Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = k, trong đó (A(x) là biểu thức chứa x, k là 1 số cho trước ta làm như sau: Show
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm). - Nếu k = 0 thì ta có |A(x)| = k $\Rightarrow $ A(x) = 0 - Nếu k > 0 thì ta có |A(x)| = k $\Rightarrow $ A(x) = k hoặc A(x) = -k Ví dụ 1: Tìm x biết:
Hướng dẫn:
$\Leftrightarrow \left | 2x-\frac{7}{4} \right | = \frac{3}{2}-\frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow \left | 2x-\frac{7}{4} \right |=\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 2x-\frac{7}{4} = \frac{1}{4}$ hoặc $2x-\frac{7}{4} = -\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{3}{4}$ 2. Tìm giá trị của x trong bài toán dạng |A(x)| = |B(x)| Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = |B(x)|, trong đó (A(x) và B(x) là biểu thức chứa x ta vận dụng tính chất sau: |a| = |b| $\Leftrightarrow $ a = b hoặc a = -b. Tức là |A(x)| = |B(x)| $\Leftrightarrow $ A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x) Ví dụ 2: Tìm x biết:
Hướng dẫn:
$\Leftrightarrow $ 5x - 4 = x + 4 hoặc 5x - 4 = -(x + 4) $\Leftrightarrow $ 4x = 8 hoặc 6x = 0 $\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = 0 Vậy x = 2 hoặc x = 0
$\Leftrightarrow $ |7x-1| = |5x+1| $\Leftrightarrow $ 7x - 1 = 5x + 1 hoặc 7x - 1 = -(5x + 1) $\Leftrightarrow $ 2x = 2 hoặc 12x = 0 $\Leftrightarrow $ x = 1 hoặc x = 0 3. Tìm giá trị của x trong bài toán dạng |A(x)| = B(x) Để tìm x trong bài toán dạng |A(x)| = B(x) (*), (trong đó A(x) và B(x) là biểu thức chứa x) ta thực hiện 1 trong 2 cách sau: Cách 1: - Điều kiện B(x) $\geq $ 0 - Khi đó bài toán được đưa về dạng |A(x)| = |B(x)| $\Leftrightarrow $ A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x) - Tìm x rồi đối chiếu với điều kiện B(x) $\geq $ 0 rồi kết luận. Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện để khử bỏ dấu trị tuyệt đối TH1: Nếu A(x) $\geq $ 0 thì (*) trở thành A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu với điều kiện A(x) $\geq $ 0) TH2: Nếu A(x) < 0 thì (*) trở thành -A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu với điều kiện A(x) < 0) Ví dụ 3: Tìm x, biết:
Hướng dẫn:
Điều kiện $5 - 2x \geq 0 \Rightarrow x\leq \frac{5}{2}$. Khi đó ta có: $|x - 3| = |5 - 2x|$ $\Leftrightarrow $ $x - 3 = 5 - 2x$ hoặc $x - 3 = 2x - 5$ $\Leftrightarrow 3x = 8$ hoặc $x = 2$ $\Leftrightarrow x = \frac{8}{3}$ (không thỏa mãn $x\leq \frac{5}{2}$) hoặc $x = 2$ (thỏa mãn $x\leq \frac{5}{2}$) Vậy x = 2
TH1: $5 - x \geq 0 \Leftrightarrow x\leq 5$. Khi đó ta có: 5 - x = 3x + 1 $\Leftrightarrow 4x = 4$ $\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn $x\leq 5$) TH2: $5-x < 0 \Leftrightarrow x > 5$. Khi đó ta có: x - 5 = 3x + 1 $\Leftrightarrow 2x = -6$ $\Leftrightarrow x = -3$ (không thỏa mãn x > 5) Vậy x = 1 4. Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: Ta lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: |A(x)| + |B(x)| + |C(x)| = m. Căn cứ bảng trên xét từng khoảng bài toán (đối chiếu điều kiện tương ứng) Đáp ứng được yêu cầu đổi mới của SGK, theo chương trình giảm tải, chuẩn kiến thức kỹ năng. Nội dung kiến thức hài hoà, thiết thực phù hợp với đối tượng học sinh, không quá dễ đối với học sinh khá giỏi, mà cũng không quá khó đối với học sinh yếu, trung bình. Tập cho học sinh có thói quen nhận xét, phán đoán, phân tích, tổng hợp kiến thức, chủ động sáng tạo để tìm con đường phù hợp mà ngắn nhất để đi đến kết quả. Giúp học sinh biết cách tự học, biết hợp tác trong học tập, phấn đấu vươn lên để chiếm lĩnh kiến thức mới. Trên cơ sở học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản qua giờ học lý thuyết, biết xâu chuỗi kiến thức đã được học để vận dụng vào bài tập cụ thể một cách hợp lý. Qua việc nhận dạng phân loại bài tập thành thạo, từ đó học sinh mới phát hiện được kiến thức vận dụng và định hướng giải bài tập một cách nhanh nhất. 2. Cơ sở thực tiễn Qua nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải các bài tập về giá trị tuyệt đối như: - Tính giá trị biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối - Rút gọn biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối - Tìm x, giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất với biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Học sinh thường có thói quen : + Không nghiên cứu kỹ đầu bài. + Không tìm hiểu các kiến thức liên quan đến dạng bài tập. + Không tìm điều kiện để biểu thức được xác định. + Không biết khai thác phát triển bài tập. 3. Lý do chọn đề tài: Đại số là bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học cơ sở, trong đó giá trị tuyệt đối thuộc nhóm kiến thức hẹp nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS cũng như toán THPT. Trong quá trình giảng dạy ở bốn khối 6,7,8 và 9 tôi thấy giá trị tuyệt đối là phạm trù kiến thức tương đối trừu tượng nhưng lại dàn trải trong toàn bộ chương trình toán THCS, cụ thể ở chương trình lớp 6 ( đối với số nguyên ) , lớp 7 ( đối với số thực ) và tiếp tục học ở lớp 8 ( giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối), lớp 9 ( các bài toán về đồ thị, phương trình bậc 2,...) cũng vận dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối nhưng thời gian dành cho giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối còn ít, chủ yếu là đưa ra định nghĩa còn bài tập vận dụng lại không nhiều, không có tính hệ thống, nên nhiều khi đem đến cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp dạng toán này. Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu . Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản, song số bài tập để cũng cố khắc sâu, bao quát kiến thức lại không nhiều , không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hứng thú , hăng say học tập của học sinh. Xuất phát từ những lý do trên , tôi chỉ trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Theo luật giáo dục điều 24 khoản 2 có ghi Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học,bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đối với môn toán yếu tố sáng tạo là vô cùng cần thiết, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản, trên cơ sở đó học sinh còn phải biết tổng hợp các kiến thức cơ bản đã được học trong suốt chương trình toán cấp hai, từ đó tìm ra kiến thức mới. Vì vậy người thầy giáo luôn phải quan tâm đến việc củng cố kiến thức cũ, giúp học sinh khám phá tìm tòi kiến thức mới và luôn quan tâm đến việc chuẩn lại kiến thức cho học sinh. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đưa ra cách giải một số bài toán về giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 Đối tượng học sinh: Yếu ( Dạng 1), Trung bình (dạng 1; 2), Khá (dạng 2,3,4,5) Giỏi (dạng 5,6,7). IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sách sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập. - Chuẩn kiến thức kỹ năng - Qua dự giờ đồng nghiệp và kinh nghiệm giảng dạy, ôn tập đối với các đối tượng học sinh. - Thông qua kiểm tra miệng, kiểm tra viết 15 phút, 45 phút. - Kiểm tra trắc nghiệm kết hợp trong giờ học ở các phần củng cố kiến thức. - Quan sát hoạt động nhóm của học sinh. - Qua các đề kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ - Qua chấm bài, lưu ý học sinh những sai lầm học sinh thường mắc.
