Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực) B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt . B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:  B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số. 2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2| = k(k ∈ R) - Bình phương trình hai vế: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ ... ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = k2 - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận. 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*) +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α Ta có: +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α Ta có: +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2 Ta có: (x1 - α)(x2 - α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2 Giải a) Δ = (2m - 1)2 - 4.(m2 - 1)= 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 4 = 5- 4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤ Kết hợp với điều kiện Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2. Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 10mx + 9m = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m = 1. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 - 9x2 = 0. Giải a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 - 10x + 9 = 0. Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là b) Δ' = (-5m)2 - 1.9m = 25m2 - 9m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0 Theo hệ thức Vi-ét ta có Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình: Thay vào phương trình (**) ta có: Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1-9x2 = 0 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 Giải a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]2 - 4.1.(2m - 5) = 4m2 - 12m + 22 = (2m)2 - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m) Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có: x1 < 1 < x2 ⇒ Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m). Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 Câu 1: Cho phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn A. m = 0 B. m = 1 C. m = 3 D. m = 4 Giải Phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0 Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2 là Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x1 = -3x2 A. m = 3 B. m = ±1 C. m = ±√2 D. m = -2 Giải Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2 - 1)=1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m) Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo Vi-ét ta có: Ta có: x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3x2 nên có hệ phương trình sau: Thay (*) vào biểu thức x1.x2 = -m2 - 1 ta được: Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là C Câu 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số) Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Giải Δ' = (m + 1)2 - (m2 + m - 1) = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m + 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: Kết hợp với điều kiện m > -2 Đáp án đúng là C Câu 4: Cho phương trình Giải Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0 Phương trình có nghiệm khác 0 Kết hợp với điều kiện Vậy là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là B Câu 5: Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. A. m = ±2 B. m = ±√2 C. m = - 1 D. m = 0 Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2. Áp dụng Vi-et ta có: Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có: Vậy m = ±2 là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 6: Cho phương trình x2 - 2x - 2m2 = 0 với x là ẩn số. Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4x22. A. m = ±2 B. m = ±1 C. m = -6 D. m = 3 Giải Ta có: Δ' = (-1)2 - (-2m2 )= 1 + 2m2 > 0 Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét: Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 3. A. m = 2 B. m = 4 C. m = 6 D. m = 8 Giải Ta có: ∆ = 25 – 4m Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì Theo Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 5 (1) và x1.x2 = m (3) Mặt khác theo giả thiết ta có: |x1 - x2| = 3 (2) Giải hệ (1) và (2): Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào (3) ta được m = 4 Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào (3) ta được m = 4 m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm Đáp án đúng là B Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0 Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1. Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Theo hệ thức Vi- ét ta có: Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x1 - 1)(x2 - 1) < 0 Đáp án đúng là C Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0 Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2 A. m > - 1 B. m > 2 C. m < 2 D. m < 0 Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Theo hệ thức Vi- ét ta có: Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì: Vậy đáp án đúng là D Câu 10: Cho phương trình x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x1 < x2 < 6 A. m > 1 B. -2 < m < 2 C. -4 < m < 4 D. m < 3 Giải Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo hệ thức Vi-et ta có: Vì -3 < x1 < x2 < 6 nên Vậy -4 < m < 4. Đáp án đúng là C Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp |
