Hướng dẫn giải bài khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên đồ thị hàm số bậc 3 là một trong những phần kiến thức cơ bản của toán học giải tích. Bài viết sau đây, VOH Giáo dục sẽ hướng dẫn chi tiết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 có ví dụ minh họa tham khảo từ đề thi đại học các năm trước được giải đầy đủ, dễ hiểu.

1. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3

2. Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc 3

Để vẽ đồ thị hàm bậc 3 các bạn thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
• Bước 2: Xác định điểm đối xứng (nếu có)
• Bước 3: Xác định tính tuần hoàn của hàm số (nếu có)
• Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên đã lập và những yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị hàm số bậc 3. Hình dạng của đồ thị hàm số sẽ dựa vào bảng biến thiên.

3. Một số tính chất hàm số bậc 3

4. Một số ví dụ minh họa về cách khảo sát đồ thị hàm số bậc 3

Một số điểm thuộc đồ thị

x

-1

0

1

2

3

y

-8

0

2

4

12

Trên đây là cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 mà chúng tôi muốn chia sẻ với các bạn. Thông qua những ví dụ minh họa cụ thể hy vọng có thể giúp các bạn hiểu hơn về phần kiến thức này. Đồng thời áp dụng giải toán một cách hiệu quả nhất.

Trong chương trình toán Đại số, Hàm số là một phần không thể thiếu. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề hàm số bậc 2. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức khá nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Cùng nhau tìm hiểu nhé:

I. Hàm số bậc 2 - Lý thuyết cơ bản.

Cho hàm số bậc 2:

- Tập xác định D=R - Tính biến thiên:

a>0: hàm số nghịch biến trong khoảng

Bảng biến thiên khi a>0:

a<0: hàm số đồng biến trong khoảng

Đồ thị: - Là một đường parabol (P) có đỉnh là:

biết rằng:

- Trục đối xứng x=-b/2a. - Parabol có bề lõm quay lên trên nếu a>0 và ngược lại, bề lõm quay xuống dưới khi a<0

Dạng bài tập liên quan khảo sát hàm số bậc 2.

Ví dụ 1: Hãy khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho phía dưới:

1. y=3x2-4x+1
2. y=-x2+4x-4

Hướng dẫn:

1. y=3x2-4x+1

- Tập xác định: D=R

- Tính biến thiên:

• Vì 3>0 nên hàm số đồng biến trên (⅔;+∞) và nghịch biến trên (-∞;⅔).
• Vẽ bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị:

• Tọa độ đỉnh: (⅔ ;-⅓ )
• Trục đối xứng: x=⅔
• Điểm giao đồ thị với trục hoành: Giải phương trình y=0⇔3x2-4x+1=0, được x=1 hoặc x=⅓ . Vậy giao điểm là (1;0) và (⅓ ;0)
• Điểm giao đồ thị với trục tung: cho x=0, suy ra y=1. Vậy giao điểm là (0;1)

• Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên.

2. y=-x2+4x-4

Tập xác định: D=R

Tính biến thiên:

• Vì -1<0 nên hàm số đồng biến trên (-∞;2), hàm số nghịch biến trên (2;+∞).
• Vẽ bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị:

• Tọa độ đỉnh: (2;0)
• Trục đối xứng x=2.
• Điểm giao đồ thị với trục hoành: giải phương trình hoành độ giao điểm y=0 ⇔-x2+4x-4=0, được x=2. Suy ra điểm giao (2;0)
• Điểm giao đồ thị với trục tung: x=0, suy ra y=-4. Vậy điểm giao là (0;-4).

• Nhận xét: đồ thị của hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Ví dụ 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c để đồ thị © hàm số y=ax2+bx+c thỏa mãn: © đi qua điểm (-1;4) và có đỉnh là (-2;1)?

Hướng dẫn:

Nhận xét chung: để giải bài tập dạng này, ta cần nhớ:

• Một điểm (x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi y0=f(x0)
• Đỉnh của một hàm số bậc 2: y=ax2+bx+c có dạng:

với :

Từ nhận xét trên ta có:

• (-1;4) ∈ © , suy ra 4=a-b+c
• (-2;1) ∈ ©, suy ra: -1=4a-2b+c
• (-2;1) là đỉnh của © nên: -b/2a=-2 ⇒4a-b=0

Kết hợp ba điều trên, có hệ sau:

Vậy hàm số cần tìm là: y=5x2+20x+19

Dạng bài tập tương giao đồ thị hàm số bậc 2 và hàm bậc 1

Phương pháp để giải bài tập tương giao của 2 đồ thị bất kì, giả sử là (C) và (C’):

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
• Giải trình tìm x. Giá trị hoành độ giao điểm chính là các giá trị x vừa tìm được.
• Số nghiệm x chính là số giao điểm giữa (C) và (C’).

Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục hoành.

Hướng dẫn:

Phương trình hàm số thứ nhất:y= x2+2x-3.

Phương trình trục hoành là y=0.

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+2x-3=0 ⇔ x=1 ∨ x=-3.

Vậy đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại 2 giao điểm (1;0) và (1;-3).

Ví dụ 2: Cho hàm số y= x2+mx+5 có đồ thị (C) . Hãy xác định tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1?

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2+mx+5=1 ⇔ x2+mx+4=0 (1)

Để (C) tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

suy ra: ∆=0 ⇔ m2-16=0 ⇔ m=4 hoặc m=-4.

Vậy ta có hai hàm số thỏa điều kiện y= x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 2 y=x2+3x-m có đồ thị (C) . Hãy xác định các giá trị của m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm?

Hướng dẫn:

Nhận xét: Ta sử dụng hệ thức Viet cho trường hợp này. Xét phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức:

Ta lập phương trình hoành độ giao điểm: x2+3x-m=-x ⇔x2+4x-m=0 (1)

Để (C) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt âm.