Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1 PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y f x xác định trên miền D R . a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu 0 0 , , f x M x D x D f x M b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu 0 0 m, , f x x D x D f x m 2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn : 2 2 1 sin 1 0 sin 1 1 cos 1 0 cos 1 x x x x b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay. MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số 3 sin y x Lời giải Tập xác định D . Ta có: 1 sin 1 x x 1 sin 1 x x 3 1 3 sin 3 1 x x 4 2 y x Ta có: 4 y khi sin 1 x và 2 y khi sin 1 x Vậy min 2 y và max 4 y . Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số 3cos 2 5 y x TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2 Lời giải Tập xác định D . Ta có: 1 cos 2 1 3 3cos 2 3 3 5 3cos 2 5 3 5 8 2 x x x y Vậy tập giá trị của hàm số 3cos 2 5 y x là 8; 2 T Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x trên khoảng Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 sin 2cos 1 sin 2 1 sin 1 3 sin y x x x x x Với x thì 2 2 0 sin 1 0 sin 1 x x 2 3 3 sin 3 1 2 x Vậy tập giá trị của hàm số 2 2 sin 2cos 1 y x x trên là 2 ; 3 T Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 cos 1 y x Lời giải ĐKXĐ: co s x - 1 x k 2 . TXĐ: / 2 D k Ta có: 1 1 : 1 cos 1 0 1 cos 2 1 cos 2 x D x x x Ta có: 1 2 y khi c os x 1 . Vậy, 1 mi n 2 y . Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2sin 1 3 P x Lời giải Ta có: sin 1 2sin 2 2sin 1 1 3 3 3 x x x Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin 1 3 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos8 2016 2017 y x A. min 1; maxy 4033 y B. min 1; maxy 4033 y C. min 1; maxy 4022 y D. min 1; max 4022 y y Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên Ta có 10 1 cos8 1, 2017 x x 10 2017 2016 2017 cos8 2016 2017 2016, 2017 x x . 10 1 2017 cos8 2016 4033, 2017 x x Ta có 1 y khi 10 cos8 1 2017 x ; 4033 y khi 10 cos8 1 2017 x . Vậy min 1; maxy 4033 y . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 4 cos y x là: A. 0 và 4. B. 4 và 4. C. 0 và 1. D. 1 và 1. Lời giải Chọn B Tập xác định: 0 ; D . Ta có: 1 cos 1, 0 ; x x 4 4co 4 ; s , 0 x x Ta có 4 y khi cos 1 x và 4 y khi cos 1 x . Vậy min 4 ; max 4 y y Câu 3. Cho hàm số sin . 4 y x Giá trị lớn nhất của hàm số là: A. 1 . B. 0 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có: 1 sin 1 4 x . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số sin 4 y x là 1. Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 cos 2 y x là: A. 0 và 2 1 . B. 1 và 2 1 . C. 2 và 1 D. 1 và 1 Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4 Chọn C Ta có 2 2 1 cos 2 sin 2 sin 2 y x x x Mặt khác 0 sin 1 2 sin 2 1 x x 2 1 y Ta có: 2 y khi sin 0 x và 1 y khi sin 1 x Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1 . Câu 5. Cho hàm số 2sin 2 3 y x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4 , y x B. 4 , y x C. 0 , y x D. 2 , y x Lời giải Chọn C Ta có 1 sin 1, 3 x x 2 2sin 2 , 3 x x 4 2sin 2 0 , 3 x x Ta có: 4 y khi sin 1 3 x và 0 y khi sin 0 3 x Suy ra chọn đáp án C. MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2017 cos 8 2016 2017 y x . Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên . Ta có : 10 1 cos 8 1 2017 x , x 10 2017 2017 cos 8 2017 2017 x , x 10 1 2017 cos 8 2016 4033 2017 x , x Ta có 1 y khi 10 cos 8 1 2017 x ; 4033 y khi 10 cos 8 1 2017 x . Vậy min 1; maxy 4033 y . