BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ
Với $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì: $\dfrac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
Cho các số dương ${w_1},{w_2},...,{w_n}$ thoả mãn ${w_1} + {w_2} + ... + {w_n} = 1$ . Nếu $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ là các số thực không âm thì: ${w_1}{a_1} + {w_2}{a_2} + ... + {w_n}{a_n} \ge a_1^{{w_1}}a_2^{{w_2}}...a_n^{{w_n}}$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì: ${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì: $\dfrac{{{a_1}^2}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}^2}}{{{b_2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}^2}}{{{b_n}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = ... = \dfrac{a_n}{b_n}$
Với m và dãy số dương $\left( {{a_{1,1}},{a_{1,2}},...{a_{1,n}}} \right),\left( {{a_{2,1}},{a_{2,2}},...,{a_{2,n}}} \right)...\left( {{a_{m,1}},{a_{m,2}},...,{a_{m,n}}} \right)$ thì : $\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{i,j}}} } \right)} \ge {\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {\sqrt[m]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{a_{i,j}}} }}} } \right)^m}$ Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ.
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì: $\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + ... + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} \ge \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)}^2}} $
Cho hai dãy số thực $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ và $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ thì: $\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} + \sqrt[n]{{{b_1}{b_2}...{b_n}}} \le \sqrt[n]{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right)...\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}}$
Cho các số thực không âm $a, b, c$. Nếu $r \ge 0$, thì: ${a^r}\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right) + {b^r}\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right) + {c^r}\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \ge 0$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ , hoặc $a = 0, b = c$ và các hoán vị. - Trong trường hợp $r = 1$, ta có các dạng tương đương sau: 1. ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$ 2. $4({a^3} + {b^3} + {c^3}) + 15abc \ge {(a + b + c)^3}$ 3. ${a^2} + {b^2} + {c^2} + \dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 2(ab + bc + ca)$ 4. $\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} + \dfrac{{4abc}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge 2$ - Trong trường hợp $r = 2$, ta có các dạng tương đương sau: 1. $\sum {{a^4} + abc(a + b + c) \ge \sum {ab({a^2} + {b^2})} } $ 2. $6abc(a + b + c) \ge \left (2\sum {ab} - \sum {{a^2}} \right ) \left(\sum a^2 + \sum ab \right)$
Với mọi số nguyên $r \ge 0$ và $x >-1$ ${\left( {1 + x} \right)^r} \ge 1 + rx$ IV) Bài Tập ứng dụng: Bài Toán 1: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa $x+y=2$. Chứng minh rằng: \[x^3y^3(x^3+y^3) \leq 2\] Bài Toán 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + c + 1}}\] Bài Toán 3: [Viet Hung 99] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[\dfrac{a+3b}{2b+c} + \dfrac{b+3c}{2c+a} + \dfrac{c+3a}{2a+b} \ge 4 \] Bài Toán 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\] Bài Toán 5: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x,y,z$ dương. \[{x^2} \sqrt{{y^2} + {z^2}} + {y^2}\sqrt {{z^2} + {x^2}} + {z^2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \leq \sqrt 2 \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\] BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI: Bài toán 13:Trích Vietnamese IMO TST 2001 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa [tex]2x+4y+7z=2xyz[/tex] Tìm min của biểu thức P = [tex]x+y+z[/tex] Bài 15 :cho a,b,c >0 tìm max [tex]p =\frac{ab}{a^{2}+ab+bc}+ \frac{bc}{b^{2}+bc+ac}+\frac{ac}{c^2+ac+ab} [/tex] |