Một số dạng bài tập tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đã được peaceworld.com.vn giới thiệu ở bài viết trước. Nếu chưa xem qua bài này, các em có thể xem lại nội dung bài viết tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx là: Trong nội dung bài này, chúng ta tập trung vào một số bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, vì hàm số lượng giác có tập nghiệm phức tạp và dễ gây nhầm lẫn cho rất nhiều em. I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - kiến thức cần nhớ • Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R. - Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ X thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X. Ký hiệu:  - Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ X thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X. Ký hiệu: II. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác + Để tìm Max (M), min (m) của hàm số y = f(x) trên ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tính f"(x), tìm nghiệm f"(x) = 0 trên . - Bước 2: Tính các giá trị f(a); f(x1); f(x2);...; f(b) (xi là nghiệm của f"(x) = 0) - Bước 3: So sánh rồi chọn M và m. > Lưu ý: Để tìm M và m trên (a;b) thì thực hiện tương tự như trên nhưng thay f(a) bằng • Nếu f tăng trên thì M = f(b), m = f(a). • Nếu f giảm trên thì m = f(b), M = f(a). • Nếu trên D hàm số liên tục và chỉ có 1 cực trị thì giá trị cực trị đó là GTLN nếu là cực đại, là GTNN nếu là cực tiểu. * Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác sau: y = sinx.sin2x trên <0;π> * Lời giải: - Ta có f(x) = y = sinx.sin2x
Vậy * Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = sinx + cosx trong đoạn <0;2π>. * Lời giải: - Ta có: f(x) = y = sinx + cosx ⇒ f"(x) = cosx - sinx f"(x) = 0 ⇔ cosx = sinx ⇔ x = π/4 hoặc x = 5π/4 - Như vậy, ta có: f(0) = 1; f(2π) = 1;
Vậy • Cách khác: f(x) = sinx + cosx = √2.sin(x + π/4) Vì -1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 nên -√2 ≤ √2.sin(x + π/4) ≤ √2. Xem thêm: Những Cách In Bản Đồ Từ Google Map Hiệu Quả Chính Xác Nhất, Cách In Bản Đồ Từ Google Map Khổ Lớn Chuẩn Nhất Nên * Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 3sinx+ 4cosx + 1 * Lời giải: - Với bài này ta có thể áp dụng bất đẳng thức sau: (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) dấu "=" xảy ra khi a/c = b/d - Vậy ta có: (3sinx+ 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2x + cos2x) = 25 Suy ra: -5 ≤ 3sinx+ 4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6 Vậy Maxy = 6 đạt được khi tanx = 3/4 miny = -4 đạt được khi tanx = -3/4. > Nhận xét: Cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau: Tức là: * Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cosx + sinx - 2 * Lời giải: - Bài này làm tương tự bài 3 ta được: * Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3cosx + 2 * Lời giải: - Ta có: -1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ R. Maxy = 3.1 + 1 = 4 khi cosx = 1 ⇔x = k2π Minxy = 3.(-1) + 1 = -2 khi cosx = -1 ⇔x = π + k2π * Bài tập 6: Tìm m để phương trình: m(1 + cosx)2 = 2sin2x + 2 có nghiệm trên <-π>. * Lời giải: - Phương trình trên tương đương: Đặt khi đó: (*) ⇔ t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m. Xét f(t) = t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 trên đoạn <-1;1> Ta có: f"(t) = 4t3 - 12t2 + 4t + 4 = 0 ⇔ t = 1; t = 1 - √2; t = 1 + √2(loại) Có: f(-1) = 1 + 4 + 2 - 4 + 1 = 4 f(1) = 1 - 4 + 2 + 4 + 1 = 4 f(1 - √2) = (1 - √2)4 - 4(1 - √2)3 + 2(1 - √2)2 + 4(1 - √2) + 1 = 0 Ta được: Minf(t) = 0; Maxf(t) = 4 Để phương trình có nghiệm ta phải có 0 ≤ 2m ≤ 4. Vậy 0 ≤ m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm. III. Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác tự làm * Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: * Đáp số bài tập 1:
* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2cos2x - 3cosx - 4 trên <-π>. * Đáp số bài tập 2:
* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = x + 2cosx trên (0;π/2). * Đáp số bài tập 3:
* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2sin2x + 2sinx - 4. * Đáp số bài tập 4:
* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = x + sin2x trên <-π>. * Đáp số bài tập 5: Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ngoài cách dùng đạo hàm các em cũng cần vận dụng một cách linh hoạt các tính chất đặc biệt của hàm lượng giác hay bất đẳng thức. Hy vọng, bài viết này hữu ích cho các em, chúc các em học tập tốt.
Quảng cáo Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý: + Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1 +Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1 + Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có: (a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 ) Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2 + Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M]. + Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|. A. M=3 ; m= - 1. B. M= 1 ; m= -1. C. M=2 ;m= -2. D. M=0 ; m= -2. Lời giải:. Chọn B. Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos3x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos3x| ≤ 1 ⇒ 0 ≥ -2|cos3x| ≥ -2 Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A.x0=π+k2π, kϵZ . B.x0=π/2+kπ, kϵZ . C.x0=k2π, kϵZ . D.x0=kπ ,kϵZ . Lời giải:. Chọn B. Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 . Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ . Quảng cáo Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x. A.M= 3 ;m= 0 B. M=2 ; m=0. C. M=2 ; m= 1. D.M= 3 ; m= 1. Lời giải:. Chọn C. Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2 x. Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3 A.M= 1; m= - 7 B. M= 7; m= - 1 C. M= 3; m= - 4 D. M=4; m= -3 Lời giải Chọn A Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4 Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1 Do đó : M= 1 và m= - 7 Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 . A. [5; 9] B.[6;10] C. [ 8;12] D. [10; 14] Lời giải: Chọn C Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2 ⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12 Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12] Quảng cáo Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x A. 10 B. 8 C.6 D. 4 Lời giai Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2 Suy ra: 8 ≤ 10-2cos2x ≤ 12 Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 – 8= 4 Chọn D. Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= √3 sin( 2016x+2019) A. - 4032 B. √3 C. -√3 D. 0 Lời giải: Chọn D Với mọi x ta có :- 1 ≤ sin(2016x+2019) ≤ 1 ⇒ -√3 ≤ √3sin(2016x+2019) ≤ √3 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -√3 và giá trị lớn nhất của hàm số là √3 ⇒ Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - √3+ √3=0 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/(1+sinx) A. m= 1/2 B. m= 1/√2 C. m= 1 D. m= √2 Lời giải: Chọn A Điều kiện xác định : sinx ≠ -1 hay x ≠ (- π)/2+k2π + Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1<sinx ≤ 1 nên sinx + 1 > 0 + Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1( thỏa mãn điều kiện) . Khi đó ymin = 1/2 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1 Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin( 9x+π/100)+2000 A. m=18 ; M=4018 B. m = -18; M= 18 C. m=-18; M= 4018 D. Đáp án khác Lời giải: Chọn C Hàm số xác định trên R. Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin( 9x+π/100) ≤ 1 nên - 2018 ≤ 2018sin( 9x+π/100) ≤ 2018 ⇒ -18 ≤ 2018sin( 9x+π/100)+2000 ≤ 4018 ⇒ giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin( 9x+π/100)=-1 Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin( 9x+π/100)=1 Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= ∜sinx- √cosx. A. m= -1; M=1. B. m = 0; M=1 C. m= -1;M=0 D. m= -1 và M không tồn tại. Lời giải: Chọn A Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có: Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= – 1 khi: (sinx=0 và cosx=1 ⇒ x= k2π. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi (sinx=1 và cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π. Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x – 6cosx + 11. Tính M.m A.30 B.36 C.27 D.24 Lời giải: Ta có: cos2 x – 6cosx +11 = ( cos2x – 6cosx + 9) +2 = (cosx -3)2 + 2 Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 4 ≤ cosx-3 ≤ -2 ⇒ 0 ≤ (cosx-3)^2 ≤ 16 ⇒ 2 ≤ (cosx-3)^2+2 ≤ 18 Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36. Chọn B. Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4). Tính S= M+11m A.4 B.5 C. 6 D. 8 Lời giải:. Gọi y0 là một giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y0=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) có nghiệm. ⇒ y0.