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2cos sin 2 5 y x x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5 Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x cos 2 sin 2 6 x x 2 cos 2 6 4 x . Do 2 2 cos 2 2 4 x nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x là 6 2 . Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos y x x . Tính P M m . Lời giải Ta có in cos 2 si 4 s n x x x y . Mà 2 1 sin 1 2 sin 2 2 2 4 4 2 2 M x x P m . Vậy 2 2 P . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1 cos 2 x y x . Lời giải Cách 1 : cos 2 0 x , x . Vậy sin 1 sin 1 cos 2 cos 2 x y x y x x sin cos 1 2 0 x y x y . Ta có 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 1 4 4 1 3 4 0 0 3 y y y y y y y y . Vậy min 0 y min. Cách 2 : Ta có sin 1 0 0 min 0 sin 1 cos 2 0 x y y x x . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x . Lời giải Cách 1: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x 2 2cos 1 3 sin 2 2 x x cos 2 3 sin 2 2 x x 1 3 2 cos 2 sin 2 2 2 2 x x 2cos 2 2 3 x . Mặt khác 0 2cos 2 2 4 3 x , x 0 4 y , x . Cách 2: 2 2 cos 2 3 sin cos 1 y x x x 2 2cos 1 3 sin 2 2 x x cos 2 3 sin 2 2 x x * Ta có 1 3 2 1 3 2 y 0 4 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 sin 2cos y x x . A. 2 M , 0 m . B. 2 M , 1 m . C. 3 M , 1 m . D. 3 M , 0. m Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2 2 sin 2cos sin cos cos 1 cos y x x x x x x . Do 2 2 1 cosx 1 0 cos x 1 1 cos x 2 . Suy ra 2 1 M m . Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8sin 3cos2 y x x . Tính Tính 2 2 P M m . A. 1 P . B. 2 P . C. 112 . D. 130 P . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin 3 y x x x x x . Mà 1 sinx 1 2 2 0 sin 1 3 2sin 3 5 x x 3 5 y . Suy ra: 5 3 M m . Do đó: 2 2 1 P M m . Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin 4cos 1 y x x . A. max 8 y , min 6 y . B. max 4 y , min 6 y . C. max 6 y , min 8 y . D. max 6 y , min 4 y . Lời giải Chọn B Ta có 3sin 4cos 1 3sin 4cos 1 y x x x x y * Ta coi * như là phương trình cổ điển với 3 a , 4 b , 1 c y . Phương trình * có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 9 16 1 6 4 a b c y y . Vậy max 4 y , min 6 y . Chú ý: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau: 2 2 2 2 1 3sin 4cos 3 4 sin cos 5 y x x x x . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 sin sin 2 y x x . A. 7 min ;max 4 4 y y . B. 7 min ;max 2 4 y y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 7 C. min 1; max 1 y y . D. 1 min ;max 2 2 y y . Lời giải Chọn A Đặt sin x u ; 1;1 u . Xét hàm số: 2 2 y u u trên 1 ;1 . Ta có: 1 1;1 2 2 b a . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận: 1;1 7 min 4 f u và 1;1 max 4 1 y u . Hay 7 1 min sin 4 2 y x và max 4 sin 1 y x . Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x A. 2 min 3 y ; max 2 y B. 2 min 3 y ; max 2 y . B. 1 min 2 y ; 3 max 2 y . D. 1 min 2 y ; 3 max 2 y . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 3 2 0 x y x y . Ta có: 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin x 2cos x 3 2 2 cos x thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2 . Lúc này chỉ còn A và B. Thử với 2 min y 3 thì không có nghiệm. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 8 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3cos 2 3 y x Lời giải Vì 1 cos 1 3 x nên 3 3cos 3 3 2 3 2 1 5 2 x y y . Vậy tập gái trị của hàm số là 1;5 . Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3 2sin 2 y x . Lời giải Ta có: 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 3 2sin 2 5 1 3 2sin 2 5 x x x x . Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5 . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 4sin cos 1 y x x . Lời giải Ta có 2sin 2 1 y x . Do 1 sin 2 1 2 2sin 2 2 1 2sin 2 1 3 x x x 1 3 y . * 1 sin 2 1 2 2 2 4 y x x k x k . * 3 sin 2 1 4 y x x k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, đạt được khi 4 x k . giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi 4 x k . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 2 4 3sin 2 y x . Lời giải Ta có: 2 2 0 sin 1 1 4 3sin 4 x x . * 2 1 sin 1 cos 0 2 y x x x k . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 9 * 2 4 sin 0 y x x k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi x k . giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi 2 x k . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2sin 3 y x . Lời giải Ta có 1 2sin 3 5 1 5 x y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max 5 y , đạt được khi sin 1 2 2 x x k . Giá trị nhỏ nhất bằng min 1 y , đạt được khi 1 2 2 x x k . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau 1 3sin 2 4 y x . A. 2;4 . B. 2;2 . C. 1;4 . D. 2;3 . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 3 3sin 2 3 2 1 3sin 2 4 4 4 4 x x x . 2 4 y . Vậy tập giá trị của hàm số là 2;4 . Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2cos 3 3 3 y x A. min 2 y , max 5 y . B. min 1 y , max 4 y . C. min 1 y , max 5 y . D. min 1 y , max 3 y . Lời giải Chọn C Ta có: 1 cos 3 1 2 2cos 3 2 1 2cos 3 3 5 1 5 3 3 3 x x x y . min 1 y đạt được khi 4 2 9 3 x k . max 5 y đạt được khi 2 9 3 x k . Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 1 2cos 1 y x A. max 1 y , min 1 3 y . B. max 3 y , min 1 3 y . C. max 2 y , min 1 3 y . D. max 0 y , min 1 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 Lời giải Chọn D Ta có 2 1 2cos 1 3 1 3 0 x y . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max 0 y , đạt được khi 2 x k . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min 1 3 y , đạt được khi x k . Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2 4 y x . A. min 2 y , max 4 y . B. min 2 y , max 4 y . C. min 2 y , max 3 y . D. min 1 y , max 4 y . Lời giải Chọn A Ta có: 1 sin 2 1 2 4 4 x y 2 sin 2 1 4 8 y x x k min 2 y 3 4 sin 2 1 4 8 y x x k max 4 y Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 3 2cos 3 y x A. min 1 y , max 2 y . B. min 1 y , max 3 y . C. min 2 y , max 3 y . D. min 1 y , max 3 y . Lời giải Chọn C Ta có: 2 0 cos 3 1 1 3 x y . 2 1 cos 3 1 3 k y x x min 1 y . 2 3 cos 3 0 6 3 k y x x max 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11 MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 3sin 4 12 y x Lời giải Ta có 2 2 2 sin 1 3sin 3 3sin 4 7 12 12 12 x x x . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2sin sin 2 10 f x x x . Lời giải Ta có 2 2sin sin 2 10 f x x x 11 sin 2 cos 2 x x 11 2 sin 2 4 x . Do 1 sin 2 1 4 x 2 2 sin 2 2 4 x nên 11 2 sin 2 11 2 4 x . Dấu " '' xảy ra khi 3 sin 2 1 4 8 x x k , k . Vậy max 11 2 f x . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x . Lời giải Ta có 2 2cos sin 2 5 y x x cos 2 sin 2 6 x x 2 cos 2 6 4 x . Do 2 2 cos 2 2 4 x nên 2 6 2 cos 2 6 2 6 4 x . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2cos sin 2 5 y x x là 6 2 . Bài 4. Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 sin cos y x x . Tính M m . Lời giải Ta có: 2 2 2 3 1 2 3 sin cos 2 3 1 x x . Vậy 0 M m . Bài 5. Cho hàm số 12 7 4sin y x có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn 5 ; 6 6 . Tìm , M m . Lời giải Ta có: 5 6 6 x 1 sin 1 2 x 1 1 sin 2 x 4 4sin 2 x 3 7 4sin 9 x 4 12 4 3 7 4sin x . Hay 4 4 3 y . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 12 Vậy 4 M , 4 3 m . Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin y x trên đoạn 5 ; 6 6 . Lời giải 2cos 0 2 y x x k , k . Với 5 ; 6 6 x suy ra: 2 x . 1 6 y , 2 2 y , 5 1 6 y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số 3sin cos 2 y x x . A. 2; 3 . B. 3 3; 3 1 . C. 4;0 . D. 2;0 . Lời giải Chọn C Xét 3sin cos 2 y x x 2 sin .cos cos .sin 2 6 6 x x 2sin 2 6 x . Ta có 1 sin 1 6 x 4 2sin 2 0 6 x 4 0 y với mọi x . Vậy tập giá trị của hàm số là 4;0 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x là A. 1 2 m ; 1 M . B. 1 m ; 2 M . C. 2 m ; 1 M . D. 1 m ; 2 M . Lời giải Chọn C Ta có sin 2cos 1 1 sin 2 cos 1 2 sin cos 2 x x y y x y x y x x * . Phương trình * có nghiệm 2 2 2 2 1 2 1 2 2 0 2 1 y y y y y y . Vậy 2 m ; 1 M . Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 12 7 4sin y x trên đoạn 5 ; 6 6 là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13 A. 12 5 M ; 4 3 m . B. 4 M ; 4 3 m . C. 12 5 M ; 12 7 m . D. 4 M ; 12 11 m . Lời giải Chọn B Do 5 1 12 ; sin ;1 0 6 6 2 7 4sin x x y x ; 12 7 12 1 4 7 4 sin 12 sin ;1 ;4 7 4sin 4 2 3 y y y y x x y x y . Do đó 1 ;1 2 max 1 4 M f t f và 1 ;1 2 1 4 min 2 3 m f t f . Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin y x trên đoạn ; 2 3 lần lượt là A. 1 2 ; 3 2 . B. 3 2 ; 1 . C. 3 2 ; 2 . D. 2 2 ; 3 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 x sin sin sin 2 3 x 3 1 sin 2 x . Vậy ; 2 3 3 max sin 3 2 y ; ; 2 3 min sin 1 2 y . Câu 5. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cos 1 cos 2 x y x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 9 0 M m . B. 9 0 M m . C. 9 0 M m . D. 0 M m . Lời giải Chọn C Ta có 2cos 1 5 2 cos 2 cos 2 x y x x . Mà 1 cos 1 x 3 cos 2 1 x 5 5 5 3 cos 2 x 1 5 2 3 3 cos 2 x 1 3 3 y . Vậy 1 3 M và 1 cos 1 x 9 0 M m . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14 MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10 2020cos 8 2021 2019 y x . Lời giải Ta có 10 1 cos 8 1, 2019 x x . Nên 10 2020 2020cos 8 2020 2019 x 10 1 2020cos 8 2021 4041 2019 x . Vậy min 1 y đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x , max 4041 y đạt được khi 10 cos 8 1 2019 x . Bài 2. Tìm GTNN của hàm số 2 cos 2 cos y x x . Lời giải Ta có cos 1 x , dấu “ ” xảy ra khi cos 1 x . (1) Mặt khác 2 2 2 0 cos 1 1 cos 0 1 2 cos 2 x x x . 2 2 cos 1 x , dấu “ ” xảy ra khi cos 1 x . (2) Từ (1) và (2) ta có 2 cos 2 cos 0 x x . Suy ra min 0 y , đạt được khi cos 1 2 x x k k . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: cos 2 3 sin 2 2 y x x . Lời giải Ta có 1 3 cos 2 3 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 y x x x x 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 2 2 3 3 3 x x x . Mặt khác 1 cos 2 1 2 2cos 2 2 0 2cos 2 2 4 3 3 3 x x x . Vậy min 0 y đạt được khi cos 2 1 3 x , max 4 y đạt được khi cos 2 1 3 x . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 cos 2 3 sin .cos 1 y x x x trên đoạn 7 0; 12 . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15 Lời giải Ta có cos 2 3 sin 2 2 2cos 2 2 3 y x x x . Đặt 2 3 t x . Theo giả thiết 7 3 0; ; 12 3 2 x t . Ta lập BBT của hàm số 2cos 2 f t t trên 3 ; 3 2 . Từ bảng biến thiên ta có 7 3 0; ; 12 3 2 min min 0 y f t , đạt được khi 3 t x 7 3 0; ; 12 3 2 max max 3 y f t , đạt được khi 0 3 t x Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 cos cos 2 y x x . Lời giải Đặt cos x t ; 1;1 t Xét hàm số bậc hai: 2 2 f t t t trên 1;1 . Ta có: 1 1;1 2 2 b a . Từ đây có bảng biến thiên Ta kết luận: 1;1 7 min min 4 y f t , đạt được khi 1 cos 2 x ; 1;1 max max 4 y f t , đạt được khi cos 1 x . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 2sin cos 2 y x x . A. max 4 y , 3 min 4 y . B. max 3 y , min 2 y . C. max 4 y , min 2 y . D. max 3 y , 3 min 4 y . Lời giải Chọn D Đặt 2 sin , 0 1 cos 2 1 2 t x t x t . 