảng ( ) 0;4 và ( ) 4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn [ ] 0;6 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại 4, 0, 6 x x x = = = . Tức là ta cần có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 4 4 lim 0 lim 6 . * lim lim 4 x x x x f x f f x f f x f x f + − − + → → → →   =      =      = =    ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 ; 0 0 0 x x f x x f + + → →   = =   •    = =   ( ) ( ) ( ) 6 6 lim lim 1 1 ; 6 1 x x f x m m f m − − → →   = + = +   •   = +    ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 lim lim 2 lim lim 1 1 ; 4 1 x x x x f x x f x m m f m − − + + → → → →   = =      • = + = +      = +    Khi đó ( ) * trở thành 1 2 1 2. m m + = ⇔ = < Chọn A. Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số ( ) 2 3 2 khi 1 1 khi 1 x x x x f x a x   − +  ≠   − =     =   liên tục trên . ℝ A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải. Hàm số ( ) f x liên tục trên ( ) ;1 −∞ và ( ) 1; . +∞ Khi đó hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi và chỉ khi nó liê tục tại 1, x = tức là ta cần có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim 1 lim lim 1 . * x x x f x f f x f x f + − → → → = ⇔ = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 khi 1 lim lim 2 1 khi 1 * lim lim 2 1 2 khi 1 x x x x x x f x x f x a x f x x x x − − + + → → → → − >   = − =   = =  →   = − =−   − <        →       không tỏa mãn với mọi . a∈ℝ Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. Chọn C. Câu 19. Biết rằng ( ) 2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x x a x      −       ≠ = − = liên tục trên đoạn [ ] 0;1 (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng? A. a là một số nguyên. B. a là một số vô tỉ. C. 5. a> D. 0. a< Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên [ ) 0;1 . Khi đó ( ) f x liên tục trên [ ] 0;1 khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 1 lim 1 . * x f x f − → = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 * 4. 1 lim lim lim 1 1 4 1 x x x f a a x f x x x x − − − → → →   =     → ⇔ =  −    = = + + =       −   Chọn A. Câu 20. Xét tính liên tục của hàm số ( ) 1 khi 1 2 1 . 2 khi 1 x x f x x x x      − < = − − − ≥       Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( ) f x không liên tục trên . ℝ B. ( ) f x không liên tục trên ( ) 0;2 . C. ( ) f x gián đoạn tại 1. x = D. ( ) f x liên tục trên . ℝ Lời giải. Dễ thấy hàm số liên tục trên ( ) ;1 −∞ và ( ) 1; . +∞ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 lim lim 2 2 1 lim lim lim 2 1 2 2 1 x x x x x f f x x f x x f x x x + + − − − → → → → →      =−     = − =−  →      −    = = − − + =−       − −   liên tục tại 1. x = Vậy hàm số ( ) f x liên tục trên . ℝ Chọn D. Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số ( ) 2 2 5 6 khi 3 4 3 1 khi 3 x x x f x x x a x x − + > = − −            − ≤ liên tục tại 3 x = . A. 2 3 − . B. 2 . 3 C. 4 . 3 − D. 4 . 3 Lời giải. Điều kiện bài toán trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 lim lim 3 . * x x f x f x f + − → → = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 1 3 2 4 3 5 6 lim lim lim 3 1 4 3 lim lim 1 1 3 . x x x x x f a x x x x x f x x x x f x a x a + + + − − → → → → →   = −     − − +  − +  = = =−   − − −     = − = −    ( ) min 2 2 3 * . 3 a a ±  →  = =−  → ⇔ Chọn A. Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số ( ) 3 2 3 2 2 khi 2 2 1 khi 2 4 x x x f x a x x + − > − = +        ≤       liên tục tại 2. x = A. max 3. a = B. max 0. a = C. max 1. a = D. max 2. a = Lời giải. Ta cần có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 . * x x f x f x f + − → → = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 ma 2 2 2 x 7 2 2 4 3 2 2 1 lim lim * 2 4 1 7 lim li 2 1 4 4 1 m . x x x x f a x f x a x f x a a x a + + − − → → → →    = −      + −   = =  → ⇔ =   −          = + ±  → = −         =   Chọn C. Câu 23. Xét tính liên tục của hàm số ( ) 1 cos khi 0 1 khi 0 . x x x f x x − ≤ +     > =    Khẳng định nào sau đây đúng? A. ( ) f x liên tục tại 0. x = B. ( ) f x liên tục trên ( ) ;1 . −∞ C. ( ) f x không liên tục trên . ℝ D. ( ) f x gián đoạn tại 1. x = Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ℝ . Ta có ( ) f x liên tục trên ( ) ;0 −∞ và ( ) 0; . +∞ Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 lim lim 1 cos 1 cos 0 0 lim lim 1 0 1 1 x x x x f f x x f x f x x − − + + → → → →    =     = − = − =  →      = + = + =    gián đoạn tại 0. x = Chọn C. Câu 24. Tìm các khoảng liên tục của hàm số ( ) cos khi 1 2 1 khi 1 . f x x x x x π ≤ − >      =       Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số liên tục tại 1 x =− . B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( ) ( ) ; , 1 1; . −∞ − +∞ C. Hàm số liên tục tại 1 x = . D. Hàm số liên tục trên khoảng ( ) 1,1 − . Lời giải. Ta có ( ) f x liên tục trên ( ) ( ) ( ) ; 1 , 1;1 , 1; . −∞ − − +∞ • Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos 0 2 lim lim 1 2 x x f f x f x x π − − → − → −        − = − =           →    = − =−     gián đoạn tại 1. x =− Chọn A. • Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 cos 0 2 lim lim 1 0 lim lim cos 0 2 x x x x f f x x f x f x x π π + + − − → → → →     = =      = − =  →       = =     liên tục tại 1. x = Câu 25. Hàm số ( ) f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? A. 0. x = B. 1. x = C. 2. x = D. 3. x = x 2 3 y 1 O 1 Lời giải. Dễ thấy tại điểm có hoành độ 1 x = đồ thị của hàm số bị '' đứt '' nên hàm số không liên tục tại đó. Cụ thể: ( ) ( ) 1 1 lim 0 3 lim x x f f x x + − → → = / = = nên ( ) f x gián đoạn tại 1. x = Chọn B. Câu 26. Cho hàm số ( ) 2 khi 1, 0 0 khi 0 . khi 1 x x x x f x x x x    < ≠      = =     ≥      Hàm số ( ) f x liên tục tại: A. mọi điểm thuộc ℝ . B. mọi điểm trừ 0 x = . C. mọi điểm trừ 1 x = . D. mọi điểm trừ 0 x = và 1 x = . Lời giải. Hàm số ( ) y f x = có TXĐ: D=ℝ . Dễ thấy hàm số ( ) y f x = liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;0 , 0;1 −∞ và ( ) 1;+∞ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 lim lim lim 0 lim lim lim 0 x x x x x x f x f x x f x x x f x x x − − − + + + → → → → → →     =      = = =  →        = = =    liên tục tại 0. x = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 lim lim 1 x x x x x f x f x x f x x f x x − − − + + → → → → →   =       = = =  →      = =     liên tục tại 1. x = Vậy hàm số ( ) y f x = liên tục trên ℝ . Chọn A. Câu 27. Cho hàm số ( ) 2 1 khi 3, 1 1 4 khi 1 1 khi 3 x x x x f x x x x   −  < ≠   −    = =     + ≥      . Hàm số ( ) f x liên tục tại: A. mọi điểm thuộc ℝ . B. mọi điểm trừ 1 x = . C. mọi điểm trừ 3 x = . D. mọi điểm trừ 1 x = và 3 x = . Lời giải. Hàm số ( ) y f x = có TXĐ: D=ℝ . Dễ thấy hàm số ( ) y f x = liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;1 , 1;3 −∞ và ( ) 3;+∞ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 4 1 lim lim lim 1 2 1 x x x f f x x f x x x → → →   =     →  −  = = + =   −   gián đoạn tại 1. x = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 1 lim lim lim 1 4 1 x x x f f x x f x x x − − − → → →   =     →  −  = = + =   −   gián đoạn tại 3. x = Chọn D. Câu 28. Số điểm gián đoạn của hàm số ( ) 2 2 khi 0 1 khi 0 2 3 1 khi 2 x x h x x x x x  <     = + ≤ ≤     − >   là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. Hàm số ( ) y h x = có TXĐ: D=ℝ . Dễ thấy hàm số ( ) y h x = liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;0 , 0;2 −∞ và ( ) 2;+∞ . Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 lim lim 2 0 x x h f x h x x − − → →   =    →   = =    không liên tục tại 0 x = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 lim lim 1 5 lim lim 3 1 5 x x x x h h x x f x h x x − − + + → → → →    =     = + =  →      = − =    liên tục tại 2 x = . Chọn A. Câu 29. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số ( ) 2 2 khi 1 2 khi 1 1 khi 1 x x x f x x m x x   + <    = =     + >   liên tục tại 1 x = . A. 1. S =− B. 0. S = C. 1. S = D. 2. S = Lời giải. Hàm số xác định với mọi x ∈ℝ . Điều kiện bài toán trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim 1 . * x x f x f x f + − → → = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 lim lim 1 1 * 1 2 lim lim 2 x x x x f f x m x m m f x x x + + − − → → → →    =     = + = +  → ⇔ + =      = + =    1 0. S m ±  → = ⇔ = Chọn B. Câu 30. Cho hàm số ( ) 2 3 cos khi 0 khi 0 1. 1 khi 1 x x x x f x x x x x − <       = ≤ <   +    ≥    Hàm số ( ) f x liên tục tại: A. mọi điểm thuộc . x ∈ℝ B. mọi điểm trừ 0. x = C. mọi điểm trừ 1. x = D. mọi điểm trừ 0; 1. x x = = Lời giải. Hàm số ( ) y f x = có TXĐ: D=ℝ . Dễ thấy ( ) f x liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;0 , 0;1 −∞ và ( ) 1;+∞ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 lim lim cos 0 lim lim 0 1 x x x x f f x x x f x x f x x − − + + → → → →      =     = − =  →       = =   +   liên tục tại 0 x = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 lim lim 1 x x x x f x f x f x x f x x − − + + → → → →    =      = =  →   +    = =     không liên tục tại 1 x = . Chọn C. Vấn đề 5. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT KHOẢNG Câu 31. Cho hàm số ( ) 3 4 4 1. f x x x =− + − Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số đã cho liên tục trên . ℝ B. Phương trình ( ) 0 f x = không có nghiệm trên khoảng ( ) ;1 . −∞ C. Phương trình ( ) 0 f x = có nghiệm trên khoảng ( ) 2;0 . − D. Phương trình ( ) 0 f x = có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1 3; . 2     −       Lời giải. (i) Hàm ( ) f x là hàm đa thức nên liên tục trên  → ℝ A đúng. (ii) Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 2 23 0 f f x f   − =− <   → =   − = >   có nghiệm 1 x trên ( ) 2;1 − , mà ( ) ( ) ( ) 2;0 ; 2 1 1 ; ⊂ − ⊂ −∞ − −  → B sai và C đúng  → Chọn B. (iii) Ta có ( ) ( ) 0 1 0 0 1 1 0 2 2 f f x f   =− <     → =       = >           có nghiệm 2 x thuộc 1 0; . 2           Kết hợp với (1) suy ra ( ) 0 f x = có các nghiệm 1 2 , x x thỏa: 1 2 1 3 1 0 2 x x − < <−> (do 1 2 3 1 x x x <−> ⇔ <−> . ( ) 2 ▪ ( ) 0 3 0 f m = − < . ( ) 3 ▪ ( ) lim x f x →+∞ =+∞ nên tồn tại 0 b> sao cho ( ) 0 f b > . ( ) 4 Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( ) ; 1 −∞ − ; Từ ( ) 2 và ( ) 3 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( ) 1;0 − ; Từ ( ) 3 và ( ) 4 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( ) 0; . +∞ Vậy khi 5 m<−>