Trong toán học và khoa học máy tính, một thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu hạn các hướng dẫn được xác định rõ ràng, có thể thực hiện được bằng máy tính, thường để giải quyết một lớp vấn đề hoặc để thực hiện một phép tính.[1][2] Các thuật toán luôn rõ ràng và được sử dụng chỉ rõ việc thực hiện các phép tính, xử lý dữ liệu, suy luận tự động và các tác vụ khác.
Hầu hết các thuật toán được thiết kế để thực hiện như các chương trình máy tính. Tuy nhiên, các thuật toán cũng được thực hiện bằng các phương tiện khác, chẳng hạn như trong mạng nơ-ron sinh học (ví dụ, não người thực hiện phép tính số học hoặc côn trùng đang tìm kiếm thức ăn), trong mạch điện hoặc trong một thiết bị cơ khí.
Thuật toán máy tínhSửa đổi
Trong các hệ thống máy tính, thuật toán về cơ bản là một ví dụ của logic được viết trong phần mềm bởi các nhà phát triển phần mềm, để có hiệu quả đối với (các) máy tính "đích" nhằm tạo ra đầu ra từ đầu vào (có thể là rỗng) nhất định. Một thuật toán tối ưu, thậm chí chạy trong phần cứng cũ, sẽ tạo ra kết quả nhanh hơn thuật toán không tối ưu (độ phức tạp thời gian cao hơn) cho cùng mục đích, chạy trong phần cứng hiệu quả hơn; đó là lý do tại sao các thuật toán, như phần cứng máy tính, được coi là công nghệ.
Chương trình "thanh lịch" (nhỏ gọn), chương trình "tốt" (nhanh): Khái niệm "đơn giản và thanh lịch" xuất hiện không chính thức ở Knuth và chính xác là ở Chaitin:
- Knuth: " chúng tôi muốn có các thuật toán tốt theo một khía cạnh thẩm mỹ được xác định lỏng lẻo. Một tiêu chí là khoảng thời gian thực hiện thuật toán. Các tiêu chí khác là khả năng thích ứng của thuật toán với máy tính, tính đơn giản và sang trọng của nó, v.v. " [31]
- Chaitin: " một chương trình là 'thanh lịch', theo ý tôi thì đó là chương trình nhỏ nhất có thể để tạo ra kết quả đầu ra mà nó thực hiện" [32]
Chaitin mở đầu cho định nghĩa của mình bằng: "Tôi sẽ cho bạn thấy rằng bạn không thể chứng minh rằng một chương trình là 'thanh lịch '" chẳng hạn như một bằng chứng sẽ giải quyết được bài toán tạm dừng (ibid).
Thuật toán so với hàm có thể tính toán bằng một thuật toán: Đối với một hàm đã cho, nhiều thuật toán có thể tồn tại. Điều này đúng, ngay cả khi không mở rộng tập lệnh có sẵn cho lập trình viên. Rogers nhận xét rằng Điều quan trọng là phải phân biệt giữa khái niệm thuật toán, tức là thủ tục và khái niệm hàm có thể tính toán bằng thuật toán, tức là ánh xạ được tạo ra bởi thủ tục. Cùng một chức năng có thể có một số thuật toán khác nhau ".[33]
Thật không may, có thể có sự cân bằng giữa tính tốt (tốc độ) và tính thanh lịch (tính nhỏ gọn) một chương trình thanh lịch có thể cần nhiều bước để hoàn thành một phép tính hơn một chương trình kém thanh lịch hơn. Ví dụ sử dụng thuật toán Euclid xuất hiện bên dưới.