( 2cosx- sinx + 4) = cosx +2sinx + 3 có nghiệm ⇒ 2y0.cosx – sinx.y0 + 4y0- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm ⇒ ( 2y0 -1)cosx – ( y0+2).sinx =3- 4y0 (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi : (2y0-1)2 + ( y0 + 2)2 ≥ (3-4y0)2 ⇒ 4y02 – 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 ≥ 9-24y0+16y02 ⇒ 11y02 – 24y0 + 4 ≤ 0 2/11 ≤ y0 ≤ 2 Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4 Chọn A. Ví dụ 13. Cho hàm số y= √(1+2sin2 x)+ √(1+2〖cos2 x)-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất? A. 3,23 B. 3,56 C. 2,78 D.2,13 Lời giải: + Xét t= √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x) ⇒ t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. √((1+2sin2 x).( 1+2cos2 x) ) =4+2√(3+ sin2 2x) Mà sin22x ≥ 0 nên t2 ≥ 4+ 2√3 Mà t > 0 nên t ≥ √(4+2√3) =1+ √3 Suy ra: y= t-1 ≥ √3 Dấu “=” xảy ra khi sin2x=0 . + Lại có: √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x) ≤ √((1^2+ 1^2 ).( 1+2sin2x+ 1+2cos2 x) )= 2√2 ⇒ y= √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x)-1 ≤ 2√2-1 Dấu “=” xảy ra khi sin2 x= cos2x Vậy {(m= √3 và M=2√2-1) ⇒ M+ m≈3,56 Chọn B. Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m. A. P= - 1 B. P= 1 C. P= 2 D. P=0
Chọn A. Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3( 1 – 2sin2x ) = 2sin2x+ 3. Mà -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2sinx+3 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ y ≤ 5. Suy ra: M= 5 và m= 3 Do đó: P = 5- 2.3= - 1 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x . A. M= 3 B. M= 1 C. M= 5 D. M= 4
Chọn C. Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.( 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x). Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5 Khi đó: y= 5( cosα.sin2x+sinα.cos2x)=5.sin( α+2x) ⇒ - 5 ≤ y ≤ 5 Suy ra M= 5. Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x – 4sinx+ 5. Tính M+ m. A.3 B.8 C.10 D.12
Chọn D. Ta có: y= sin2x – 4sinx+ 5= ( sinx- 2)2 + 1. Do: -1 ≤ sinx ≤ 1 nên-3 ≤ sinx-2 ≤ -1 ⇒ 1 ≤ ( sinx-2)2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ ( sinx-2)2+1 ≤ 10 . Suy ra: M=10 và m = 2 Do đó; M+ m = 12 Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Chọn C. Ta có: cos2x- cosx = (cosx- 1/2)2- 1/4 . Do - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên (- 3)/2 ≤ cosx- 1/2 ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ ( cosx- 1/2)2 ≤ 9/4 ⇒ (- 1)/4 ≤ ( cosx- 1/2)2- 1/4 ≤ 2. Do đó (- 1)/4 ≤ y ≤ 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [(- 1)/4;2] ⇒ Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2. Do đó có 3 giá trị thỏa mãn. Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng. A. x= (-π)/2+k2π. B. x= π/2+k2π. C. x= k π D. x= k2π
Chọn B. Ta có: cos2x+ 2sinx+ 2 = 1- sin2x+ 2sinx + 2= - sin2x + 2sinx+ 3 = - (sinx-1)2 + 4 Mà - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên-2 ≤ sinx-1 ≤ 0 Suy ra: 0 ≤ ( sinx-1)2 ≤ 4 ⇒ -4 ≤ - (sinx-1)2 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 4 - (sinx-1)2 ≤ 4 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 ⇒ x= π/2+k2π. Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1. A.M= 2; m= - 2 B.M=1; m=0 C.M=4;m= - 1 D M=2;m= - 1
Chọn D. Ta có: sin4x- 2cos2x + 1= sin4x – 2( 1- sin2x) + 1 = sin4x + 2sin2x - 1 = ( sin2 x +1)22 - 2 Mà: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ sin2 x+1 ≤ 2 Suy ra: 1 ≤ ( sin2 x+1)2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ ( sin2 x+1)2-2 ≤ 2 . Nên M= 2; m= - 1 Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x – cos4x. A. - 3 B. - 1 C. 3 D. 5
Chọn B. Ta có: y= 4sin4x – cos4x= 4.((1-cos2x)/2)2-(2cos2 2x-1) = 1- 2cos2x+ cos22x – 2cos2x + 1 = - cos42x - 2cos2x + 2 = - (cos2x+ 1)2 + 3 Mà -1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ (cos2x+1)2 ≤ 4 ⇒ -1 ≤ -(cos2x+1)2+3 ≤ 3 Suy ra m= - 1. Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2( sinx - cosx). Tính P= M+ 2m. A. 2 B. - 2√2 C. - √2 D. 4√2
Chọn B Ta có : 2( sinx- cosx)=2√2 sin( x- π/4) Với mọi x thì : - 1 ≤ sin( x- π/4) ≤ 1 ⇒ - 2√2 ≤ 2√2.sin( x- π/4) ≤ 2√2 Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 2√2 và m= -2√2 ⇒ P= M+ 2m= - 2√2 Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= √(1- cos2 x)+1là: A. 2 và 1 B. 0 và 3 C. 1 và 3 D.1 và 1+ √2
