21:55:4911/10/2021 Phương trình bậc nhất hai ẩn các em đã được giới thiệu ở bài học trước, bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn? Bài viết này giúp chúng ta biết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng như thế nào? Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi nào? vô nghiệm khi nào? và có vô số nghiệm khi nào? 1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn • Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: - Trong đó ax + by = c và a'x + b'y = c' là những phương trình bậc nhất hai ẩn. - Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm. - Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. * Câu hỏi 1 trang 8 SGK Toán 9 Tập 2: Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai. > Lời giải: - Thay x = 2 , y = -1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được: VT = 2.2 + (-1) = 4 - 1 = 3 = VP Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình 2x + y=3 - Thay x = 2, y = -1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được: VT = 2 - 2.(-1) = 2 + 2 = 4 = VP Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4 ⇒ Cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai. 2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn • Đối với hệ phương trình (I), ta gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax + by = c và (d') là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình a'x + b'y = c'. - Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. - Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm. - Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm. * Ví dụ 1: Hệ hai phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất:  * Ví dụ 2: Hệ hai phương trình bậc nhất vô nghiệm: * Ví dụ 3: Hệ phương trình sau có vô số nghiệm: - Vì mỗi nghiệm của một trong hai phương trình của hệ cũng là nghiệm của phương trình kia. * Câu hỏi 2 trang 9 SGK Toán 9 Tập 2: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (...) trong câu sau: Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một... của phương trình ax + by = c. > Lời giải: - Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c. * Câu hỏi 3 trang 10 SGK Toán 9 Tập 2: Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm? Vì sao? > Lời giải: - Hệ phương trình trong ví dụ 3 có vô số nghiệm vì tập nghiệm của hai phương trình trong hệ được biểu diễn bởi cùng một đường thẳng y = 2x – 3.
3. Hệ phương trình tương đương - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. - Ta dùng ký hiệu "⇔" để chị sự tương đương của hai hệ phương trình, chẳng hạn ta viết:
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có nghiệm duy nhất khi nào? vô nghiệm khi nào. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công. §2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN A. KIẾN THỨC Cơ BẦN Khái niệm vê' hệ hai phương trình bậc nhát hai ẩn TTA , ■ , . , , , , . X- / 1 * fax + by = c (1) Hệ hai phương trình bậc nhãt hai an có dạng: (I) 1 [a’x + b'y - c' (2) trong đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhát hai ẩn Đôi với hệ phương trình (I), ta có: Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhát. Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm. Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô sô’ nghiệm. Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: Giải b) d) x + y = 2 ị2x + 2y = 4 [2x = 5 I X + 5y = -4 3ặc + 2y = 5 c) x + 2y = 1 3x - y = 1 6x - 2y = 3 a) Biểu diễn y qua X ở mỗi phương trình của hệ ta được: 3 5 y= ọx+ọ 31 z z vì a = - — -4 = a', hai đồ thị cắt nhau. Vậy hệ có 112 2 y = - - X + — X 2 ,2 y = -x + 2 y = -X + 2 nghiệm duy nhất. b) a = -1 = a’, b = 2 = b’, hai đồ thị trùng nhau. Vậy hệ nên hệ vô nghiêm. 5 X = — 2 ' 1 4 Vì đồ thị thứ nhất song song với Oy, còn đồ thị y = -4x X 1,55 thứ hai cắt hai trục nên chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Bài tập Cơ bản y = ““•X + 3 2 1 , y=-|x+l 3x - y = 3 y = 3 - 2x y = 3x-l 2y = -3x 3y = 2x a) b) c) < d) Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: 1 1 , X - — y = 1 I 3 2x + y = 4. -X + y = 1 b) a) ■ Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau băng hình học: 2x-ỷ = 1 x-2y = -l 6. Đố. Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhât hai ấn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (có thế’ cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị). y = 3 - 2x _<; y = 3x -1 Ta có a = -2, a’ = 3 nên a a’ Giải 4. a) y = -2x + 3 y = 3x - 1 Hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhát). b) y = -^x + 3 2 y=--X +1 _ 1 . 1 Có a = a = -ị, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b b’. => Hai đường thẳng song song. Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau). 3 c) 2y = -3x 3y = 2x y = X 2 2.. y = — X nên a * a’ => Hai đường thẳng cắt nhau. 3 Có a = ",d' = " 2 3x - y = 3 y = 3x - 3 1 , ‘ 1 ‘ X - 7-y = 1 ^y = x-l 3 3 d) Vậy hệ phương trình có một nghiệm. y = 3x - 3 y = 3x - 3 Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’. => Hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường, thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau). 5. a) [2x-y = 1 2y = -l Vẽ (dp: 2x Cho X = 0 = y = 1 y = -1, ta được A(0; -1). Cho y = 0 Vì (d2): X - 2y = -1 1 „ lì Cho X = 0 => y = được c 10; I . Cho y = 0 => X = -1, được D = (-1; 0). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ (x = 1, y = 1). Thay X = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 - 1 = 1 (thoa) 1 - 2.1 = -1 (thỏa) 2x + y = 4 ' -X + y = 1 Vẽ (dp: 2x + y = 4 Cho X = 0 => y = 4, được A(0; 4). Cho y = 0 => X = 2, được B(2; 0). Vẽ (d9): -X + y = 1 Cho X = 0 => y = 1, được C(0; 1). Cho y = 0 => X = -1, được D(-l; 0). b) 4^ y 'H 3 u2 2 1 -1/ -%N 7 i\ Ị \2 X ' / 0 7 -1 í \ Á Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ (x = 1; y = 2). Thay X = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 + 2 = 4 và -1 + 2 = 1 (thỏa) Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2). 6. Trả lời: Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ộ. Bạn Phương nhận xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình và y = -X y = -X đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = X, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng y = -X. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm). 3. Bài tập tương tự Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau. Minh họa bằng đồ thị. , . x + y = 1 b) <! J - c) a) 2x + y = 3 3x - y = 1 X + 2y = 3 2x + 4y = 1 LUYỆN TẬP Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y - 5. Tìm nghiệm tống quát của mỗi phương trình trên. Vẽ các đường thẳng biếu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng. Cho các hệ phương trình sau: x = 2 Jx + 3y = 2 2x - y = 3 [2y = 4 Trước hêt, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm cùa các hệ đã cho bằng cách vẽ hình. a) b) 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 a) x + y = 2 3x + 3y = 2 10. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: ' ■ Í1 2 f4x-4y = 2 b) -2x + 2y = -1 Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: [x - 3y = 2 11. Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm đứợc biếu diễn bởi hai điếm phân biệt) thì ta có thê nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao? Giải nghiệm dạng tổng quát như sạu: X e R boặc y = -2x + 4 7. a) 2x + y = 4 y = -2x + 4 X = - — y + 2. Do đó phương trình có 2 - ; [y e R Công thức tổng quát nghiệm của phương trình 3x + 2y = 5 là: X e R 2 5 3 5 hoặc y = -—X + — 2 b) Vẽ (d1): 2x + y = 4 Cho X - 0 => y = 4 được A(0; 4). Cho y = 0 => X = 2 được B(2; 0). Vẽ (d2): 3x + 2y = 5 _ Cho X = 0 => y - được CI 0; I Cho y = 0 => X - được D 0 Hai đường thẳng cắt nhau tại M(3; -2). Thay X = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được: 2.3 + (-2) = 4 và 3.3 + 24-2) = 5 (thỏa) Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho. 12x - y = 3 X = 2 y = 2x - 3 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng X = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2x - 3 cắt hai trục tọa độ. Vẽ (dj): X = 2 Vẽ (d2); 2x - y = 3 Cho X = 0 => y = -3 được A(0; -3). Cho y = 0 => X = được B Ị ; oỴ , ... . Ta thấy hai đường thắng cắt nhau tại N(2; 1). Thay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - y = 3 ta được 2.2 -1 = 3 (thỏa). Vậy hệ phương trình có nghiêm (2; 1). b) x + 3y = 2 í 3y = -X + 2 2y = 4 ly = 2 5 Q X 2 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y = - — + -=■ cắt hai . , o 3 3 trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thang y = 2 song song với trục hoành. Vẽ (dj): X + 3y - 2 _ Cho X = 0 => y = -2- được A 0; (dj M y 2 (d2) 1 1 1 1 > 1 X -5 -4 -3 -2 -10 ỉ 2^“ - Cho y = 0 => X = 2 được B(2; 0). Vẽ (d2): y = 2 Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2). Thay X = -4, y = 2 vào phương trình X + 3y = 2 ta được -4 + 3.2 = 2 (thỏa). Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2). y = -X + 2 9. a) x + y = 2 3x + 3y = 2 -X + 2 5 3y - -3x + 2 , , 2 , Ta có: a = -1, a’ = -l, b = 2, b' = — nên a = a’, b * b’ => Hai đường thẳng song song với nhau. 3 Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biếu diễn cá( tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 3 1 y = -X + b) 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 2y = 3x - 1 4y = 6x 'a thấy hai đường thăng căt nhau tại hay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - ; 3 1 Ta có: a = -r,a' = -r,b = -4,b' = 0 nên a = a', b * b'. 2 2 2 => Hai đường thẳng song song với nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 1 10. a) 4x - 4y = 2 -2x + 2y = -1 4y = 4x - 2 2y = 2x - 1 Tacó:a = a' = l, b = b' = -Ậ. „ . . ,2 Hai đường thăng trùng nhau. => Hai đường thăng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn I S' 1 • _ T. ■ 1 • . I \ 1 I 1 A 1 V I K 1 b) ■ Í1 2 -X -y = — 3 3 » . \ 1 2 y = —X 3 3»- X - 3y = 2 3y = X - 2 y = -X- - 3 3 y = —X 3 1 , 2 Ta có a = a = -|, b = b = “ nên hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 11. Nếu tìm thấy hai nghiêm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thế kết luận hệ phương trình có vô số nghiêm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiêm của chúng có hai điếm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau. |