Máy tính, các mô hình tính toán: Máy tính (hay "máy tính" của con người [34]) là một loại máy bị hạn chế, một "thiết bị cơ khí xác định rời rạc" [35] làm theo hướng dẫn của nó một cách mù quáng.[36] Các mô hình sơ khai của Melzak và Lambek [37] giảm khái niệm này thành bốn yếu tố: (i) các vị trí rời rạc, dễ phân biệt, (ii) các bộ đếm rời rạc, không thể phân biệt được [38] (iii) một tác nhân, và (iv) một danh sách các hướng dẫn có hiệu quả so với khả năng của tác nhân.[39]
Minsky mô tả một biến thể phù hợp hơn của mô hình "bàn tính" của Lambek trong "Các cơ sở rất đơn giản để tính toán " của ông.[40] Máy của Minsky tiến hành tuần tự thông qua năm (hoặc sáu, tùy thuộc vào cách đếm) lệnh, trừ khi IF THEN GOTO có điều kiện hoặc GOTO không điều kiện thay đổi luồng chương trình không theo trình tự. Bên cạnh HALT, máy của Minsky bao gồm ba hoạt động gán (thay thế, thay thế) [41]: ZERO (ví dụ: nội dung của vị trí được thay thế bằng 0: L 0), SUCCESSOR (ví dụ: L L + 1) và DECREMENT (ví dụ: L L - 1).[42] Hiếm khi một lập trình viên phải viết "mã" với một tập lệnh giới hạn như vậy. Nhưng Minsky cho thấy (Melzak và Lambek cũng vậy) rằng cỗ máy của anh ấy là Turing hoàn chỉnh với chỉ bốn loại lệnh chung: GOTO có điều kiện, GOTO vô điều kiện, gán / thay thế / thay thế và HALT. Tuy nhiên, một số hướng dẫn gán khác nhau (ví dụ: DECREMENT, INCREMENT và ZERO / CLEAR / EMPTY cho máy Minsky) cũng được yêu cầu đối với tính năng Turing-completeness; đặc điểm kỹ thuật chính xác của chúng phần nào tùy thuộc vào nhà thiết kế. GOTO vô điều kiện là một sự tiện lợi; nó có thể được xây dựng bằng cách khởi tạo một vị trí chuyên dụng bằng 0, ví dụ như lệnh "Z 0"; sau đó lệnh IF Z = 0 THEN GOTO xxx là vô điều kiện.
Mô phỏng thuật toán: ngôn ngữ máy tính (computor): Knuth khuyên người đọc rằng "cách tốt nhất để học một thuật toán là thử nó.. Lấy ngay giấy bút và làm việc với một ví dụ".[43] Nhưng những gì về một mô phỏng hoặc thực hiện các điều thực tế? Lập trình viên phải dịch thuật toán sang ngôn ngữ mà trình mô phỏng / máy tính / trình biên dịch có thể thực thi một cách hiệu quả. Stone đưa ra một ví dụ về điều này: khi tính toán căn bậc hai, người tính toán phải biết cách lấy căn bậc hai. Nếu không, thì thuật toán, để có hiệu quả, phải cung cấp một bộ quy tắc để trích xuất căn bậc hai.[44]
Điều này có nghĩa là lập trình viên phải biết một "ngôn ngữ" có hiệu quả so với tác nhân tính toán mục tiêu (máy tính). Nhưng mô hình nào nên được sử dụng cho mô phỏng? Van Emde Boas nhận xét "ngay cả khi chúng ta đặt lý thuyết phức tạp dựa trên lý thuyết trừu tượng thay vì máy móc cụ thể, sự tùy tiện trong việc lựa chọn mô hình vẫn còn. Chính tại thời điểm này, khái niệm mô phỏng đi vào ".[45] Khi tốc độ đang được đo, tập lệnh quan trọng. Ví dụ, chương trình con trong thuật toán Euclid để tính phần còn lại sẽ thực thi nhanh hơn nhiều nếu lập trình viên có sẵn lệnh " modulus " thay vì chỉ phép trừ (hoặc tệ hơn: chỉ "giảm dần" của Minsky).
