Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn Show
Trong phương trình (1) nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$ bằng vế phải thì cặp số $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1) Ví dụ: Cặp số (3; 4) là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2 Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $(x_0;y_0)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_0;y_0)$
- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ( $a\neq0$ hoặc $b\neq0$ ) luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d) - Nếu $a\neq0$ và $b\neq0$ thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ - Nếu $a\neq0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung. - Nếu a = 0 và $b\neq0$ thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{(x;5-3x)/ x\in R\right\}$ Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$ Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$ 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$ Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $(x_0;y_0)$ thì $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ (I) Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Ta thấy cặp số (3; 3) là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$
Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,(d)\\a’x+b’y=c’\,\,\,(d’)\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$ Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai là một kiến thức không khó đối với các bạn học sinh nhưng cũng đòi hỏi các bạn nắm chắc kiến thức để ứng dụng vào bài tập một cách chính xác nhất. Bài viết sẽ hệ thống đầy đủ kiến thức cần ghi nhớ, giúp các em dễ dàng tiếp thu kiến thức và ôn tập thật hiệu quả. 1. Lý thuyết phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai lớp 10Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai là phương trình được viết theo dạng phương trình tổng quát có ẩn x. Để làm được dạng bài tập này, chúng ta cần biện luận và giải phương trình theo ẩn. 1.1. Phương trình quy về bậc nhấtPhương trình bậc nhất có dạng tổng quát như sau: y=ax+b ($a\neq 0$) Khi a≠0: Phương trình có nghiệm duy nhất x=$-\frac{b}{a}$ Khi a=0, b≠0: Phương trình vô nghiệm. Khi a=0, b=0: Phương trình có nghiệm đúng với mọi x∈R Lưu ý: Phương trình ax+b=0 với a≠0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.  1.2. Phương trình quy về bậc haiPhương trình quy về bậc hai có dạng tổng quát như sau: $a^{2}+bx+c=0, (a\neq 0)$ Δ=$b^{2}-4ac$ gọi là biệt thức của phương trình. + Nếu Δ>0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ + Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép x=$\frac{-b}{2a}$ + Nếu Δ<0 thì phương trình vô nghiệm 1.3. Định lí Vi-étTrong phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai, định lý Vi-ét nói lên mối quan hệ giữa các hệ số và các nghiệm của một phương trình đa thức. Trong chương trình toán học, chúng ta sẽ rất dễ bắt gặp dạng bài về định lí Vi-ét này. Phương trình $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thì: $x_{1}+x{2}=\frac{-b}{a}, x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ Ngược lại, nếu hai số u và v có tích uv = P và tổng u + v = S thì u và v là hai nghiệm của phương trình: $x^{2}-Sx+P=0$ Ví dụ 1: Hãy tìm tổng và tích của nghiệm phương trình $x^{2}-8x+11=0$ Giải: S= $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8$ Ví dụ 2: Hãy tìm tổng và tích của nghiệm phương trình $x^{2}+10x+25=0$ Giải: S= $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10$ PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! 1.4. Phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đốiĐể giải một phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta có phương pháp chính là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối. Ta có thể làm theo cách:
Với dạng phương trình $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |$ ta có phương pháp giải như sau: Với dạng phương trình $\left | f(x) \right |$ = g(x), ta có phương pháp chuyển đổi như sau: 1.5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu cănPhương pháp chung để chúng ta giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là ta đặt điều kiện, sau đó lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức. Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{3x-5}=3$ Giải: Đk: $x\geqslant \frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow 3x-5=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{14}{3}$ (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x=$\frac{14}{3}$ Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{2x+5}=2$ Giải: Đk: $x\geqslant \frac{-5}{2}$ $\Leftrightarrow 2x+5=4$ $\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{2}$ Ví dụ 3: $\sqrt{x^{2}+2x+4}=\sqrt{2-x}$ Giải: 2. Một số bài tập phương trình quy về bậc nhất bậc haiBài tập quy về phương trình bậc nhất bậc hai có rất nhiều dạng bài khác nhau, đòi hỏi học sinh cần nắm chắc kiến thức của mình để áp dụng vào bài tập. Hãy cùng điểm qua những ví dụ dưới đây về bài tập quy về phương trình bậc nhất bậc hai nhé. Bài tập 1: Giải phương trình sau và biện luận theo tham số m: $m^{2}(x+1)-1=(2-m)x$ Giải: Bài tập 2: Cho phương trình: $x^{2}-(2m+3)x+m^{2}-2m=0$. Hãy tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Giải: Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi Δ > 0 $\Delta =(2m-3){2}-4(m{2}-2m)=4m+9$ $\Delta > 0\Leftrightarrow -4m+9> 0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}$ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m < $\frac{9}{4}$. Bài tập 3: Cho phương trình $mx^{2}+(m^{2}-3)x+m=0$. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. Giải: Bài tập 4: Hãy giải phương trình cho sau: $\left | 2x+1 \right |=\left | x^{2}-3x-4 \right |$ Giải: Bài tập 5: Tìm nghiệm của phương trình: $1+\frac{2}{x-2}=\frac{10}{x+3}-\frac{50}{(2-x)(x+3)}$ Giải: Đăng ký ngay khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất! Hy vọng rằng qua các bài tập kèm lời giải trên sẽ giúp các em tiếp thu bài học dễ dàng hơn đối với dạng bài phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai. Truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả. Phương trình vô nghiệm khi nào lớp 10?Phương trình bậc nhất được coi là vô nghiệm khi hệ số của biến x bằng 0 và hệ số tự do không bằng 0. Nghĩa là phương trình có dạng ax + b = 0 với a = 0 và b ≠ 0. Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình sẽ có vô số nghiệm, vì ta có thể thấy nếu ta thay bất kỳ giá trị nào cho biến x thì biểu thức ax + b vẫn sẽ bằng 0. Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm khi nào?Tóm lại, hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm khi số phương trình ít hơn số ẩn, và hệ không thể biến đổi sơ cấp theo cột của ma trận hệ số A. Phương trình có vô số nghiệm là gì?Phương trình vô nghiệm là một loại phương trình không có giá trị nào của biến thỏa mãn để biểu thức trở thành đúng. Điều này có nghĩa là không có bất kỳ giá trị nào của biến để khi thay vào phương trình thì phương trình trở thành đúng. Một phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là tập rỗng, thường được ký hiệu là S = Ø. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi nào?Hệ phương trình vô nghiệm khi nào? Hệ phương trình được coi là vô nghiệm khi không tồn tại bất kỳ nghiệm nào thỏa mãn các phương trình trong hệ. với aij là các hệ số trong phương trình. Nếu định determinant D của hệ phương trình bằng 0 (D = 0), thì hệ phương trình được xem là vô nghiệm. |