- Đề tài được áp dụng cho học sinh lớp 7 và các học sinh Giỏi, khá, trung bình môn toán và được thực hiện trong các giờ luyện tập, ôn tập, chuyên đề về giải bài tập chứa dấu giá trị tuyệt đối - Thời gian: thực hiện trong một năm học PHẦN II: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Thuận lợi: Giá trị tuyệt đối thường nằm trong các biểu thức, các dạng toán quen thuộc với học sinh như tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, tìm x, y…. 2. Khó khăn: - Học sinh thường gặp khó khăn trong quá trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối - Học sinh thường hay bị sai dấu - Học sinh không phát hiện được kiến thức liên quan. - Tâm lý nặng nề luôn cho môn toán là khô, là khó. II. THỰC TRẠNG LIÊN QUAN ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: - Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi thấy học sinh thường hay mắc phải một số sai lầm nghiêm trọng làm ảnh hưởng đến kết quả bài toán. - Dạng toán này dàn trải suốt các lớp học nhưng lại ít được luyện tập - Đặc thù của dạng bài tập là liên quan đến nhiều kiến thức toán học. - Tâm lý học sinh thường sợ khi gặp các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối III. BIỆN PHÁP: - Xác định dạng bài tập và kiến thức liên quan. - Các bước thực hiện, mỗi bước giải được gắn với nội dung cụ thể có liên quan đến lý thuyết cơ bản. - Hướng dẫn và rèn cho học sinh tư duy trong giải toán, khai thác các cách giải khác nhau. - Có sự chuẩn bị của học sinh (làm bài tập về nhà), học sinh luôn nhớ các kiến thức thường gặp trong bài toán giá trị tuyệt đối. - Lưu ý học sinh cách trình bày bài giải, thói quen khai thác phát triển bài toán, luôn đảm tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo. IV. KIẾN THỨC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI: Trước khi đưa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phương pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ được định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập. Từ các khái niệm về giá trị tuyệt đối, các định lí, tính chất, giáo viên củng cố, khắc xâu kiến thức cho học sinh để từ đó học sinh vận dụng vào giải quyết bài tập. 1.Định nghĩa: Với a Î Q thì |a| \= a nếu a ³ 0. - a nếu a £ 0. 2. Tính chất: Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau: * |a| \= 0 < = > a = 0 * |a| \= |- a| với aÎ R. * |a| ³ 0 với a Î R. Dấu “=” xảy ra < = > a = 0. * |a| ³ a với a Î R. Dấu “=” xảy ra < = > a ³ 0. * |a| ³ - a với a Î R. Dấu “=” xảy ra < = > a £ 0. * |a +b| £ |a| +|b| với a,b Î R. Dấu “=” xảy ra < = > ab ³ 0. 3.Một số tính chất đặc biệt về giá trị tuyệt đối * (Dấu bằng xảy ra khi xy 0) * (Dấu bằng xảy ra hoặc ) * * hoặc x < -m V.THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Phương pháp chung để giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của giá trị tuyệt đối. Làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên. Sau đó làm các bài tập nâng cao và bài tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh. Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc. 2. Một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.1. Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức: Đối với dạng toán này giáo viên phải cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức. A = 3x2 - 2x + 1 với |x| \= 2 Bài giải: Vì |x| \= 2 => x = 2 x = -2 * Với x = 2 ta có : A = 3.22 - 2.2 + 1 = 9. * Với x = -2 ta có : A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 17. Vậy với |x| \= 2 thì : A = 9 hoặc A = 17.