Lập trình có cấu trúc, cấu trúc chuẩn: Theo luận điểm của Church Turing, bất kỳ thuật toán nào cũng có thể được tính toán bằng một mô hình được gọi là Turing hoàn chỉnh và theo các minh chứng của Minsky, tính đầy đủ của Turing chỉ yêu cầu bốn loại lệnh GOTO có điều kiện, GOTO không điều kiện, phép gán, HALT. Kemeny và Kurtz nhận thấy rằng, trong khi việc sử dụng "vô kỷ luật" GOTO vô điều kiện và IF-THEN GOTO có điều kiện có thể dẫn đến " mã spaghetti ", một lập trình viên có thể viết các chương trình có cấu trúc chỉ bằng các hướng dẫn này; mặt khác "cũng có thể, và không quá khó, để viết các chương trình có cấu trúc tồi bằng một ngôn ngữ có cấu trúc".[46] Tausworthe tăng cường ba cấu trúc kinh điển Böhm-Jacopini:[47] SEQUENCE, IF-THEN-ELSE và WHILE-DO, với hai cấu trúc khác: DO-WHILE và CASE.[48] Một lợi ích bổ sung của chương trình có cấu trúc là nó tự cho mình các bằng chứng về tính đúng đắn bằng cách sử dụng quy nạp toán học.[49]
Các ký hiệu lưu đồ hợp quy: Phụ tá đồ họa được gọi là lưu đồ, đưa ra cách mô tả và ghi lại một thuật toán (và một chương trình máy tính của một thuật toán). Giống như quy trình chương trình của máy Minsky, lưu đồ luôn bắt đầu ở đầu trang và tiếp tục xuống. Các ký hiệu chính của nó chỉ có bốn: mũi tên có hướng hiển thị luồng chương trình, hình chữ nhật (SEQUENCE, GOTO), hình thoi (IF-THEN-ELSE) và dấu chấm (OR-tie). Các cấu trúc kinh điển Böhm Jacopini được tạo ra từ những hình dạng nguyên thủy này. Cấu trúc con có thể "lồng" trong hình chữ nhật, nhưng chỉ khi một lối ra duy nhất xảy ra từ cấu trúc thượng tầng. Các ký hiệu và cách sử dụng chúng để xây dựng các cấu trúc chính tắc được thể hiện trong sơ đồ.
Ví dụSửa đổi
Ví dụ thuật toánSửa đổi
Một trong những thuật toán đơn giản nhất là tìm số lớn nhất trong danh sách các số có thứ tự ngẫu nhiên. Tìm lời giải yêu cầu nhìn vào mọi số trong danh sách. Từ đó dẫn đến một thuật toán đơn giản, có thể được nêu trong phần mô tả cấp cao bằng văn xuôi tiếng Anh, như:
Mô tả cấp cao:
- Nếu không có số nào trong tập hợp thì không có số cao nhất.
- Giả sử số đầu tiên trong tập hợp là số lớn nhất trong tập hợp.
- Với mỗi số còn lại trong tập hợp: nếu số này lớn hơn số lớn nhất hiện tại thì coi số này là số lớn nhất trong tập hợp.
- Khi không còn số nào trong tập hợp để lặp lại, hãy coi số lớn nhất hiện tại là số lớn nhất của tập hợp.
Bán mô tả chính thức: Được viết bằng văn xuôi nhưng gần với ngôn ngữ cấp cao của chương trình máy tính hơn nhiều, sau đây là cách mã hóa chính thức hơn của thuật toán bằng mã giả hoặc mã pidgin:
Input: A list of numbers L. Output: The largest number in the list L.
if L.size = 0 return null largest L[0] for each item in L, do if item > largest, then largest item return largestThuật toán EuclidSửa đổi
Thuật toán của Euclid để tính ước số chung lớn nhất (ƯCLN) cho hai số xuất hiện dưới dạng Mệnh đề II trong Quyển VII ("Lý thuyết số cơ bản") của tác phẩm Cơ sở của ông.[50] Do đó, Euclid đặt ra vấn đề: "Cho hai số không nguyên tố với nhau, hãy tìm số đo chung lớn nhất của chúng". Ông định nghĩa "Một số [là] một vô số bao gồm các đơn vị": một số đếm, một số nguyên dương không bao gồm số không. Để "đo" là đặt một chiều dài ngắn s liên tiếp (q lần) lên trên chiều dài l cho đến khi phần còn lại là r nhỏ hơn chiều dài ngắn s. [51] Nói cách hiện đại, phần dư r = l - q × s, q là thương số, hoặc phần dư r là "môđun", phần nguyên còn lại sau phép chia.[52]
Để phương pháp Euclid thành công, độ dài bắt đầu phải thỏa mãn hai yêu cầu: (i) độ dài không được bằng 0, VÀ (ii) phép trừ phải hợp lệ; tức là, một phép thử phải đảm bảo rằng số nhỏ hơn trong hai số bị trừ đi số lớn hơn (hoặc hai số có thể bằng nhau để phép trừ của chúng cho kết quả bằng không).