Ta có : √(1- cos2 x)= √(sin2 x)= |sinx| Do đó; hàm số y= √(1- cos2 x)+1=|sinx|+1 Với mọi x ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên 0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇒ 1 ≤ |sinx|+1 ≤ 2 ⇒ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1. Chọn A Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
Ta có: 4sin2x + 6cos2 x+ 1= 2( 1- cos2x) + 3( 1+cos2x) + 2 = cos2x+ 7 Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 6 ≤ cos2x+7 ≤ 8 Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6 Chọn B. Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau A.max y=4,min y=3/4 B.max y=3,min y=2 C.max y=4,min y=2 D.max y=3,min y=3/4
Đặt t=sin2x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos2x=1-2t ⇒ y= 2t+(1-2t)2=42-2t+1=(2t-1/2)2+3/4 Do 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ -1/2 ≤ 2t-1/2 ≤ 3/2 ⇒ 0 ≤ (2t-1/2)2 ≤ 9/4 ⇒ 3/4 ≤ y ≤ 3 . Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ . min y=3/4 đạt được khi sin2x=1/4 . Chọn D.Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1 A. max y=6,min y=-2 B. max y=4,min y=-44 C. max y=6,min y=-4 D.max y=6,min y=-1
Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: (ac+bd)2 ≤ (c2+d2)(a2+b2) . Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d . Ta có: (3sinx+4cosx)2 ≤ (32+42)(sin2+cos2)=25 ⇒ 5 ≤ 3sinx+4cosx ≤ 5 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6 Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 . min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4. Chọn C. Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x A. min y= -3√2 -1, max y=3√2 +1 B. min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1 C. min y= -3√2 , max y=3√2 -1 D. min y= -3√2 -2, max y=3√2 -1
Ta có: y= 2sin2 x + 3sin2x - 4cos2x = 1 – cos2x + 3sin2x - 2( 1+ cos2x) =3sin2x-3cos2x-1=3√2sin(2x-π/4)-1 Mà -1 ≤ sin(2x- π/4) ≤ 1 ⇒ - 3√2 ≤ 3√2sin(2x- π/4) ≤ 3√2 ⇒ - 3√2-1 ≤ 3√2sin( 2x- π/4)-1 ≤ 3√2-1 Suy ra min y= -3√2 -1, max y=3√2 -1 . Chọn B. Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x A. min y= 2+√10 , max y=2-√10 B. min y= 2+√5, max y=2+√5 C. min y= 2+√2, max y=2-√2 D. min y= 2+√7, max y=2-√7
Ta có: Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có : - √(32+ 12 ) ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √(32+ 12 ) Suy ra : -√10 ≤ 3sin2x+cos2x ≤ √10 ⇒ 2-√10 ≤ y ≤ 2+√10 Từ đó ta có được: maxy=2+√10;miny=2-√10. Chọn A. Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ √(2-sin2) A.min y= 0, max y=3 B.min y= 0, max y=4 C.min y= 0, max y=6 D.min y= 0, max y=2
Ta có 0 ≤ y ∀x và y2=2+2sin√(2-sin2) Mà 2|sin√(2-sin2)| ≤ sin2+2-sin2=2 Suy ra 0 ≤ y2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4 min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π Chọn D. Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4) A. min y= -2/11, max y=2 B. min y= 2/11, max y=3 C. min y= 2/11, max y=4 D. min y= 2/11, max y=2
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có: (2sin2x – cos2x)2 ≤ (22+(-1)2). ( sin22x + cos22x) = 5 ⇒ -√5 ≤ 2sin2x-cos2x ≤ √5 ⇒ 4-√5 ≤ 4+ 2sin2x-cos2x ≤ 4+√5 ⇒ 4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x. + Ta có: y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4) ⇒ y. 2sin2x – y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3 ⇔ (2y-1)sin2x-(y+2)cos2x=3-4y (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: ⇒ (2y-1)2+(y+2)2 ≥ (3-4y)2 ⇔ 11y2-24y+4 ≤ 0 ⇔ 2/11 ≤ y ≤ 2 Suy ra: min y= 2/11, max y=2 . Chọn D. Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(2sin23x+4sin3xcos3x+1)/(sin6x+4cos6x+10) A. min y= (11-9√7)/83, max y=(11+9√7)/83 B. min y= (22-9√7)/11, max y=(22+9√7)/11 C. min y= (33-9√7)/83, max y=(33+9√7)/83 D. min y= (22-9√7)/83, max y=(22+9√7)/83
+Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có: ( sin6x+4cos6x)2 ≤ (12+42). ( sin26x+ cos26x)= 17 ⇒ -√17 ≤ sin6x+4cos6x ≤ √17 ⇒ sin6x+4cos6x+10 ≥ 10-√17 > 0 ∀x thuộc R Do đó; hàm số xác định với mọi x. + ta có: y=(2sin6x-cos6x+2)/(sin6x+4cos6x+10) ⇒ (y-2)sin6x+(4y+1)cos6x=2-10y Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi: ⇒ (y-2)2+(4y+1)2 ≥ (2-10y)2 ⇔ 83y2-44y-1 ≤ 0 ⇒ (22-9√7)/83 ≤ y ≤ (22+9√7)/83. Suy ra: min y= (22-9√7)/83, max y=(22+9√7)/83 Chọn D.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
