Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là: (x - a)² + (y - b)² = R² Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c > 0) II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒNXét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆: (∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNDạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.Cách 1: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m. Bước 2: Xét m: - Nếu m < 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{m}\).
Cách 2: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Xét m = a² + b² - c: - Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\).
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trướcCách 1: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R². Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R². Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R². Cách 2: Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c. Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn: - Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.
- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước. Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm: Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R. Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácIII. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.Lời giải tham khảo: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau: \(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\) ⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3). Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)² + (y - 3)² = 16. Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1): ⇒ = (4 - 4).(x - 4) + (-1 - 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1 Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1 Skip to content Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng là phần kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán Phổ thông. Nắm vững phần kiến thức này, các em sẽ dễ dàng giải các bài Toán liên quan. Chính vì lẽ đó, hôm nay PUD sẽ giới thiệu cùng các bạn chi tiết hơn về chuyên đề này. Cùng chia sẻ bạn nhé !
Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng
Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)
Khi đó bán kính (R = d (I, Delta ))
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng (Delta) x – 2y + 7 = 0
Giải: Ta có (d(I,Delta)=frac{|-1-4-7|}{sqrt{5}})
Phương trình đường tròn (C) có dạng ((x+1)^2+(y-2)^2=frac{4}{5})
- Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
- Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} I epsilon d & d(I, Delta ) = IA & end{matrix}right.)
- Bán kính R = IA
Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.
Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:
IA = IB = r (Leftrightarrow) ((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2) (1)
IA = d(I,d) (Leftrightarrow) (sqrt{(x+1)^2+y^2}=frac{|x-1-y|}{sqrt{2}}) (2)
Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1
Vậy I(0,1) IA = r = (sqrt{2})
Phương trình đường tròn (C) có dạng (x^2+(y-1)^2 = 2)
- Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
- Viết phương trình đường thẳng (Delta ‘) đi qua B và (perp Delta)
- Xác định tâm I là giao điểm của d và (Delta ‘)
- Bán kính R = IA
Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)
Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)
Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6)
Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB
Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0
Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5
Vậy phương trình đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25)
- Tâm I của (C) thỏa mãn: (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& d(I,Delta _{1}) = IA & end{matrix}right.)
- Bán kính R = IA
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).
Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên (frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}) (1)
và (frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}) (2)
Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được
- TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20sqrt{2})
Phương trình đường tròn có dạng ((x-29)^2+(y+2)^2=800)
- TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5sqrt{2})
Phương trình đường tròn có dạng ((x+6)^2+(y-2)^2=50)
-
Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& Iepsilon d & end{matrix}right.)
-
Bán kính (R = d(I,Delta _{1}))
Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ
Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)
Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|
Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV
=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0
Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0
Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng ((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2)
Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2)
Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5
-
Với a = 1 ta có phương trình (C) ((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1)
-
Với a = 5 ta có phương trình (C) ((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2)
Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼(3;−1)I(3;−1), bán kính 𝑅=2R=2.
Giải. Phương trình đường tròn tâm 𝐼(3;−1)I(3;−1), bán kính 𝑅=2R=2 là (𝑥−3)2+(𝑦+1)2=4(x−3)2+(y+1)2=4.
Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm 𝐼(0;3)I(0;3) và đi qua 𝐴(3;−2)A(3;−2).
Giải. Ta có 𝐼𝐴→=(3;−5)IA→=(3;−5). Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐼𝐴=9+25−−−−−−√=34−−−√R=IA=9+25=34. Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+(𝑦−3)2=34x2+(y−3)2=34.
Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận 𝐴𝐵AB làm đường kính biết 𝐴(1;6)A(1;6) và 𝐵(4;5)B(4;5).
Giải. Gọi 𝐼I là tâm của đường tròn, ta có 𝐼I là trung điểm 𝐴𝐵AB nên 𝐼(52;112)I(52;112). Ta có 𝐴𝐵=(3;−1)AB→=(3;−1) suy ra 𝐴𝐵=9+1−−−−−√=10−−−√AB=9+1=10. Bán kính đường tròn là 𝑅=𝐴𝐵2=10−−−√2R=AB2=102. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
(𝑥−52)2+(𝑦−112)2=52(x−52)2+(y−112)2=52
Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 𝐴(4;1)A(4;1), 𝐵(3;4)B(3;4), 𝐶(1;0)C(1;0).
Giải. Phương trình đường tròn có dạng 𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑥−2𝑏𝑦+𝑐=0x2+y2−2ax−2by+c=0. Vì đường tròn này đi qua các điểm 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C nên ta có hệ phương trình
⎧⎩⎨17−8𝑎−2𝑏+𝑐=025−6𝑎−8𝑏+𝑐=01−2𝑎+𝑐=0⇔⎧⎩⎨𝑎=2𝑏=2𝑐=3{17−8a−2b+c=025−6a−8b+c=01−2a+c=0⇔{a=2b=2c=3
Vậy phương trình đường tròn là 𝑥2+𝑦2−4𝑥−4𝑦+3=0.x2+y2−4x−4y+3=0.
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn 𝑥2+𝑦2−4𝑦−4=0x2+y2−4y−4=0 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 𝑑:𝑥+7𝑦+6=0d:x+7y+6=0.
Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼(0;2)I(0;2), bán kính 𝑅=0+4+4−−−−−−−−−√=22−−√R=0+4+4=22. Vì tiếp tuyến ΔΔ song song với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 𝑥+7𝑦+𝑚=0x+7y+m=0 (với 𝑚≠6m≠6). Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên
⇔⇔⇔⇔𝑑(𝐼,Δ)=𝑅|14+𝑚|1+49−−−−−−√=22−−√|14+𝑚|=20[𝑚+14=20𝑚+14=−20[𝑚=6(loại)𝑚=−34d(I,Δ)=R⇔|14+m|1+49=22⇔|14+m|=20⇔[m+14=20m+14=−20⇔[m=6(loại)m=−34
Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình 𝑥+7𝑦−34=0.x+7y−34=0.
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn (𝑥−3)2+(𝑦+2)2=13(x−3)2+(y+2)2=13 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 𝑑:3𝑥−2𝑦+1=0d:3x−2y+1=0.
Giải. Đường tròn đã cho có tâm 𝐼(3;−2)I(3;−2), bán kính 𝑅=13−−−√R=13. Vì tiếp tuyến ΔΔ vuông góc với 𝑑d nên phương trình ΔΔ có dạng 2𝑥+3𝑦+𝑚=02x+3y+m=0. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên
⇔⇔⇔𝑑(𝐼,Δ)=𝑅|6−6+𝑚|4+9−−−−−√=13−−−√|𝑚|=13𝑚=±13d(I,Δ)=R⇔|6−6+m|4+9=13⇔|m|=13⇔m=±13
Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình 2𝑥+3𝑦±13=0.
Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm vững phần kiến thức về phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Còn rất nhiều phần kiến thức hữu ích khác đang chờ bạn khám phá tại PUD. hãy luôn cập nhật để dõi theo nhé !
- Xem thêm: Hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất
| 