Chứng minh ban đầu của Euclid bổ sung thêm một yêu cầu thứ ba: hai độ dài không được nguyên tố với nhau. Euclid đã quy định điều này để ông có thể xây dựng một bằng chứng rút gọn là vô lý rằng số đo chung của hai số trên thực tế là lớn nhất.[53] Trong khi thuật toán của Nicomachus cũng giống như thuật toán của Euclid, khi các số nguyên tố với nhau, nó mang lại số "1" cho số đo chung của chúng. Vì vậy, chính xác mà nói, sau đây thực sự là thuật toán của Nicomachus.
Ngôn ngữ máy tính cho thuật toán EuclidSửa đổi
Chỉ một số loại lệnh được yêu cầu để thực thi thuật toán Euclid một số phép thử logic (GOTO có điều kiện), GOTO không điều kiện, phép gán (thay thế) và phép trừ.
- Vị trí được ký hiệu bằng (các) chữ cái viết hoa, ví dụ: S, A, v.v.
- Số lượng (số) khác nhau ở một vị trí được viết bằng (các) chữ cái thường và (thường) được kết hợp với tên của vị trí. Ví dụ, vị trí L ở đầu có thể chứa số l = 3009.
Một chương trình đơn giản cho thuật toán EuclidSửa đổi
Thuật toán sau đây được đóng khung như là phiên bản bốn bước của Knuth của Euclid's và Nicomachus, nhưng thay vì sử dụng phép chia để tìm phần dư, nó sử dụng các phép trừ liên tiếp của độ dài s từ độ dài còn lại r cho đến khi r nhỏ hơn s. Mô tả cấp cao, được in đậm, được phỏng theo Knuth 1973: 24:
ĐẦU VÀO:
1 [Into two locations L and S put the numbers l and s that represent the two lengths]: INPUT L, S
2 [Initialize R: make the remaining length r equal to the starting/initial/input length l]: R L
E0: [Đảm bảo r s. ]
3 [Ensure the smaller of the two numbers is in S and the larger in R]: IF R > S THEN the contents of L is the larger number so skip over the exchange-steps 4, 5 and 6: GOTO step 6 ELSE swap the contents of R and S.
4 L R (this first step is redundant, but is useful for later discussion).
5 R S
6 S L
E1: [Tìm phần dư]: Cho đến khi độ dài còn lại r trong R nhỏ hơn độ dài ngắn hơn s trong S, lặp đi lặp lại phép trừ số đo s trong S với độ dài còn lại r trong R.
7 IF S > R THEN done measuring so GOTO 10 ELSE measure again,
8 R R S
9 [Remainder-loop]: GOTO 7.
E2: [Phần dư có bằng 0? ]: HOẶC (i) số đo cuối cùng là chính xác, phần còn lại trong R bằng 0 và chương trình có thể tạm dừng, HOẶC (ii) thuật toán phải tiếp tục: số đo cuối cùng để lại phần dư trong R nhỏ hơn số đo trong S.
10 IF R = 0 THEN done so GOTO step 15 ELSE CONTINUE TO step 11,
E3: [Đảo vị trí s và r ]: Điểm mấu chốt của thuật toán Euclid. Sử dụng phần dư r để đo số trước đó nhỏ hơn s; L phục vụ như một kho lưu trữ tạm thời.
11 L R
12 R S
13 S L
14 [Repeat the measuring process]: GOTO 7
ĐẦU RA:
15 [Done. S contains the greatest common divisor]: PRINT S
XONG:
16 HALT, END, STOP.
Một chương trình đơn giản cho thuật toán EuclidSửa đổi
Phiên bản sau của thuật toán Euclid chỉ yêu cầu sáu lệnh cốt lõi để thực hiện mười ba lệnh được yêu cầu bởi "chương trình chưa thanh lịch"; tệ hơn nữa là "chương trình chưa thanh lịch" yêu cầu nhiều loại hướng dẫn hơn. [làm rõ] Bạn có thể tìm thấy sơ đồ của "Thanh lịch" ở đầu bài viết này. Trong ngôn ngữ BASIC (không có cấu trúc), các bước được đánh số, và lệnh LET [] = [] là lệnh gán được ký hiệu bằng .
Cách "chương trình thanh lịch" hoạt động: Thay cho "vòng lặp Euclid" bên ngoài, "Elegant" di chuyển qua lại giữa hai "co-vòng lặp", một vòng lặp A> B tính A A - B và một vòng lặp B A tính toán B B - A. Điều này hoạt động bởi vì, khi cuối cùng giá trị nhỏ nhất M nhỏ hơn hoặc bằng dải con S (Chênh lệch = Minuend - Subtrahend), minuend có thể trở thành s (chiều dài đo mới) và subtrahend có thể trở thành r mới (độ dài được đo); nói cách khác, "ý nghĩa" của phép trừ đảo ngược. Phiên bản sau có thể được sử dụng với các ngôn ngữ hướng đối tượng:
Kiểm tra các thuật toán EuclidSửa đổi
Một thuật toán có làm được những gì mà tác giả của nó muốn nó làm không? Một số trường hợp thử nghiệm thường cung cấp một số tin cậy về chức năng cốt lõi. Nhưng các thử nghiệm là không đủ. Đối với các trường hợp thử nghiệm, một nguồn [54] sử dụng 3009 và 884. Knuth đề xuất 40902, 24140. Một trường hợp thú vị khác là hai số nguyên tố cùng nhau 14157 và 5950.
Nhưng "trường hợp ngoại lệ" [55] phải được xác định và thử nghiệm. Liệu "Inelegant" có thực hiện đúng khi R> S, S> R, R = S không? Cũng vậy cho chương trình "Thanh lịch": B> A, A> B, A = B? (Có cho tất cả). Điều gì xảy ra khi một số bằng 0, cả hai số đều bằng không? ("Chưa thanh lịch" rơi vào vòng lặp vĩnh viễn trong các trường hợp trên; "Thanh lịch" rơi vào vòng lặp vĩnh viễn khi A = 0.) Điều gì xảy ra nếu người dùng nhập số âm? Số phân số? Nếu các số đầu vào, tức là miền của hàm được tính toán bởi thuật toán / chương trình, chỉ bao gồm các số nguyên dương bao gồm cả số 0, thì các lỗi ở số 0 chỉ ra rằng thuật toán (và chương trình khởi tạo nó) là một hàm riêng phần chứ không phải một hàm tổng. Một thất bại đáng chú ý do các ngoại lệ kiểu như vậy là sự cố tên lửa Ariane 5 Flight 501 (ngày 4 tháng 6 năm 1996).
Chứng minh tính đúng đắn của chương trình bằng cách sử dụng quy nạp toán học: Knuth chứng minh việc áp dụng quy nạp toán học cho phiên bản "mở rộng" của thuật toán Euclid và ông đề xuất "một phương pháp chung áp dụng để chứng minh tính hợp lệ của bất kỳ thuật toán nào".[56] Tausworthe đề xuất rằng thước đo độ phức tạp của một chương trình là độ dài của bằng chứng tính đúng đắn của nó.[57]
Đo lường và cải thiện các thuật toán EuclidSửa đổi
Thanh lịch (nhỏ gọn) so với tốt (tốc độ): Chỉ với sáu lệnh cốt lõi, "Thanh lịch" là chiến thắng rõ ràng, so với "Không thanh lịch" với 13 lệnh. Tuy nhiên, "Không thanh lịch" nhanh hơn (nó đến HALT trong ít bước hơn). Phân tích thuật toán [58] chỉ ra lý do tại sao lại như vậy: "Thanh lịch" thực hiện hai phép thử điều kiện trong mỗi vòng trừ, trong khi "Không thanh lịch" chỉ thực hiện một phép thử. Vì thuật toán (thường) yêu cầu nhiều lần lặp lại, nên trung bình sẽ lãng phí nhiều thời gian để thực hiện "B = 0?" kiểm tra chỉ cần thiết sau khi phần còn lại được tính toán.
Các thuật toán có thể được cải thiện không?: Một khi lập trình viên đánh giá một chương trình "phù hợp" và "hiệu quả" - nghĩa là nó tính toán chức năng mà tác giả của nó dự định - thì câu hỏi sẽ trở thành, liệu nó có thể được cải thiện không?
Có thể cải thiện độ nhỏ gọn của "Không thanh lịch" bằng cách loại bỏ năm bước. Nhưng Chaitin đã chứng minh rằng việc nén một thuật toán không thể được tự động hóa bằng một thuật toán tổng quát;[59] đúng hơn, nó chỉ có thể được thực hiện theo kinh nghiệm; tức là, bằng cách tìm kiếm đầy đủ, thử và sai, thông minh, sáng suốt, áp dụng suy luận quy nạp, v.v. Quan sát các bước 4, 5 và 6 được lặp lại trong các bước 11, 12 và 13. So sánh với "Thanh lịch" cung cấp gợi ý rằng các bước này, cùng với các bước 2 và 3, có thể bị loại bỏ. Điều này làm giảm số lượng lệnh cốt lõi từ 13 xuống 8, làm cho nó "thanh lịch" hơn "Thanh lịch", với chín bước.
