1. Công thức nghiệm thu gọn
Xét phương trình
Trong một số trường hợp, đặt
2. Chú ý
- Khia>0và phương trìnhax2 + bx +c = 0 vô nghiệm thì biểu thứcax2 + bx +c > 0 với mọi giá trị củax.
- Nếu phương trìnhax2 + bx +c = 0 cóa<0thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để cóa>0, khi đó dể giải hơn.
- Đối với phương trình bậc hai khuyếtax2 + bx =0, ax2 + c = 0 nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn.
3.Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc haiax2 + bx +c = 0 (a≠0)vớib=2b′và biệt thức
Trường hợp 1. NếuΔ′<0thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. NếuΔ′=0thì phương trình có nghiệm kép
Trường hợp 3. NếuΔ′>0thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
4. Các dạng toán thường gặp về công thức nghiệm thu gọn
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai
Trường hợp 1. NếuΔ′<0thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. NếuΔ′=0thì phương trình có nghiệm kép
Trường hợp 3. NếuΔ′>0thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai dạng ax2 + bx +c = 0 với b = 2b'
Dạng 3:Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)
Phương pháp:
* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi củam.
Xét phương trình bậc hai
Trường hợp 1. NếuΔ<0hoặc(Δ′<0)thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. NếuΔ=0hoặc(Δ′=0)thì phương trình có nghiệm kép
Trường hợp 3. NếuΔ>0hoặc(Δ′>0)thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
5.Bài tậpvề công thức nghiệm thu gọn
Câu 1:Giải phương trình x2- 5x + 4 = 0
Lời giải:
+ TínhΔ = (-5)2- 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0
+ DoΔ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1= 4; x2= 1
Câu 2:Giải phương trình 5x2- x + 2 = 0
Lời giải:
+ TínhΔ = (-1)2- 4.5.2 = -39 < 0
+ DoΔ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 3:Giải phương trình x2- 4x + 4 = 0.
Lời giải:
+ TínhΔ = (-4)2- 4.4.1 = 16 - 16 = 0.
+ DoΔ = 0, phương trình có nghiệm kép là
Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2
Câu 4: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a. 4x2 + 4x +1 = 0
b. 13852x2 -14x +1 =0
Lời giải:
Do đó phương trình có nghiệm kép:
Do đó phương trình vô nghiệm.
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a. 5x2 – 6x -1 = 0 b. -3x2 + 14x – 8 = 0
c. -7x2 + 4x = 3 d. 9x2 + 6x + 1 = 0
Lời giải:
a. Phương trình 5x2 – 6x -1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = -3, c = -1
Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (-3)2 -5.(-1) = 9 + 5 = 14 > 0
√Δ’ =√14
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
b. Phương trình -3x2+ 14x – 8 = 0 có hệ số a = -3, b’= 7, c = -8
Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 72 – (-3).(-8) = 49 – 24 > 0
√Δ’ = √25 = 5
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
c. Phương trình -7x2 +4x=3 ⇔ 7x2 -4x+3 = 0 có hệ số a=7, b’=-2 , c=3
Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (-2)2 -7.3 = 4- 21= -17 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
d. Phương trình 9x2 +6x+1 =0 có hệ số a=9,b’=3,c=1
Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 32 -9.1 = 9 – 9 = 0
Phương trình có nghiệm kép:
x1 = x2 = -b’/a =-3/9 =-1/3
a. x2 +2 + 2√2 = 2(1+√2 )x
b. √3 x2 + 2x -1 = 2√3 x +3
c. -2√2 x – 1 =√2 x2 + 2x +3
d. x2 – 2√3 x – √3 = 2x2 +2x +√3
e. √3 x2 + 2√5 x – 3√3 = -x2 – 2√3 x +2√5 +1
Lời giải:
a,Ta có: x2 +2 + 2√2 = 2(1+2 )x ⇔ x2 – 2(1+√2 )x +2 +2√2 = 0
Δ’ = b’2 – ac = [-(1+√2 )]2– 1(2+2√2 )
= 1 + 2√2 +2 -2 -2√2 =1 > 0
√Δ’ = √1 =1
Vậy với x= 2+ √2 hoặc x =√2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau
b. Ta có: √3 x2 + 2x -1 = 2√3 x +3 ⇔ 3 x2 + 2x – 2√3 x -3 -1 = 0
⇔ √3 x2 + (2 – 2√3 )x -4 =0 ⇔ √3 x2 + 2(1 – √3 )x -4 = 0
Δ’ = b’2 – ac= (1- √3 )2 – √3 (-4) =1 – 2√3 +3 +4√3
= 1 + 2√3 +3 = (1 + 3 )2 > 0
Vậy với x= 2 hoặc x = (-2√3)/3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau
c,Ta có: -2√2 x – 1 =√2 x2 + 2x +3 ⇔ √2 x2 +2x + 3 + 2√2 x + 1=0
⇔√ 2 x2 + 2(1 + √2 )x +4 =0
Δ’ = b’2 – ac= (1+ √2 )√ – √2 .4= 1+2√2 +2 – 4√2
= 1-2√2 +2 = (√2 -1)√ > 0
Vậy với x= -√2 hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau
d.Ta có: x2 – 2√3 x – √3 = 2x2 +2x +√3
⇔ x2 – 2√3 x – √3 – 2x2 -2x – √3 =0
⇔ x2 +2x +2√3 x +2√3 =0
⇔ x2 + 2(1 +√3 )x + 2√3 =0
Δ’ = b’2 – ac= (1+ √3 )√ – 1. 2√3 = 1 + 2√3 +√3 -2√3 =4>0
√Δ’ = √4 =2
Vậy với x=1 – √3 hoặc x = – 3 – √3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau
e.Ta có: √3 x2 + 2√5 x – 3√3 = -x2 – 2√3 x +2√5 +1
⇔ √3 x2 + 2√5 x – 3√3 + x2 + 2√3 x – 2√5 – 1= 0
⇔ (√3 +1)x2 + (2√5 + 2√3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0
⇔ (√3 +1)x2 + 2(√5 + √3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0
Δ’ = b’√ – ac= (√3 + √5 )√ – (√3 +√1)( -3√3 – 2√5 – 1)
= 5 + 2√15 +3+9 +2√15 + √3 +3√3 +2√5 + 1
=18 +4√15 +4√3 +2√5
= 1 + 12 + 5 + 2.2√3 + 25 + 2.2√3 .√5
= 1 + (2√3 )√ + (√5 )√ + 2.1.2√3 +2.1.√5 + 2.2√3 .√5
= (1 +2√3 +√5 )√ > 0
a. Khi vận động viên ở độ cao 3m?
