TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ Lời nói đầu Hình học tổ hợp dạng tốn khó chương trình bồi dưỡng HSG Tốn THCS Các phương pháp giải tốn Hình học tổ hợp thường dùng Phản chứng, Nguyên lí Đirichlê, Quy nạp, Nguyên lí cực hạn, Tạo đa giác bao, Tơ màu, Đồ thị… tốn Hình học tổ hợp khơng đòi hỏi nhiều kĩ tính tốn, chúng chủ yếu đòi hỏi chặt chẽ việc xét khả năng, sáng tạo linh hoạt việc vận dụng phương pháp Nhiều toán nội dung khác số, lại yêu cầu cách giải khác nhau; đòi hỏi người giải khơng thể rập khn, máy móc Chỗ khó mạnh Hình học tổ hợp đó, mà tốn thường xuyên xuất kì thi HSG cấp Tỉnh, Quốc Gia, Quốc Tế Với nội dung Tơi xin trình bày số quan điểm giải tốn Hình học tổ hợp chương trình tốn THCS.Dưới hình thức nêu số dạng tập phương pháp giải tốn Hình học tổ hợp Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG MỤC LỤC Lời nói đầu …………………………………………………… ………….… A NỘI DUNG….………………………………………………………….… I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP …………………………………………………………………………….…3 Ngun lí Dirichle ……………………………………………………………… Nguyên lí cực hạn ………………………………………………………….…… II MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP THƯỜNG GẶP ………….…5 1.Đánh giá độ dài, góc, diện tích ………………………………………….….5 Dạng tập tô màu, bảng vuông ………………………………………….6 3.Dạng tạo đa giác bao………………………………………………….…8 4.Phương pháp qui nạp toán học ……………………………………….…… 5.Phương pháp phản chứng ……………………………………………….…10 B BÀI TẬP …………………………………………………………………… 11 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 13 Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG A NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP 1.Nguyên lý Dirichle: a) Dạng đơn giản: Nếu nhốt n+1 thỏ vào n lồng tồn lồng có thỏ b) Tổng qt: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng mà phép chia n cho m thương k dư tồn lồng chứa k+1 thỏ VD: Cho hình vng 2011 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành tứ giác có tỉ số diện tích CMR: 2011 đường thẳng có 503 đường thẳng qua điểm Lời giải: Gọi d đường thẳng chia hình vng thành tứ giác có tỉ số diện tích Đường thẳng d cắt cạnh kề hình vng khơng tạo thành tứ giác Giả sử đường thẳng d cắt AB, AC M, N Khi đường thẳng d cắt đường trung bình EF I 2 Giả sử: S = S => EI = IF Như vậy, đường thẳng cho chia đường trung bình AMND BMNC Chun đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG hình vng theo tỉ số ( điểm I, K, H, G (hình vẽ)) Có 2011 đường thẳng, đường thẳng qua bốn điểm 2011 nên theo Dirichle tồn [ ]+1 = 503 đường thẳng qua điểm ( Đpcm) 2.Nguyên lý cực hạn: “ Trong tập hữu hạn ( khác rỗng) số thực, tồn số nhỏ số lớn nhất” VD: Tồn hay khơng 2011 điểm cho với điểm A, B 2011 điểm tồn điểm C điểm lại mà ∠ ACB < 60 Lời giải: Giả sử tồn 2011 điểm có tính chất đề Gọi A, B điểm có khoảng cách lớn khoảng cách điểm 2011 điểm cho Theo đề tồn điểm C thỏa mãn ∠ ACB< 60 hiển nhiên C không thuộc đường thẳng AB Xét tam giác ABC có AB lớn suy ∠ ACB lớn nhất, mà ∠ C < 60 nên ∠ A<60 , ∠ B< 60 suy ∠ A+ ∠ B+ ∠ C < 180 , vơ lí Vậy khơng tồn 2011 điểm có tính chất đề o o o o o II MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP THƯỜNG GẶP Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG 1.Dạng đánh giá độ dài, góc, diện tích Ví dụ: Lấy 2011 điểm thuộc miền tứ giác để với đỉnh ta 2015 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác ban đầu cm CMR: Tồn tam giác có đỉnh lấy từ 2015 điểm cho có diện tích khơng vượt q 4024 cm (Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm học 2011-2012) 2 Lời giải: Gọi 2011 điểm tứ giác A ( i = 1,2011 ) Bước 1: Nối A với đỉnh tứ giác ta tam giác (hình vẽ) Bước 2: Xét điểm A ( k = 2,2011 ) điểm cho khơng có điểm thẳng hàng nên A nằm trong tam giác (Chẳng hạn A nằm ∆A DC ), ta nối A với đỉnh A , D, C số tam giác tăng lên (từ thành 3) Vậy sau bước số tam giác Sau 2010 lại bước tăng thêm tam giác Tổng cộng có 4+2.2010 = 4024 tam giác, tổng diện tích 4020 tam giác cm nên tồn tam giác có diện tích S ≤ cm (điều phải chứng minh) 4024 Nhận xét: +) Mấu chốt toán đếm số tam giác khơng có điểm chung tao nên từ điểm xét i k k 2 2 Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG +) Trong lời giải ta sử dụng ngun lí cực hạn để có khảng định 4024 tam giác tồn tam