A. Phương pháp giải+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. - Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. - Bước 2:Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 - Bước 3:Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng(–1;2). Hướng dẫn giải: Hàm số f(x) = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R. Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0. Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng(–1;2). Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3+ x - 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1]⊂ R) (1) Ta có: f(0) = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4+ 2x2- x - 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4+ 2.(-1)2- (-1) - 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3 f(1) = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình (m2- m + 3)x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2- m + 3)x2n- 2x - 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: C. Bài tập áp dụngBài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0. Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1). Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0 Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p) c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm: a) m(x - 1)(x - 2) + 2x + 1 = 0 b) (m2 - 2m)x3 + 2x - 1 = 0 c) cosx + mcoss2x = 0 d) (1 - m2)(x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0 Bài 9.Chứng minh rằng phương trình: a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm. b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm. c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm Bài viết hướng dẫn phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số. Kiến thức và các ví dụ minh học có trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu chuyên đề giới hạn đăng tải trên TOANMATH.com. Phương pháp: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng $f\left( x \right) = 0.$ + Bước 2: Tìm hai số $a$ và $b$ $(a<b)$ sao cho $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0.$ + Bước 3: Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Từ đó suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right).$ Chú ý: + Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) \le 0$ thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $\left[ {a;b} \right].$ + Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ và có $f\left( a \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {a; + \infty } \right).$+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left( { – \infty ;a} \right]$ và có $f\left( a \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { – \infty ;a} \right).$
Đã gửi 24-02-2016 - 20:47
Xét hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ là hàm số liên tục trên R ta có $\lim_{x\rightarrow +\infty } (x^3+ax^2+bx+c)=\lim_{x\rightarrow +\infty }x^3(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x^3})=+\infty$ nên tồn tại số dương m đủ lớn để f(m)>0. ta có$\lim_{x\rightarrow -\infty } (x^3+ax^2+bx+c)=\lim_{x\rightarrow -\infty }x^3(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x^3})=-\infty$ nên tồn tại số âm n, sao cho |n| đủ lớn để f(n)<0. vì f(m).f(n)<0 và hàm số f(x) liên tục trên đoạn [n,m] => f(x) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [n,m] => phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm với mọi a,b,c thuộc R
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! Chứng tỏ rằng phương trình bậc 3 luôn có nghiệm, pt có dạng như sau: ax^3+bx^2+cx+d=0 a,b,c,d là các tham số thuộc R. Và cũng 1 bài tương tự với pt bậc 4, có thêm đk là a*e<0 Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước.
Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước. Đặt [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/TEX]\Rightarrow f(x) liên tục trên R. T/h1: a>0:
\Rightarrow [TEX]f(a_1).f(b_1)<0[/TEX] \Rightarrow Pt có nghiệm nếu a>0 T/h2: a<0:
[TEX]\Rightarrow f(a_2).f(b_2)<0[/TEX] \Rightarrow Pt có nghiệm nếu a<0 Vậy pt f(x)=0 luôn có nghiệm.
Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước. Từ đó ta được đpcm. :-" |
