Công thức cộng và nhân xác suất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất: Để tính xác suất dạng này ta xác định các biến cố độc lập, sau đó tính xác suất từng biến cố rồi nhân lại. Ví dụ 1. Trong ví dụ, hãy tính xác suất của biến cố “Người thứ nhất gieo được mặt sấp và người thứ hai gieo được mặt 6 chấm”. Ta có A.B là biến cố “Người thứ nhất gieo được mặt sấp và người thứ hai gieo được mặt 6 chấm”. Do A và B là độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = 3 = 5. Ví dụ 2. Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ, hộp thứ hai chứa 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ. Lấy mỗi hộp 1 quả cầu. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu xanh. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ nhất và B là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ hai”. Khi đó ta có P(A) = P và P(B) = R. Kết quả việc lấy quả cầu ở hộp thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả lấy quả cầu ở hộp thứ hai và ngược lại nên A và B là hai biến cố độc lập. Ví dụ 3. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để lần gieo thứ nhất được mặt có số chấm lẻ và lần thứ hai được mặt có số chấm chẵn. Gọi A là biến cố “lần đầu gieo được mặt có số chấm lẻ” và B là biến cố “lần thứ hai gieo được mặt có số chấm chẵn”. Khi đó P(A) = 3 và P(B) = 3. Kết quả việc gieo súc sắc lần một không ảnh hưởng tới kết quả gieo súc sắc lần hai và ngược lại nên A và B là hai biến cố độc lập. Xác suất cần tìm là P(A.B) = P(A) . P(B) = 5 : 5 = 1. Ví dụ 4. Có hai xạ thủ bắn bia. Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,8; xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Tính xác suất để cả hai xạ thủ cùng bắn trúng bia. Gọi A là biến cố “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia” và B là biến cố “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”. Do kết quả bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất không ảnh hưởng tới xạ thủ thứ hai và ngược lại nên A và B là các biến cố độc lập.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Có hai hộp đựng các quả cầu. Hộp thứ nhất có 3 quả cầu xanh, 2 quả cầu trắng và 4 quả cầu vàng, hộp thứ hai có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu vàng. Lấy ở mỗi hộp 2 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 4 quả cầu màu vàng. Lời giải. Với A là biến cố “Hộp thứ nhất lấy được 2 quả vàng” và B là biến cố “Hộp thứ hai lấy được hai quả vàng” thì ta có A, B độc lập và xác suất cần tìm là P(A.B) = P(A) . P(B) = 7 : 72 = 108.

1. Các định nghĩa:

Định nghĩa 1: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn.

Có: Ai Aj = Ø và A1 A2 . . An = W.

Định nghĩa 2: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra biến cố kia và ngược lại.

Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.

2. Công thức cộng:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB), với A và B là hai biến cố bất kỳ.

Tổng quát:
P(A1+A2+ …+An) =

– (-1)n-1P(A1.A2..An)

Cụ thể khi n = 3, có:

P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Hệ quả: i) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B)

ii) Nếu A1, A2 , …, An là các biến cố xung khắc từng đôi thì:

P(A1+A2+ .. +An) = P(A1) + P(A2) + . . +P(An)

iii) Nếu A1, A2 , …, An là các biến cố độc lập toàn phần thì:

P(A1+A2+ . . +An) = 1 –

iv) Nếu A1, A2 ,…, An là nhóm các biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi thì

Ví dụ 1: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra.

Gọi A là biến cố không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra

B là biến cố có đúng một phế phẩm.

C là biến cố có không quá một phế phẩm.

Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc và C = A + B

Ta có ,

Do đó:

Ví dụ 2: Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kỳ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó được thêm điểm.