Tốc độ của "Thanh lịch" có thể được cải thiện bằng cách di chuyển "B = 0?" kiểm tra bên ngoài của hai vòng trừ. Thay đổi này yêu cầu bổ sung ba lệnh (B = 0?, A = 0?, GOTO). Bây giờ "Thanh lịch" tính toán các số ví dụ nhanh hơn; cho dù điều này luôn đúng đối với bất kỳ A, B và R, S nào cho trước hay không sẽ yêu cầu một phân tích chi tiết.
Đọc thêmSửa đổi
- Độ phức tạp thuật toán
- Máy truy tìm dữ liệu
- Thuật toán sắp xếp
| Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Thuật toán. |
Tham khảoSửa đổi
- ^ The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon Algorithm. Math Vault (bằng tiếng Anh). ngày 1 tháng 8 năm 2019. Bản gốc lưu trữ ngày 28 tháng 2 năm 2020. Truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2019.
- ^ Definition of ALGORITHM. Merriam-Webster Online Dictionary (bằng tiếng Anh). Bản gốc lưu trữ ngày 14 tháng 2 năm 2020. Truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2019.
- ^ "Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2).
- ^ Well defined with respect to the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2).
- ^ "an algorithm is a procedure for computing a function (with respect to some chosen notation for integers)... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1987:1).
- ^ "An algorithm has zero or more inputs, i.e., quantities which are given to it initially before the algorithm begins" (Knuth 1973:5).
- ^ "A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method'" (Knuth 1973:5).
- ^ "An algorithm has one or more outputs, i.e. quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5).
- ^ Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without the use of continuous methods or analogue devices... carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" (Rogers 1987:2).
- ^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer Science & Business Media. tr.78. ISBN9783642181924.
- ^ Hellenistic Mathematics. The Story of Mathematics. Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 9 năm 2019. Truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2019.
- ^ Cooke, Roger L. (2005). The History of Mathematics: A Brief Course. John Wiley & Sons. ISBN978-1-118-46029-0.
- ^ Dooley, John F. (2013). A Brief History of Cryptology and Cryptographic Algorithms. Springer Science & Business Media. tr.123. ISBN9783319016283.
- ^ Al-Khwarizmi - Islamic Mathematics. The Story of Mathematics. Bản gốc lưu trữ ngày 25 tháng 7 năm 2019. Truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2019.
- ^ Kleene 1943 in Davis 1965:274
- ^ Rosser 1939 in Davis 1965:225
- ^ Stone 1973:4
- ^ Simanowski, Roberto (2018). The Death Algorithm and Other Digital Dilemmas. Untimely Meditations. 14. Chase, Jefferson biên dịch. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. tr.147. ISBN9780262536370. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 12 năm 2019. Truy cập ngày 27 tháng 5 năm 2019. [...] the next level of abstraction of central bureaucracy: globally operating algorithms.
- ^ Dietrich, Eric (2001) [1999]. Algorithm. Trong Wilson, Robert Andrew; Keil, Frank C. (biên tập). The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences. MIT Cognet library. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. tr.11. ISBN9780262731447. Truy cập ngày 22 tháng 7 năm 2020. An algorithm is a recipe, method, or technique for doing something.
- ^ Stone simply requires that "it must terminate in a finite number of steps" (Stone 1973:78).
- ^ Boolos and Jeffrey 1974,1999:19
- ^ cf Stone 1972:5
- ^ Knuth 1973:7 states: "In practice we not only want algorithms, we want good algorithms... one criterion of goodness is the length of time taken to perform the algorithm... other criteria are the adaptability of the algorithm to computers, its simplicity, and elegance, etc."
- ^ cf Stone 1973:6
- ^ Stone 1973:78 states that there must be, "...a procedure that a robot [i.e., computer] can follow in order to determine precisely how to obey the instruction". Stone adds finiteness of the process, and definiteness (having no ambiguity in the instructions) to this definition.
- ^ Knuth, loc. cit
- ^ Minsky 1967Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMinsky1967 (trợ giúp)
- ^ Gurevich 2000:1, 3
- ^ Sipser 2006:157
- ^ Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, ISBN978-0-471-38365-9
- ^ Knuth 1973:7
- ^ Chaitin 2005:32
- ^ Rogers 1987:12
- ^ In his essay "Calculations by Man and Machine: Conceptual Analysis" Seig 2002:390 credits this distinction to Robin Gandy, cf Wilfred Seig, et al., 2002 Reflections on the foundations of mathematics: Essays in honor of Solomon Feferman, Association for Symbolic Logic, A.K. Peters Ltd, Natick, MA.
- ^ cf Gandy 1980:126, Robin Gandy Church's Thesis and Principles for Mechanisms appearing on pp. 123148 in J. Barwise et al. 1980 The Kleene Symposium, North-Holland Publishing Company.
- ^ A "robot": "A computer is a robot that performs any task that can be described as a sequence of instructions." cf Stone 1972:3
- ^ Lambek's "abacus" is a "countably infinite number of locations (holes, wires etc.) together with an unlimited supply of counters (pebbles, beads, etc). The locations are distinguishable, the counters are not". The holes have unlimited capacity, and standing by is an agent who understands and is able to carry out the list of instructions" (Lambek 1961:295). Lambek references Melzak who defines his Q-machine as "an indefinitely large number of locations... an indefinitely large supply of counters distributed among these locations, a program, and an operator whose sole purpose is to carry out the program" (Melzak 1961:283). B-B-J (loc. cit.) add the stipulation that the holes are "capable of holding any number of stones" (p. 46). Both Melzak and Lambek appear in The Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4, no. 3, September 1961.
- ^ If no confusion results, the word "counters" can be dropped, and a location can be said to contain a single "number".
- ^ "We say that an instruction is effective if there is a procedure that the robot can follow in order to determine precisely how to obey the instruction." (Stone 1972:6)
- ^ cf Minsky 1967: Chapter 11 "Computer models" and Chapter 14 "Very Simple Bases for Computability" pp. 255281 in particular
- ^ cf Knuth 1973:3.
- ^ But always preceded by IFTHEN to avoid improper subtraction.
- ^ Knuth 1973:4
- ^ Stone 1972:5. Methods for extracting roots are not trivial: see Methods of computing square roots.
- ^ Leeuwen, Jan (1990). Handbook of Theoretical Computer Science: Algorithms and complexity. Volume A. Elsevier. tr.85. ISBN978-0-444-88071-0.
- ^ John G. Kemeny và Thomas E. Kurtz 1985 Back to Basic: The History, Corruption, and Future of the Language, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, MA, ISBN 0-201-13433-0.
- ^ Tausworthe 1977:101
- ^ Tausworthe 1977:142
- ^ Knuth 1973 section 1.2.1, expanded by Tausworthe 1977 at pages 100ff and Chapter 9.1
- ^ Heath 1908:300; Hawking's Dover 2005 edition derives from Heath.
- ^ " 'Let CD, measuring BF, leave FA less than itself.' This is a neat abbreviation for saying, measure along BA successive lengths equal to CD until a point F is reached such that the length FA remaining is less than CD; in other words, let BF be the largest exact multiple of CD contained in BA" (Heath 1908:297)
- ^ For modern treatments using division in the algorithm, see Hardy and Wright 1979:180, Knuth 1973:2 (Volume 1), plus more discussion of Euclid's algorithm in Knuth 1969:293297 (Volume 2).
- ^ Euclid covers this question in his Proposition 1.
- ^ Euclid's Elements, Book VII, Proposition 2. Aleph0.clarku.edu. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 5 năm 2012. Truy cập ngày 20 tháng 5 năm 2012.
- ^ While this notion is in widespread use, it cannot be defined precisely.
- ^ Knuth 1973:1318. He credits "the formulation of algorithm-proving in terms of assertions and induction" to R W. Floyd, Peter Naur, C.A.R. Hoare, H.H. Goldstine and J. von Neumann. Tausworth 1977 borrows Knuth's Euclid example and extends Knuth's method in section 9.1 Formal Proofs (pp. 288298).
- ^ Tausworthe 1997:294
- ^ cf Knuth 1973:7 (Vol. I), and his more-detailed analyses on pp. 1969:294313 (Vol II).
- ^ Breakdown occurs when an algorithm tries to compact itself. Success would solve the Halting problem.