2 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 2 2 4 y t t t t t . Cách 1: Do 2 1 1 3 1 9 0 1 2 0 2 2 2 2 2 4 t t t 3 3 4 y . Cách 2: Có ' 8 2 y t 1 0 0;1 4 y t . Ta có: 0 1 y ; 1 3 4 4 y ; 1 3 y . Vậy max 3 y đạt được khi 2 x k . 3 min 4 y đạt được khi 2 1 1 cos 2 1 sin 4 2 4 x x . 1 cos 2 2 2 2 3 6 x x k x k . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 tan cot 3 tan cot 1 y x x x x . A. min 2 y . B. min 4 y . C. min 5 y . D. min 1 y . Lời giải Chọn C Ta có: 2 tan cot 3 tan cot 3 y x x x x . Đặt 2 tan cot 2 sin 2 t x x t x . Suy ra 2 3 3 y t t f t . Bảng biến thiên Vậy min 5 y đạt được khi 4 x k . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17 Câu 3. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 sin 2 sin y x x là M , m . Tính M m . A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có 1 sin 0 , y x x và 2 2 2 2sin 2 sin y x x . Mà 2 2 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 x x x x . Suy ra 2 0 4 0 2 y y . Vậy min 0 y đạt được khi 2 2 x k . max 2 y đạt được khi 2 2 x k . Vậy 2, 0 M m hay 2 M m . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin 2cos 3 2 cos x x y x . A. 2 min ; max 2 3 y y . B. 2 min ; max 2 3 y y . C. 1 3 min ; max 2 2 y y . D. 1 3 min ; max 2 2 y y . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 2 3 x y x y Ta có 2 2 2 2 2 2 2 3 sin 2 cos 1 2 sin cos 5 4 y x y x y x x y y 2 2 4 12 9 4 5 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y Cách 2: (dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos). Ta có cos 2 0 x , x . sin 2cos 3 2 cos x x y x sin 2cos 3 2 cos x x y y x sin 2 cos 3 2 0 x y x y Ta có 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin 2cos 3 2 2 cos x x x thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max 2 . Lúc này chỉ còn A và B Thử với 2 min 3 y thì không có nghiệm. Từ đây chọn B. Câu 5. Cho hàm số 4 4 sin cos 2 sin .cos h x x x m x x . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là A. 1 1 2 2 m . B. 1 0 2 m . C. 1 0 2 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn A Xét hàm số 2 2 2 2 sin cos sin 2 g x x x m x 2 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin 2 x x x x m x 2 1 1 sin 2 sin 2 2 x m x . Đặt sin 2 t x 1;1 t . Hàm số h x xác định với mọi x 0, g x x 2 1 1 0, 1;1 2 t mt t 2 2 2 0, 1;1 t mt t . Đặt 2 2 2 f t t mt trên 1;1 . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy 1;1 max 1 f t f hoặc 1;1 max 1 f t f . Ycbt 2 2 2 0 f t t mt , 1;1 t 1;1 max 0 f t 1 0 1 0 f f 1 2 0 1 2 0 m m 1 1 2 2 m . NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19 MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos cos sin y x x x x . Lời giải Điều kiện xác định: sin 0 cos 0 x x . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sin cos x x và cos sin x x ta có : sin cos cos sin 2 sin cos sin cos x x x x x x x x 1 1 2 sin 2 sin 2 0 2 2 y x x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 0 2 , , 2 k x x k k x k . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sinx 2cos 3 2 cos x y x . Lời giải Ta có: cos 2 0, x x R . Khi đó: sinx 2cos 3 2 cos x y x s inx 2 cos 3 2 cos x y y x sinx 2 cos 3 2 0 * y x y Phương trình * có nghiệm 2 2 2 1 2 3 2 y y 2 2 4 12 9 4 4 1 0 y y y y 2 3 8 4 0 y y 2 2 3 y . Vậy 2 min ;max 2 3 y y . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2 cot cot 2 tan .tan 2 P a b a b . Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2cot .cot 2 tan .tan 2 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cotb.tan .tan 6 cot cot 2 cot .cot tan .tan 6 6 P a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b Vậy min 6 y , đạt được khi 2 2 2 2 cot 1 cot cot cot .cot tan .tan cot 1 a a b a b a b b ,( ) 4 2 k a b k . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 1 1 1 os 5 2sin 2 2 y c x x . Lời giải NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 1 1 os 5 2sin 1 os sin 2 2 2 4 2 y c x x y c x x Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 2 1 1 os 2 c x ; 2 5 1 sin 4 2 x ta có: 2 2 2 2 2 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 os 1. sin 1 1 . 1 os sin 2. 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 c x x c x x . Vậy 22 min 2 y , xảy ra khi 2 2 1 5 1 1 os sin , 2 4 2 6 c x x x k k . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 sin cos sin cos y x x x x . Lời giải Ta có 4 4 sin cos sin cos y x x x x 2 2 1 2sin cos sin cos y x x x x 2 1 1 1 sin 2 sin 2 2 2 y x x 2 2 1 1 1 9 1 1 9 1 sin 2 sin 2 2 2 4 8 2 2 8 y x y x . Vậy 9 max 8 y , đạt được khi 1 sin 2 2 x . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho , , 0 x y z và 2 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan y x y y z z x A. max 1 2 2 y . B. max 3 3 y . C. max 4 y . D. max 2 3 y . Lời giải Chọn D Ta có tan tan 2 2 2 x y z x y z x y z tan tan 1 1 tan .tan tan x y x y z tan .tan tan .tan 1 tan .tan x z y z x y tan .tan tan .tan tan .tan 1 x z y z x y Ta thấy tan .tan ; tan .tan ; tan .tan x z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan 1. 1 tan .tan x y y z z x 2 2 2 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .ta 1 1 1 . n x z y z x y tan .tan tan .tan tan .ta 2 n 3 3 3 x z y z x y . Vậy max 2 3 y . Câu 2: Hàm số 2 2 3 1 tan 3cot 2 tan x y x x đạt giá trị nhỏ nhất là A. 1 . B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có 2 1 tan cot 2 2 tan x x x . Từ đó suy ra 2 2 2 2 3 1 tan 3cot 2 3cot 2 2 3 cot 2 2 tan x y x x x x NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 21 2 3 cot 2 1 1 1, x x . Vậy 1 min 1 cot 2 3 y x . Câu 3: Hàm số 2cos sin 4 y x x đạt giá trị lớn nhất là A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 1 2cos sin 2cos 2 sin 4 4 2 y x x x x 1 2cos sin cos 2 x x x 1 1 2 cos sin 2 2 x x . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 2 2 2 2 1 1 2 5 2 2 2 2 y y . Do đó 5 2 2 5 2 2 y . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2 . Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số sin 1 cos 2 m x y x nhỏ hơn 2 . A. 3. B. 5. C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có: sin 1 cos 2 sin 1 sin cos 2 1 cos 2 m x y y x y m x m x y x y x * * có nghiệm khi 2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 0 m y y y y m 2 2 2 1 3 2 1 3 3 3 m m y 2 2 2 max 2 1 3 2 1 3 4 5 3 m y m m . Do m 2; 1;0;2;1 m . Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt. Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2020 được cho bởi một hàm số 4sin 60 10 178 y t , với t Z và 0 366 t . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải Chọn A Vì sin 60 1 4sin 60 10 14 178 178 t y t . Khi đó, ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất là NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 22 14 sin 60 1 60 2 149 356 178 178 2 y t t k t k . Mà 149 217 0 366 0 149 356 366 356 356 t k k . Vì k nên 0 k . Với 0 149 k t tức rơi vào ngày 28 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2020 là năm nhuận nên tháng 2 có 29 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 366 t thì ta biết năm này tháng 2 có 29 ngày). NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 23 |
