Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lý thuyết

38.243 lượt xem

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Dạng làm chung làm riêng

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1: Lập hệ phương trình:

+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Nhận xét: Đối với bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung - làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1:

+ Năng suất công việc = 1/ thời gian

+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng

2. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.

Hướng dẫn giải

Gọi a, b lần lượt là số phần công việc mà đội I và đội II làm được trong 1h

Vì 2 đội cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 24h nên trong 1h cả 2 đội làm được

Vì khi đó cả 2 đội làm được

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

Vậy đội I làm trong 40h thì xong công việc, đội II làm trong 60h thì xong công việc.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày)

Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0)

Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là:

Một ngày người thứ hai làm được số công việc là:

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:

Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là:

Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày

Ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày.

Ví dụ 3: Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm công việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu lâu?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ) (x > 6)

Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ) (y > 6)

Mỗi giờ tổ một làm được (công việc)

Mỗi giờ tổ hai làm được (công việc)

Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:

Thực tế để hoàn thành công việc này thò tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong 10 + 2 = 12 giờ

Khi đó ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Kết luận: Nếu làm riêng công việc thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.

Ví dụ 4: Trong thời gian nghỉ vì dịch COVID - 19, lớp 9A chia làm hai đội thi làm đề ôn tập. Tháng thứ nhất tổng số đề ôn tập hai đội làm được là 1230 đề. Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 25% và đội II vượt mức 20% so với tháng đầu. Do đó, tháng thứ hai cả hai đội làm được 1560 đề ôn tập. Hỏi mỗi đội làm được bao nhiêu đề ôn tập trong tháng nghỉ COVID - 19 tháng thứ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi số đề cương đội I làm được trong tháng thứ nhất là x (đề cương) (điều kiện x > 0)

Gọi số đề cương đội II làm được trong tháng thứ nhất là y (đề cương) (điều kiện y > 0)

Vì trong tháng thứ nhất 2 đội làm được 1230 đề cương

Suy ra ta có phương trình: x + y = 1230 (*)

Sang tháng thứ hai đội 1 vượt mức 25% so với tháng đầu.

Khi đó trong tháng thứ hai đội 1 vượt mức: x.25% = 0,25x (đề cương)

Sang tháng thứ hai đội 2 vượt mức 20% so với tháng đầu.

Khi đó trong tháng thứ hai đội 2 vượt mức: y.20% = 0,2y (đề cương)

Do trong tháng thứ hai 2 đội làm được 1506 đề cương

Tháng thứ hai 2 đội vượt mức 1506 - 1230 = 276 (đề cương)

Suy ra ta có phương trình: 0,25x + 0,2y = 276 (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

Vậy tháng thứ nhất đội 1 làm được 600 đề cương, đội 2 làm được 630 đề cương.

Ví dụ 5: Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày. Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian làm việc một mình của người thứ nhất là x (ngày); (x > 0).

Suy ra năng suất làm việc trong một ngày của người thứ nhất là: (công việc).

Năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 bằng năng suất của người thứ nhất.

Suy ra năng suất trong 1 ngày của người thứ 2 là:

Do hai người cùng làm chung công việc trong 15 ngày thì xong công việc. Ta có phương trình:

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 20 ngày, người thứ hai làm một mình xong công việc trong

3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Bài 1: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài 2: Hai người thợ cùng làm xong một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm việc riêng thì mỗi người hoàn thành xong việc trong bao lâu?

Bài 3: Hai tổ công nhân cùng làm chung trong 12 giờ hoàn thành công việc đã định. Nếu họ làm chung trong 4 giờ thì tổ thứ nhất điều đi làm việc khác. Tổ hai vẫn làm tiếp công việc còn lại trong 10 giờ thì xong. Hỏi tổ thứ hai làm một mình một mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc?

Bài 4: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc đã định trong 12 ngày thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 bị điều đi làm việc khác. Đội 2 vẫn tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng gấp đôi. Vì vậy đội 2 đã hoàn thành trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình trong bao lâu thì xong công việc với năng suất bình thường.

Bài 5: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.

Bài 6: Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?

Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trong dịp tết trồng cây vừa qua số cây của tổ 1 trồng nhiều hơn số cây của tổ 2 là 5 cây. Tìm số cây mỗi tổ đã trồng biết rằng tổng số cây của tổ 1 và 2 lần số cây của tổ 2 là 71 cây.

Bài 8: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Bài 9: Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 2/3 bể. Hỏi mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể? Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy một mình thì chảy nhanh hơn vòi 2 chảy một mình là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 dạng làm chung làm riêng giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc cách giải hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...

Tài liệu liên quan:

• Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
• Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số
• Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
• Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
• Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
• Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
• Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
• Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
• Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
• Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
• Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
• Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
• Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb.
  
  c. CA là tia phân giác của góc SCB.
• Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Cập nhật: 07/06/2022