Với dạng bài tập yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua 1 điểm có tâm I, hay lập phương trình đường tròn có tâm I và đi qua A, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải ngay dưới đây. Show * Cách viết phương trình đường tròn tâm I và đi qua A (đi qua 1 điểm) – Tính bán kính R = IA của (C) hay R2 = IA2 = (xA – xI)2 + (yA – yI)2 – Đường tròn có tâm I(a;b) – Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0). * Lời giải: – Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 10 * Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3). * Lời giải: – Đường tròn (C) có tâm I(-2;3) và đi qua điểm A(2;-3) nên ta có: R2 = IA2 = (xA – xI)2 + (yA – yI)2 = [2 – (-2)]2 + [(-3) – 3]2 = 42 + 62 = 52 ⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua A là: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52 * Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3). * Lời giải: – Đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm M(1;3) nên ta có: R2 = IM2 = (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50 ⇒ Phương trình đường tròn (C) tâm I và đi qua M là: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 50 Viết phương trình đường trònViết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kínhA. Phương pháp giải + Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 + Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau: – Bước 1: Tìm trung điểm I của AB. – Bước 2: Tính IA. – Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA. + Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A ⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA. B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 + 2x – 6y – 22 = 0. B. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0. C. x2 + y2 – 2x – y + 1 = 0. D. Tất cả sai Lời giải Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) . Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 32 Hay x2 + y2 – 2x- 6y – 22 = 0. Chọn B. Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 – 6x – y + 1 = 0. C. x2 + y2 – 2x – 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0. Lời giải Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31 Tương đương : ( x + 4)2 + (y – 2)2 + (x – 2)2 + (y + 3)2 = 31 Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Chọn D. Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2 B. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4 C. ( x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 D. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 Lời giải Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4 Chọn B. Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 4y – 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0. C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Hướng dẫn giải Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là: Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 10 Hay x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0. Chọn B. Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 – 2x + 6y – 3 = 0. B. x2 +y2 – 2x – 6y – 22 = 0 C. x2 +y2 + 2x + 6y – 3 = 0 D. x2 +y2 + 2x + 6y – 15 = 0 Hướng dẫn giải Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) . Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 32 hay x2 +y2 – 2x – 6y – 22 = 0 Chọn B. Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành? A.(x – 1)2 + y2 = 16 B. (x – 10)2 + y2 = 50 C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x – 10)2 + y2 = 50 Lời giải + Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0). ⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x – a)2 + y2 = R2. + Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 – a)2 + 12 = R2 (1). + Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 – a)2 + 52 = R2 ( 2). Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a – 40 = 0 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50. Vậy phương trình đường tròn ( C): (x – 10)2 + y2 = 50 Chọn D. Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0? A. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y – 3 = 0 C. x2 + y2 + 4x – 3 = 0 D. Tất cả sai Lời giải Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( với a2 + b2 – c > 0) Là đường tròn có tâm I(a; b). + Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 – 2b + c = 0 hay – 2b + c = – 1 (1) + Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 – 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2) + Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3). Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình : ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y – 3 = 0 Chọn B. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là A. (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4. B. (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4. C. (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4. Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 B. x2 + y2 + 2x – 4y – 3 = 0 C. x2 + y2 – 2x – 4y – 5 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 4y – 5 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là: + Khi đó đường tròn có phương trình là: (x + 1)2 + (y – 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x – 1)2 + (y – 4)2 = √5 C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5 D. (x – 1)2 + (y – 4)2 = 5 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là: Khi đó đường tròn có phương trình là: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 5 Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0 B. x2 + y2 – 2x – 6y + 22 = 0 C. x2 + y2 – 2x – y – 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0 Câu 6: Cho hai điểm A( – 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn : A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 – 6x – 5y + 1 = 0 C. x2 + y2 – 2x – 6y – 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y – 2)2 và MB2 = ( x – 2)2 + (y + 3)2 Để MA2 + MB2 = 31 ⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 + (x – 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0? A. x2 + y2 + 2x + 2y – 11 = 0 B. x2 + y2 – 2x + 2y – 11 = 0 C. x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0). Đường tròn này có tâm I(a;b). + Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1). + Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên: 1 + 4 – 2a – 4b + c = 0 hay -2a – 4b + c = – 5 (2) + Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên : 4 + 1 – 4a – 2b + c = 0 hay – 4a – 2b + c = -5 (3) Từ (1); (2) và (3) ta có hệ: ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y – 11 = 0 Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn? 🔢 GIA SƯ TOÁN |