B = 2 |x - 2| - 3 |1- x| tại x = 4 Bài giải: Thay x = 4 vào biểu thức B ta có: B = 2 |4 - 2| - 3 |1 - 4| \= 2.2 - 3.3 = - 5. Vậy khi x = 4 giỏ trị biểu thức B là -5 Nhận xét: Ở ví dụ 1 để tính giá trị biểu thức ta cần bỏ dấu giá trị để tìm giá trị của x rồi thay vào biểu thức và tính. Ở ví dụ 2 ta đã biết giá trị cụ thể của x nên ta sẽ thay giá trị của x vào biểu thức trước rồi mới bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong biểu thức và tính Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm). Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - |x - 8| Ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trường hợp của biến x làm cho x - 8 ³ 0; x - 8 < 0. |x - 8| \= x - 8 với x - 8 ³ 0; <=> x ³ 8. - (x -8) = - x + 8 với x - 8 < 0 <=> x <8. Cách giải * Với x ³ 8 thì A = 3(2x - 3) - (x - 8) A = 6x - 9 - x +8. A = 5x - 1. * Với x < 8 thì: A = 3(2x - 3) - (-x + 8) = 6x - 9 + x - 8 = 7x - 17 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:A = |x - 3| - |x - 4| Ở đây biểu thức A có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó để đơn giản trong trình bày ta lập bảng xét dấu. |x - 3| \= x - 3 nếu x ³ 3 3 - x nếu x < 3 |x - 4| \= x - 3 nếu x ³ 4 3 - x nếu x < 4 x 3 4 x - 3 - 0 + 1 + x - 4 - -1 - 0 + giải: Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x. * Nếu x < 3 thì A = (3 - x) - (4 - x) = 3 - x - 4+x = -1. * Nếu 3 £ x £ 4 thì. A = (x - 3) - (4 - x) = x - 3 - 4 + x = 2x - 7. * Nếu x > 4 thì. A = (x - 3) - (x - 4) = x - 3 - x + 4 = 1. Vậy: A = - 1 nếu x < 3. 2x - 7 nếu 3 £ x £ 4 1 nếu x > 4 Ví dụ 3: Cho đa thức A = 2x2 + - (5 – x + 2x2)
Bài giải
Khi đó A = 2x2 + ( 7x – 1) – 5 + x – 2x2 = 8x – 6 *Với thì Khi đó A = 2x2 + ( 1 – 7x) – 5 + x – 2x2 = - 6x – 4
Với x < thì -6x – 4 = 2 - 6x = 6 x = -1(thỏa mãn điều kiện x < ) Vậy x = 1 hoặc x = -1 thì A = 2 Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ở dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau: 3.1. |f(x) | \= a (a ³ 0) < => f(x) = a f(x) = - a 3.2. |f (x) | \= | g(x) | <= > f(x) = g(x) f(x) = - g(x) 3.3. |f(x)| \= g(x). Phải xét 2 trường hợp: * f(x) ³ 0 thì |f(x)| \= f(x). * f (x) < 0 thì |f(x)| \= - f(x). 3.4. |f(x)| + |g(x)| \= a. Ở dạng này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trường hợp xảy ra (lưu ý học sinh số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1). Ví dụ 1: Tìm x biết: |2x - 1| \= 3. Bài toán này thuộc dạng 3.1. Cách giải: |2x - 1| \= 3. 2x - 1 = 3 2x = 4 x = 2 2x - 1 = - 3 2x = - 2 x = -1 Vậy x Î - 1; 2 Ví dụ 2: Tìm x biết: | x-7| + x - 5 = 3. Cách giải. |x - 7| + x - 5 = 3 (1) Xét 2 trường hợp. * Nếu x - 7 ³ 0 < => x ³ 7 thì |x - 7| \= x - 7. Từ (1) => x - 7 + x - 5 = 3. 2x - 12 = 3. 2x = 15. x = 7,5 > 7. Thoả mãn điều kiện. * Nếu x - 7 < 0 < => x < 7 thì |x - 7| \= 7 - x Từ (1) 7 - x + x - 5 = 3. 0x + 2 = 3. 0x = 1 (vô lý) Vậy: x = 7,5. Ví dụ 3: Tìm x biết |x - 3| + |5 - x| \= 0 Dạng này phải vận dụng nhận xột: |f(x)| ³ 0. Cách giải. Vì |x-3| ³ 0 và |5-x| ³ 0 với x Î R. Do đó: |x - 3| + |5-x| \= 0 khi và chỉ khi x = 3 và x = 5. Điều này không thể đồng thời xảy ra. Vậy không tồn tại x thoả mãn yêu cầu của đề bài. Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối. Ở dạng này giáo viên lưu ý quy tắc sau: |f(x) | \= f(x) nếu f(x) ³ 0 - f(x) nếu f(x) < 0 Sau đó lần lượt giải tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ các giá trị của biến. Ví dụ 1: Tìm x biết: |3x - 2| < 4 (1). Ở dạng này cần vận dụng với a là hằng số dương Nếu |f(x)| < a thì - a < f(x) < a; (f(x) nằm trong khoảng). Cách giải: Cách 1: |3x - 2| < 4. - 4 < 3x - 2 < 2 < 4 - 2 < 3x < 6. - < x < 2. Cách 2: |3x - 2| \= 3x - 2 nếu x ³ . - 3x + 2 nếu x < * Nếu x ³ (*) thì (1) trở thành 3x - 2 < 4 => x < 2 (**) Từ (*). (**) => £ x < 2 (2) * Nếu x < (3) thì (1) trở thành - 3x + 2 < 4 x > - (4) Từ (3) và (4) => - < x < (5). Từ (2), (5) => - < x < 2. Cách 3: Lập bảng biến đổi |3x - 2| < 4 <=> |3x - 2| - 4 < 0. x |3x - 2| - 4 - 2 - 3x 3x - 6 Nghiệm thích hợp - < x < £ x < 2 Vậy - £ x < 2. Ví dụ 2: Tìm x biết |x + 5| \>7. Với bài toán naỳ ta cú thể làm theo các cách sau: Cách giải. Cách 1: Ta có: |x + 5| \= x + 5 nếu x ³ - 5.n - x - 5 nếu x < - 5. * Với x ³ - 5 thì (1) trở thành x + 5 > 7; x > 2 (Thoả mãn điều kiện đang xét). * Với x < - 5 thì (1) trở thành - x - 5 > 7 x < 12 (Thoả mãn điều kiện đang xét). Vậy: x < -12 hoặc x > 2. Qua cách làm trên giáo viên chỉ ra cho học sinh vấn đề sau: Với a là hằng số dương Nếu |f(x) | \> a thì f(x) > a. f(x) < - a (f(x) nằm ngoài khoảng). Cách 2: |x + 5| \> 7. <=> x + 5 > 7 <=> x > 2 x + 5 < -7 x < - 12 Vậy x < - 12 hoặc x > 2. Cách 3: Lập bảng biến đổi. |x + 5| \> 7 < => |x +5| - 7 > 0. x |x + 5| - 7 - x - 12 x - 2 Nghiệm thích hợp x < - 12 x > 2 Vậy x < - 12 hoặc x > 2. Ví dụ 3: Tìm x, biết : Đối với bài này giáo viên lưu ý hoc sinh lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. (***) Cách giải: Bảng xét dấu X 1 3 x- 1 0 + + 3 – x + + 0 1- x x - 1 x - 1 3 - x 3 - x x - 3 Từ bảng xét dấu ta có: Nếu x < 1 thì (***) trở thành : 1 – x + 3 – x > 5 - 2x > 2 x < - 1 ( TMĐK x < 1) Nếu thì (***) trở thành : x – 1 + 3 – x > 5 2 > 5 ( Vô lý ) Nếu x > 3 thì (***) trở thành : x – 1 + x – 3 > 5 2x > 9 x > (TMĐK x > 3 ) Vậy : x < - 1, x > . ( Bất phương trình có nghiệm x < - 1, x > ) Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng với a là hằng số dương. * Nếu |f(x) | < a thì - a < f(x) < a. * Nếu |f(x) | \> a thì f(x) > a f(x) < - a Hoặc chuyển hết về 1vế là 1 biểu thức, vế kia bằng 0 sau đó lập bảng xét dấu. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức: A = 5|3x - 2| - 1. Lưu ý kiến thức vận dụng: | a| ³ 0 với a Î R để giải. Cách giải. Ta có |3x - 2| ³ 0 với x Î R. \= > 5|3x - 2| ³ 0 với x Î R. \= > A = 5 |3x - 2| - 1 ³ \= - 1 với x Î R. Dấu “=” xảy ra < = > 3x - 2 = 0 < => hay x = . Min A = - 1 <= > x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = Giải: Ta có : xR xR xR A -12 xR Dấu “ = “ xảy ra khi x - 3 = 0 hay x = 3 Vậy giá trị lớn nhất của A là -12 khi x = 3. VÝ dô 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ở