Show
Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \rig...
Câu hỏi: Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}\) đi qua gốc tọa độ O?A \(0\) B \(1\) C \(2\) D \(3\) Đáp án
D
- Hướng dẫn giải Phương pháp giải: - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\): Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) - Tiếp tuyến đi qua điểm \(O\) nếu tọa độ của \(O\) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến. - Số nghiệm \({x_0}\) của phương trình chính là số điểm \(M\) cần tìm. Giải chi tiết: Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}}\) Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) \(y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\) Thay \(\left( {0;0} \right)\)vào phương trình trên ta được: \(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\end{array} \right.\end{array}\) Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm Đề thi thử THPT QG môn Toán trường THPT Đống Đa - Hà Nội - lần 1 - năm 2018 (có lời giải chi tiết)Lớp 12 Toán học Lớp 12 - Toán học
Phương pháp giải: - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\): Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) - Tiếp tuyến đi qua điểm \(O\) nếu tọa độ của \(O\) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến. - Số nghiệm \({x_0}\) của phương trình chính là số điểm \(M\) cần tìm. Lời giải chi tiết: Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}}\) Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) \(y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\) Thay \(\left( {0;0} \right)\) vào phương trình trên ta được: \(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\end{array} \right.\end{array}\) Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\): Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) - Tiếp tuyến đi qua điểm \(O\) nếu tọa độ của \(O\) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến. - Số nghiệm \({x_0}\) của phương trình chính là số điểm \(M\) cần tìm.
Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị ( C ):y = (x^4) - 2(x^2) đi qua gốc tọa độ O?Câu 1052 Vận dụng Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}$ đi qua gốc tọa độ $O$? Đáp án đúng: d Phương pháp giải - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M$ bất kỳ thuộc $\left( C \right)$: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ - Tiếp tuyến đi qua điểm $O$ nếu tọa độ của $O$ thỏa mãn phương trình tiếp tuyến. - Số nghiệm ${x_0}$ của phương trình chính là số điểm $M$ cần tìm. Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong --- Xem chi tiết ...
Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị \( \left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2} \) đi qua gốc tọa độ O?
A. B. C. D. |
