Bài toán rút gọn biểu thức có x năm 2024

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là một trong những phần kiến thức căn bản mà học sinh lớp 9 cần chú ý, sẽ xuất hiện nhiều trong phần bài tập. Nếu học sinh còn chưa nắm rõ phần này thì cùng THPT Lê Hồng Phong giải những bài tập sau đây để hiểu sâu hơn nhé!

Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Để làm bài tập hiệu quả thì trước hết các em cần nắm chắc phần lý thuyết của bài này

Tham khảo bài viết Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Dưới đây là phần bài tập có trong SGK Toán 9 được tổng hợp lại

Bài 58: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 59: Rút gọn các biểu thức sau (với a > 0, b > 0):

Lời giải:

Bài 60: Cho biểu thức

với x ≥ -1.

1. Rút gọn biểu thức B;

2. Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

1. Rút gọn:

Lời giải:

2. Để B = 16 thì:

⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 (thỏa mãn x ≥ -1)

Bài 61: Chứng minh các đẳng thức sau:

Lời giải:

1. Biến đổi vế trái:

2. Biến đổi vế trái:

Câu 1. Cho biểu thức \[C=\left( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1} \right)\]

1. a) Tìm điều kiện xác định và và rút gọn C
2. b) Tìm a để \[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\]

HD:

1. a) \[C=\frac{1}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}:\frac{3}{\left( \sqrt{a}-2 \right)\left( \sqrt{a}-1 \right)}=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]
2. b) \[C=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]

Để có \[\sqrt{C}\] thì \[\sqrt{a}-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge 4\]

\[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow C\ge \frac{1}{6}\Leftrightarrow C-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\ge 0\Leftrightarrow a\ge 16\]

Câu 2. Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left( \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2} \right)\], với \[x>0\].

1. a) Rút gọn biểu thức \[A\].
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để \[A\ge \frac{1}{3\sqrt{x}}\].

Câu 3. Cho biểu thức $P=\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a} \right):\left( \frac{{{a}^{2}}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right)\left( \begin{align}

& a>0 \\

& a\ne 1 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $P$
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $a$để $P>2$.
3. c) Tìm a nguyên để P lớn nhất

HD:

1. a) Với $a>0,a\ne 1$ ta có:

$\begin{align}

& P=\left( \frac{{{\left( \sqrt{a}+1 \right)}^{{2}}-{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}}{2}}+4\sqrt{a}\left( a-1 \right)}{\left( \sqrt{a}-1 \right)\left( \sqrt{a}+1 \right)} \right):\left( \frac{a\sqrt{a}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{\sqrt{a}+1} \right) \\

& =\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1+4a\sqrt{a}-4\sqrt{a}}{a-1}:a\sqrt{a} \\

& =\frac{4a\sqrt{a}}{a-1}.\frac{1}{a\sqrt{a}}=\frac{4}{a-1} \\

\end{align}$

1. b) Tìm a để $P>2$

$P>2\Leftrightarrow \frac{4}{a-1}>2\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-1>0\Leftrightarrow \frac{3-a}{a-1}>0\Leftrightarrow 1

Vậy $12$

1. c) $P=\frac{4}{a-1}$

Ta thấy với $a\ge 0,a\ne 1,a\in Z\Rightarrow \left[ \begin{align}

& a=0\Rightarrow P<0 \\

& a>1\Leftrightarrow a\ge 2\Rightarrow P\le \frac{4}{2-1}=4 \\

\end{align} \right.$ nên P lớn nhất khi $a=2$.

Vậy ${{P}_{max}}=4$ khi $a=2$.

Câu 4. Cho biểu thức $A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{x-3+\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2}\left( \begin{align}

& x\ge 1 \\

& x\ne 2 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $A$
2. b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A>2$

HD:

1. a) Với ĐK $x\ge 1,x\ne 2$ ta có

$\begin{align}

& A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2} \\

& =\frac{x+6\sqrt{x-1}-8}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+7 \right)}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2} \\

\end{align}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}.$

1. b) $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}>2\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+7>2\left( \sqrt{x-1}+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<3\Leftrightarrow x<5$

Kết hợp điều kiện suy ra x.

Câu 5. Cho hai biểu thức \[A=\frac{2x-8\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\] và \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\] với \[x\ge 0;x\ne 16\].

1. a) Rút gọn biểu thức B
2. b) Đặt P = A.B. Tìm x biết \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

HD:

1. a) \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\]

\[\begin{align}

& B=\left( \frac{2\left( \sqrt{x}+4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}-\frac{5-\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4} \\

& B=\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}\times \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}=\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

\end{align}\]

1. b)

\[\begin{align}

& P=A.B=\frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\sqrt{x}+5}.\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

& P=\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \\

\end{align}\]

Điều kiện tồn tại: \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

$\left\{ \begin{align}

& 2P-1\ge 0 \\

& P-2\ge 0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

& P\ge \frac{1}{2} \\

& P\ge 2 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow P\ge 2\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\ge 2\Leftrightarrow 6\sqrt{x}\ge 2\sqrt{x}+10\Leftrightarrow 4\sqrt{x}\ge 10$

$\sqrt{x}\ge \frac{5}{2}\Leftrightarrow x\ge \frac{25}{4}$. Vậy điều kiện của bài toán là $x\ge \frac{25}{4}$ và $x\ne 16$

Khi đó:

\[\sqrt{2P-1}=P-2\Leftrightarrow 2P-1={{\left( P-2 \right)}^{2}}={{P}{2}}-4P+4\Leftrightarrow {{P}^{2}}-6P+5=0\Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( P-5 \right)=0\]

\[\begin{align}

& \Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& P=1(loai) \\

& P=5 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}=5\Leftrightarrow 6\sqrt{x}=5\sqrt{x}+25 \\

& \Leftrightarrow \sqrt{x}=25\Leftrightarrow x=625 \\

\end{align}\]

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!