đây học sinh phải biết vận dụng tính chất của giá trị tuyệt đối: và lưu ý a, b R Cách gải: Ta có: Với mọi x với mọi x Dấu “ = “ xảy ra (x – 2007)(2008 – x)0 2007 Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 1 khi 2007 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đối với loại bài này ngoài sử dụng tính chất aR, học sinh cần phải biết đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất. D đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất . Ta có với mọi x R. . Do đó giá trị lớn nhất của D = khi x = 2. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x - 5| + |x - 7| Dạng bài này giáo viên giới thiệu cho học sinh 4 cách giải sau: Cách 1: Bài toán phụ: Chứng minh rằng: |a|+|b| ³ |a + b| Dấu “=” xảy ra < = > ab ³ 0 Áp dụng bài toán phụ, ta có: B = | x - 5 | + | x - 7 | \= | x - 5 | + | 7 - x | \> | x - 5 + 7 - x| B \> | 2 | \= 2. Dấu “=” xảy ra: <=> (x - 5) (7 - x) \> 0 < => 5 < x < 7. (Lập bảng xét dấu). Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7. Cách 2: Ta có 3 trường hợp sau (dựa vào bảng xét dấu). * Nếu x < 5 thì B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12 Vì: x < 5 <=> -2x > -10 <=> -2x + 12 > 2 Ta có: | x - 5 | + | x - 7 | \> 2 * Nếu 5 < x < 7, ta có: B = x - 5 - x + 7 = 2 * Nếu x > 7, ta có: B = x - 5 + x -7 = 2x - 12. Vì x > 7 <=> 2x >14 nên 2x - 12 > 2 Do đó: | x - 5 | + | x - 7 | \> 2 Vậy Min B = 2 <=> 5 < x < 7. Ví dụ 6: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất. C = | x + 5 | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 | Để giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh vận dụng định nghĩa và các tính chất sau: * A nếu A \> 0 - A nếu A < 0 * | B | \> B dấu “=” xảy ra <=> B \> 0 * | C | \> - C dấu “=” xảy ra <=> C < 0 * | D | \> 0 dấu “=” xảy ra <=> D = 0 Cách giải: | x + 5| \> - ( x + 5) = - x - 5 | x + 13 | \> - ( x + 13) = - x - 13 | x + 20 | \> 0 | x + 77 | \> x + 77 | x + 2005 | \> x + 2005 Do đó C \> - x - 5 - x - 13 + 0 + x + 77 + x + 2005 = 2064. Dấu “=” xảy ra <=> x + 5 < 0; x + 13 < 0; x + 20 = 0; x + 77 \> 0; x + 2005 \> 0 Từ đó ta có x = - 20.Vậy với x = - 20 thì Min C = 2064. Dạng 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Với loại toán này nhằm phát triển tư duy cho học sinh sau khi học sinh đã được khắc sâu lý thuyết và làm thành thạo các dạng toán cơ bản về giá trị tuyệt đối . Ví dụ 1: Cho , . Chứng minh rằng : Với bài toán này học sinh chỉ cần áp dụng tính chất . Cách giải: Ta có : và < 2 + 3 = 5 .Vậy Ví dụ 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho Cách giải: Ở đây x và y có vai trò bình đẳng . Ta xét x chẳng hạn , do , ta có : vì x nên + Nếu hay x = 0 thì + Nếu hay thì + Nếu hay x= thì Vậy có 8 cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán: (x = 0; y=2) , (x = 0; y= - 2) , (x =1; y=1) , (x =1; y= -1) , (x= -1; y = 1) (x = - 1; y = - 1), (x = 2; y= 0 ) và (x= - 2 ; y = 0) Ví dụ 3: Cho đẳng thức ( a, b )
Cách giải:
mà mà trái với giả thiết a và b khác 0. Vậy : a < 0, b > 0.
