Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Đây là phần kiến thức Hinh học phổ thông vô cùng quan trọng, liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp. Các em tìm hiểu để củng cố thêm phần kiến thức nhé ! I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Phương trình bậc hai một ẩn là là gì? Bạn đang xem: Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x. Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:
Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:
2. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn: Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2
Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet. Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0 II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Luy ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b. Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c. 1. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ta giải theo một trong hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Biến đổi thành phương trình dạng a(x+m)2 = n. Phương pháp 2: Biến đổi thành phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0 2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b ax2 + c = 0 (a ≠ 0) Ta được x2 = -c/a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √-ca Nếu -ca < 0 thì phương trình vô nghiệm 3. Cách giải phương trình khuyết c ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) Ta biến đổi thành: x(a + b) = 0<=> x = 0 và ax = -b <=> x=0 và x=−b/a Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b/a III. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số a. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*) Hướng dẫn: Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1 Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.
b. Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn: Hướng dẫn: Để phương trình (*) có nghiệm thì:
Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet: Mặt khác: Theo đề: Thử lại:
vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài. 2. Dạng 2: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn: Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2 Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau: a. Phương trình khuyết hạng tử Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1). Phương pháp:
Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp: Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn:
b. Phương trình đưa về dạng bậc 2 Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Chú ý: phương pháp đặt t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1… Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn:
4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼
Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1. Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn cũng như cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng tại đường link này nữa nhé ! Đăng bởi: THPT Sóc Trăng Chuyên mục: Giáo dục Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận. Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn) |