Với các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải bài tập Toán lớp 10 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải bài tập lớp 10. Mời các bạn đón xem:
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cách giải bài tập – Toán lớp 10 A. Lí thuyết tổng hợp. - Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng: f(x)=g(x);f(x)=g(x);f(x)+g(x)=h(x);1f(x)=g(x) ;….. - Điều kiện xác định của f(x) là f(x)≥0 - Điều kiện xác định của Af(x) là f(x)>0, với A là một số hoặc một biểu thức. B. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có các phương pháp: - Bình phương hai vế. (phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả nên khi tìm ra nghiệm x ta cần thay lại phương trình để kiểm tra). - Các phép biến đổi tương đương: f(x)=g(x)⇔f(x)≥0 gx≥0f(x)=g(x)f(x)=g(x)⇔g(x)≥0f(x)=g2(x)f(x)+g(x)=h(x)⇔f(x)≥0g(x)≥0f(x)+g(x)+2f(x).g(x)=h(x) - Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai. - Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc phương trình tích. C. Ví dụ minh họa. Bài 1: Giải các phương trình : 5x+6=4x+3. Lời giải: Điều kiện xác định : 5x+6≥04x+3≥0⇔x≥−65x≥−34⇔x≥−34 Với điều kiện xác định trên ta có: 5x+6=4x+3 ⇒ 5x + 6 = 4x + 3 ⇔ x = –3 ( không thỏa mãn điều kiện xác định ) Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình:3x+7=x+3 . Lời giải: Ta có:3x+7=x+3 ⇔x+3≥03x+7=(x + 3 )2⇔x≥−33x+7=x2+6x+9⇔x≥−3x2+3x+2=0 Xét phương trình x2+3x+2=0 ta có: 1 – 3 + 2 = 0 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−1 (thỏa mãn điều kiện) x2=−21=−2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {–1; –2}. Bài 3: Giải phương trình: x−x+1−5=0. Lời giải: Điều kiện xác định:x≥−1 Đặt ẩn phụ t=x+1 (t≥0) ⇒t2=x+1⇒x=t2−1 Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t2−1−t−5=0⇔t2−t−6=0 Xét phương trình t2−t−6=0 có: Δ=(−1)2−4.1.(−6)=25 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1=−(−1)+252.1=3 ; t2=−(−1)−252.1=−2 ( không thỏa mãn điều kiện t≥0) Với t1=3 ta có: x+1=3⇒x+1=32⇔x=8 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}. Bài 4: Giải phương trình: 1x+4=2 Lời giải: Điều kiện xác định: x > –4 Với điều kiện xác định trên ta có: 1x+4=2⇔1x+4=2x+4x+4⇒1=2x+4⇔x+4=12⇒x+4=14 ⇔x=−154 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm của phương trình là S=−154. D. Bài tập tự luyện. Bài 1: Phương trình nào dưới đây là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ? A. x + 2 = 3x B. 2x + 2 = 0 C.x2−4x+5=0 D.x+4−5x=3 Đáp án: D Bài 2: Điều kiện xác định của f(x) là gì ? A. f (x) < 0 B. f (x) > 0 C. f(x)≥0 D. f (x) = 0 Đáp án: C Bài 3: Giải phương trình: x+5=2x2. Đáp án: Tập nghiệm S=1+414;1−414 Bài 4: Giải phương trình 3x2+2x+4=2x2+4x+3. Đáp án: Tập nghiệm S = {1} Bài 5: Giải phương trình 2x+5=x−4. Đáp án: Tập nghiệm S=5+14 Bài 6: Giải phương trình 5x2−3x−2x+3=0. Đáp án: Phương trình vô nghiệm Bài 7: Giải phương trình 2x+1x+3=2. Đáp án: Tập nghiệm S=112 Bài 8: Giải phương trình 32x+3=13x−1. Đáp án: Tập nghiệm S=28+229881 Bài 9: Giải phương trình 2x2−5x+3=2x. Đáp án: Phương trình vô nghiệm Bài 10: Giải phương trình 2x2+3x=0. Đáp án: Tập nghiệm S = {0} Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác: Đại cương về phương trình và cách giải bài tập Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất và cách giải bài tập Các phương trình đưa về phương trình bậc hai và cách giải bài tập Hệ phương trình lớp 10 và cách dạng bài tập Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập
Với Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.  Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Phân tích thành tích. – Đặt ẩn phụ. Các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương: Phương trình có dạng a.f(x) + b.√(f(x) ) + c = 0 ta đặt √(f(x)) = t Ngoài ra ta còn có phương pháp phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp Với A, B không đồng thời bằng không Bài 1: Giải phương trình sau √(2x-3) = x-3 Hướng dẫn: Ta có Bài 2: Giải phương trình sau Hướng dẫn: Phương trình tương đương với phương trình Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1 Bài 3: Giải phương trình sau √(2x-1) + x2 - 3x + 1 = 0 Hướng dẫn: Ta có Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 - √2 Bài 4: Giải phương trình sau x2 + √(x2 + 11) = 31 Hướng dẫn: Đặt t = √(x2 + 11), t ≥ 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 + t - 42 = 0 ⇔ Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có √(x2 + 11) = 6 x2 + 11 = 36 ⇔ x = ±5 Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5 Bài 5: Giải phương trình sau Hướng dẫn: Đặt t = √(3x2 - 2x + 2), điều kiện t ≥ 0. Khi đó √(3x2 - 2x + 9) = √(t2 + 7) Phương trình trở thành √(t2 + 7) + t = 7 Vậy phương trình có hai nghiệm x = (1 ± √22)/3
Với Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn chọn lọc, có lời giải Toán lớp 10 tổng hợp 15 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10. Câu 1. Tập nghiệm S của phương trình √(x2 - 4) = x - 2 là : A. S = {0; 2} B. S = {2} C. S = {0} D. S = ∅ Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình (x-2)√(2x + 7) = x2 - 4 bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 3. Phương trình A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 4. Số nghiệm của phương trình là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5. Số nghiệm của phương trình (x+5)(2-x) = 3√(x2 + 3x) là: A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 6. Cho phương trình: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 7. Số nghiệm của phương trình √(x2 + 2x + 4) = √(2-x) A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 8. Số nghiệm của phương trình x - √(2x-5) = 4 là: A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 9. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 10. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 11. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 12. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 13. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 14. Số nghiệm của phương trình A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 15. Giá trị của m để phương trình √(x2 + mx + 2) = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt là: A. m ≥ 3/2 B. m ≥ -9/2 C. m ≥ 9/2 D. m ≥ -3/2