Vậy khi b = 0 thì
Vậy khi a = 0 thì b = - 1. Ví dụ 4: Cho . Chứng minh rằng : Cách gải: Ta có : Do: Nên . Vậy , dấu “ = “ xảy ra khi . 3. Bài tập vận dụng 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
2. Rút gọn các biểu thức sau:
3. Tìm x, biết:
4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
VI - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Qua nghiên cứu về việc hướng dẫn học sinh giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối, giáo viên giúp được học sinh tự tin trong việc nắm bắt kiến thức, vận dụng kiến thức trong cả một quá trình học tập vào làm bài tập. Có hướng đi đúng như yêu cầu đổi mới theo chuẩn kiến thức kỹ năng của sách giáo khoa như: + Nhắc lại và vận dụng kiến thức toán học theo biểu đồ tư duy một cách thông minh và linh hoạt. + Vận dụng được những kiến thức đã học qua nhiều năm vào bài tập một cách hợp lý, thành thạo và chính xác. + Thông qua các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, áp dụng với đối tượng học sinh lớp 7A và 7B cho thấy học sinh ít bị sai lầm hơn, kết quả có khả quan hơn, cụ thể: Về môn toán là đối tượng học sinh trung bình, yếu (dưới 15 %) Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Tỉ lệ Lớp Tỉ lệ học sinh giỏi Tỉ lệ học sinh khá Tỉ lệ học sinh Trung bình Tỉ lệ học sinh yếu, kém 7A 20% 25% 40,7% 14,3% 7B 10% 15,5% 58,5% 16 % Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Tỉ lệ Lớp Tỉ lệ học sinh giỏi Tỉ lệ học sinh khá Tỉ lệ học sinh Trung bình Tỉ lệ học sinh yếu, kém 7A 30% 30% 32% 8% 7B 22% 29,5% 37,8% 10,7% Với đối tượng học sinh yếu kém tôi luôn động viên, khích lệ học sinh nhằm giúp các em có phương pháp tự học tốt nhất. Thân thiện, gần gũi với học sinh trong giờ học cũng như ngoài giờ lên lớp và lưu ý hướng dẫn học sinh học tập tuân thủ theo 4 điều sau;1/ Luôn cố gắng chủ động học tập, xem thật kỹ các ví dụ đã làm, các ví dụ trong sách giáo khoa, rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp đã học vào bài tập ứng dụng.2/ Luôn tự tin, rèn tính say mê với quan điểm “Muốn biết thì hỏi, muốn giỏi thì phải học”. Tuyệt đối không xấu hổ vì không biết.3/ Tìm các bài tập tương tự “đã có lời giải” trong sách tham khảo, rèn luyện tính kiên trì, nhẫn lại.4/ Không có quan niệm môn toán là khô khan, khó hiểu. Cần phải thấy rằng: Không có con đường nào dễ dàng đi đến thành công, mà phải qua gian khó thì mới thấy được giá trị của thành công đó.PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
+/ Cần có đầy đủ dụng cụ, thiết bị dạy học cần thiết+/ Các lớp học bồi dưỡng chuyên môn trong dịp hè cần cung cấp cho giáo viên các kiến thức mới, chuyên sâu về môn toán, bàn về giải pháp giảng dạy có hiệu quả nhất đối với một số chuyên đề khó trong chương trình toán cấp hai.+/ Phân công giáo viên dạy chuyên theo khối để có điều kiện thực hiện các đề tài.+/ Nhà trường thường xuyên tổ chức các lớp bồi dưỡng học sinh yếu, kém, để giúp các em nâng cao kiến thức, tự tin hơn trong học tập.Giá trị tuyệt đối là gì Toán 7?Giá trị tuyệt đối (tiếng Anh: Absolute value) - còn thường được gọi là mô-đun (modulus) của một số thực x được viết là |x|, là giá trị của nó nhưng bỏ dấu. Như vậy |x| = -x nếu x là số âm (-x là số dương), và |x| = x nếu x là số dương, và |0| =0. Hai giá trị tuyệt đối bằng nhau khi nào?Tính chất của giá trị tuyệt đối. tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. Giá trị tuyệt đối của số nguyên âm là gì?Giá trị tuyệt đối (absolute value) là khái niệm toán học dùng để chỉ giá trị của một biến (còn gọi là môđun), không tính đến dấu của chúng. Như vậy, giá trị tuyệt đối của một số dương là chính số đó, còn giá trị tuyệt đối của một số âm là số đó nhưng không có dấu trừ. Điều kiện của giá trị tuyệt đối là gì?Với mọi số thực x, giá trị tuyệt đối của x được định nghĩa như sau: Nếu x > 0 thì |x| = x. Nếu x > 0 thì |x| = - x. Vậy giá trị tuyệt đối của giá trị tuyệt đối của a luôn là một số không âm. |