giác có diện tích nhỏ (S ≤ 4024 cm ) 1 +) Ta thấy 4024 ≈ 0, 0002485089463 Do thay số 4024 0, 000248509 tạo thêm rắc rối suy luận, tạo Bài tốn hay kì thi giải tốn CASIO +) Nếu thay số 2011 n (n ∈ N ), ta kết S ≤ + 2(n − 1) cm +) Trong đề khơng cần giả thiết 2015 điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có kết +) Nếu thay tứ giác thành đa giác n đỉnh (n >=3) ta có kết sau: Bài toán 1.1 Cho n điểm nằm tam giác ABC có diện tích cm CMR: Từ n điểm với điểm A, B, C tồn tam giác có diện tích khơng lớn + 2(n − 1) cm Bài toán 1.2 (tổng quát) Cho n điểm nằm đa giác lồi m đỉnh có diện tích cm CMR: Từ n điểm với m đỉnh đa giác, ln tồn tam giác có diện tích khơng lớn m + 2(n − 1) cm * 2 2 2.Dạng tập tô màu, bảng vng Ví dụ 1: Cho điểm điểm nối với tạo thành tam giác có cạnh tơ hai màu xanh đỏ CMR: Bao tồn tam giác có cạnh màu Lời giải: Gọi A điểm, đoạn thẳng nối A với điểm lại tơ Chun đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG hai màu xanh đỏ nên tồn cạnh màu Giả sử AB, AC, AD Xét trường hợp: +Trường hợp 1: AB, AC, AD tô màu đỏ Xét ∆BCD Nếu có cạnh tơ màu đỏ (giả sử BC) ∆ABC màu đỏ (hình 1) Nếu khơng có cạnh ∆BCD tơ màu đỏ ∆BCD có cạnh màu xanh (hình 2) +Trường hợp 2: AB, AC, AD tô màu xanh Chứng minh tương tự Vậy ln tồn tam giác có cạnh màu Ví dụ : Cho bảng vng × gồm 16 vng cạnh đơn vị Chứng minh rằng: Khơng thể dùng hình chữ I ( gồm vng) hình T ( gồm vng) để xếp kín bảng vuông Lời giải: Ta tô màu ô vng bàn cờ vua ( hình vẽ) Ta thấy: hình chữ I lấp đen, trắng hình chữ T lấp đen, ô trắng ô trắng, ô đen ( lấp số lẻ đen) nên hình chữ T lấp số lẻ đen, hình chữ I lấp đen.Do hình lấp kín số lẻ đen Mà bảng có ( số chẵn) đen Chun đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG Vậy khơng thể xếp kín bảng hình chữ I ( gồm vng) hình T ( gồm vng) ( đpcm) 3.Dạng tạo đa giác bao Ví dụ: Cho đa giác lồi có diện tích cm CMR: Tồn hình bình hành có diện tích khơng vượt cm chứa toàn đa giác 2 Lời giải: Gọi C đỉnh cách xa AB (hình vẽ) +Trường hợp 1: Nếu AC đường chéo đa giác lồi Qua C kẻ a // b ( A, B ∈ b ) Gọi D,E đỉnh cách xa AC nhất, qua D kẻ đường thẳng d // AC, qua E kẻ đường thẳng c // AC Qọi MNPQ hình bình hành tạo a ,b,c,d suy đỉnh đa giác nằm biên hình bình hành MNPQ Ta chứng minh S ≤ 2cm , thật vậy: S +S ≤S Ta có: ⇔ S ≤S =1 ⇔ S ≤ 2(cm ) +Trường hợp 2: Nếu AC cạnh đa giác lồi Gọi E đỉnh cách xa AC ( Chứng minh tương tự) Suy ta có điều phải chưng minh MNPQ ACD MNPQ ACE đa giác đa giác MNPQ 4.Phương pháp qui nạp tốn học: Chun đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG Để chứng minh mệnh đề An với n thuộc N*: -B1: mệnh đề với n=1 tưc A1 -B2: giả sử mệnh đề với n=k ( k thuộc N*) Ak -B3: chứng minh Ak+1 ( mệnh đề với n=k+1) Kết luận An với n thuộc N* VD: CMR: số đường chéo đa giác lồi n cạnh (n ≥ 4) S n(n − 3) = n Lời giải: n(n − 3) Ta chứng minh Sn = (1) với n ≥ +) Ta thấy (1) với n=4 S =2, tứ giác có đường chéo +) Giả sử khẳng định (1) với n=k (k ≥ 4) tức đa giác lồi k k (k − 3) cạnh có đường chéo.+) Ta chứng minh đa giác lồi k+1 (k + 1)(k − 2) cạnh có đường chéo, thêm đỉnh thứ k+1 (hình vẽ) có thêm k-2 đường chéo nối từ A đến A , A ,…, A , cạnh A A trở thành đường chéo Do đó, S k (k − 3) (k + 1)(k − 2) = S +(k-2)+1= +k-1= Vậy khẳng định (1) với n thuộc N*, n ≥ k +2 k −1 k +1 k k 5.Phương pháp phản chứng: VD: Cho tập hợp M gồm 2011 điểm mặt phẳng không thuộc đường thẳng Kẻ đường thẳng qua cặp điểm Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG 2011 điểm CMR: tồn đường thẳng qua điểm tập M Lời giải: Xét tất khoảng cách khác từ điểm tập M đến tất đường thẳng kẻ, chọn khoảng cách nhỏ ( theo đề tồn khoảng cách khác 0, 2011 điểm khơng thuộc đường thẳng, tồn khoảng cách nhỏ số khoảng cách hữu hạn) Giả sử khoảng cách nhỏ khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ( hình vẽ) Ta chứng minh đường thẳng d chứa điểm tập M Dùng phản chứng: giả sử đường thẳng d chứa thêm điểm thứ tập M Gọi điểm tập M mà d qua B, C, D Kẻ AH vng gócd tồn tia gốc H chứa điểm, chẳng hạn C D Khơng tính tổng qt, giả sử HC < HD, gọi CK khoảng cách từ C đến AD Dễ thấy CK< AH ( thật vậy, vẽ CE vg góc d CK Xem thêm: chuyên đề một số DẠNG TOÁN HÌNH học tổ hợp TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG học cơ sở bài 1 |