Câu 1. Chọn B Ta có Câu 2. Chọn D Điều kiện xác định của phương trình 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7/2 Ta có (x-2)√(2x+7) = x2 - 4 ⇔ (x-2)√(2x+7) = (x-2)(x+2) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1 + 2 = 3 Câu 3. Chọn B Điều kiện xác định của phương trình 2 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 Từ phương trình đã cho ta được So với điều kiện x < 2 thì x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình Câu 4. Chọn B Ta có : Câu 5.Chọn B Phương trình ⇔ x2 + 3x + 3√(x2 + 3x) - 10 = 0 Đặt t = √(x2 + 3x), t ≥ 0. Phương trình đã cho trở thành t2 + 3t - 10 = 0 ⇔ Vì t ≥ 0 ⇒ t = 2, thay vào ta có √(x2 + 3x) = 2 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = -4 Câu 6. Chọn B Điều kiện: x ≥ 4 Phương trình thành √(x-4)(x2 - 3x + 2) = 0 ⇔ Câu 7. Chọn B ĐKXĐ: Với điều kiện đó phương trình tương đương với x2 + 2x + 4 = 2 - x ⇔ x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1 và x = -2 Câu 8. Chọn A ĐKXĐ: 2x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5/2 x - √(2x-5) = 4 ⇔ √(2x - 5) = x - 4 (*) TH1: Với x-4 < 0 ⇔ x < 4 ta có VT(*) ≥ 0, VP(*) < 0 suy ra phương trình vô nghiệm TH2: Với x-4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ta có hai vế không âm nên phương trình (*) tường đương với 2x - 5 = (x-4)2 ⇔ x2 - 10x + 21 = 0 ⇔ Đối chiếu với điều kiện x ≥ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x = 7 là nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 Câu 9. Chọn A Vậy phương trình có ngjiệm x = 9 Câu 10. Chọn A ĐKXĐ: x ≥ 2/3 Nhẩm ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình nên ta tách như sau Phương trình (*) ⇔ x = 1(thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Câu 11. Chọn B Ta thấy x = -3 không là nghiệm của phương trình Xét x ≠ -3, phương trình Phương trình (*) ⇔ √(2x2 + 1) = 2x + 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = -5 + √13 Câu 12. Chọn B ĐKXĐ: x > 0 Phương trình tương đương với Phương trình trở thành: 3t + 8 = 9(t2 + 2/3) ⇔ 9t2 - 3t - 2 = 0 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = (7-√13)/18 Câu 13. Chọn C ĐKXĐ: x ≥ 0 Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Xét x > 0, phương trình ⇔ x2 + x + 1 = 3√x.√(x2 - x + 1) Phương trình trở thành t2 + 2 = 3t ⇔ t2 - 3t + 2 = 0 ⇔ + Với t = 1 ta có √(x - 1 + 1/x) = 1 ⇔ x2 - x + 1 = x ⇔ x = 1(thỏa mãn) + Với t = 2 ta có √(x - 1 + 1/x) = 2 ⇔ x2 - 5x + 1 = 0 ⇔ x = (5 ± √21)/2 Vậy phương trình có nghiệm là x = (5 ± √21)/2 và x = 1 Câu 14. Chọn B ĐKXĐ: x ≥ 1/4 Đặt t = √(4x-1), t ≥ 0 ⇒ x = (t2 + 1)/4 Phương trình trở thành ⇔ 4t + t4 + 2t2 + 1 - 6(t2 + 1) + 4 = 0 ⇔ t4 - 4t2 + 4t - 1 = 0 ⇔ (t-1)(t3 + t2 - 3t + 1) = 0 (t-1)2(t2 + 2t - 1) = 0 ⇒ Với t = 1 ta có 1 = √(4x - 1) ⇔ x = 1/2 Với t = -1 + √2 ta có -1 + √2 = √(4x - 1) ⇔ 4x - 1 = 3 - 2√2 ⇔ x = (2 - √2)/2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1/2 và x = (2 - √2)/2 Câu 15. Chọn C Phương trình Phương trình đã cho có hai nghiệm ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng -1/2 ⇔ đồ thị hàm số y = 3x2 + (4-m)x - 1 trên [-1/2; +∞) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Xét hàm số y = 3x2 + (4-m)x - 1 trên [-1/2; +∞). Ta có -b/2a = (m-4)/6 + TH1: Nếu (m-4)/6 ≤ -1/2 ⇔ m ≤ 1 thì hàm số đồng biến trên [-1/2; +∞) nên m ≤ 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. + TH2: Nếu (m-4)/6 > -1/2 ⇔ m > 1 : Ta có bảng biến thiên Suy ra đồ thị hàm số y = 3x2 + (4-m)x - 1 trên [-1/2; +∞) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ⇔ y(-1/2) ≥ 0 > y((m-4)/6) ⇔ (2m-9)/4 ≥ 0 > (1/12)(-m2 + 8m - 28) (1) Vì -m2 + 8m - 28 = -(m-4)2 - 12 < 0, ∀m nên (1) ⇔ 2m - 9 ≥ 0 ⇔ m ≥ 9/2 (thỏa mãn m > 1) Vậy m ≥ 9/2 là giá trị cần tìm |