b. Khi vận động viên chạm mặt nước?
Lời giải:
Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h =3m
Ta có: 3 =- (x – 1)2 + 4 ⇔ (x – 1)2 – 1=0 ⇔ x2 – 2x = 0
⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x – 2 =0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Vậy x = 0m hoặc x = 2m
Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa là h = 0m
Ta có: 0 = – (x – 1)2 + 4 ⇔ x2 -2x -3 =0
Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 -1.(-3) =1 +3 = 4 > 0
Vì khoảng cách không thể mang giá trị âm nên x=3m
a.16x2 – 8x +1=0 b.6x2 – 10x -1 =0
c. 5x2 +24x +9 =0 d.16x2 – 10x +1 =0
Lời giải:
a) 16x2 – 8x +1=0
Ta có: Δ’ = (-4)2 – 16.1 = 16 -16 =0
Phương trình có nghiệm kép :
c) 5x2 +24x +9 =0
Ta có: Δ’ =122 -5.9 =144 +45 =99 > 0
√Δ’ = √99 =3√11
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Lời giải:
a. Phương trình 2x2 – m2x +18m = 0 có một nghiệm x = -3
b. Phương trình mx2 – x – 5m2 = 0 có một nghiệm x = -2
Lời giải:
a) Thay x=-3 vào phương trình 2x2 – m2x +18m =0 ta được:
2(-3)2 – m2(-3) + 18m =0 ⇔ 3m2 +18m+18 =0
⇔ m2 + 6m +6 = 0
Δ’ = 32 -1.6 = 9 -6 =3 > 0
√Δ’ = √3
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy với m = 3 – 3 hoặc m =- 3- 3 thì phương trình đã cho có nghiệm x= -3
b) Thay x = -2 vào phương trình mx2 – x – 5m2 = 0 ta được:
m(-2)2 – (-2) – 5m2=0 ⇔ 5m2 – 4m -2 =0
Δ’ = (-2)2 -5.(-2) = 4+10 = 14 > 0
√Δ’ = √14
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
a. x2 – 2(m+3)x + m2 + 3 = 0
b.(m+1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0
Lời giải:
a. x2 – 2(m+3)x + m2+3=0 (1)
Ta có: Δ’ = [-(m+3)]2 -1.(m2 +3) = m2 + 6m + 9 – m2 – 3
= 6m +6
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Δ’ > 0 ⇔ 6m + 6 > 0 ⇔ 6m > -6 ⇔ m > -1
Vậy m > -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
b. (m+1)x2+4mx+4m -1 =0 (2)
Ta có: Δ’ = (2m)2 – (m +1)(4m -1) = 4m2 – 4m2 + m – 4m +1
= 1 – 3m
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
*m +1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1
và *Δ’ > 0 ⇔ 1 -3m > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 1/3
Vậy m < 1/3 và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0
b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0
Lời giải:
a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0 (1)
Ta có: Δ’=m2 – 5.(-2m +15) = m2 +10m -75
Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:
Δ’= 0 ⇔ m2 + 10m – 75 = 0
Δ’m = 52 -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0
√(Δ’m) = √100 =10
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép
b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0 (2)
Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m≠ 0 và Δ’=0
Ta có: Δ’=[-2(m-1)]2 – m(-8)=4(m2 -2m +1) +8m
=4m2– 8m +4 +8m = 4m2 +4
Vì 4m2 +4 luôn luôn lớn hơn 0 nên Δ’ không thể bằng 0 .Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép
Lời giải:
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có ∆’ = 0
Chọn B
Lời giải:
Hoặc b ≠0 hoặc c ≠ 0 phương trình có :
Lời giải: