Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Show
A. ∆ =(m+1)2 ≥ 0, với mọi m. B. ∆ =(2m-1)2 ≥ 0, với mọi m. C. ∆ =(m-1)2 ≥ 0, với mọi m. D. ∆ =(2m+1)2 ≥ 0, với mọi m. A. Phương pháp giải+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. - Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. - Bước 2:Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 - Bước 3:Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng(–1;2). Hướng dẫn giải: Hàm số f(x) = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R. Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0. Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng(–1;2). Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3+ x - 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1]⊂ R) (1) Ta có: f(0) = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4+ 2x2- x - 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4+ 2.(-1)2- (-1) - 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3 f(1) = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình (m2- m + 3)x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2- m + 3)x2n- 2x - 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: C. Bài tập áp dụngBài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0. Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1). Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0 Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p) c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm: a) m(x - 1)(x - 2) + 2x + 1 = 0 b) (m2 - 2m)x3 + 2x - 1 = 0 c) cosx + mcoss2x = 0 d) (1 - m2)(x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0 Bài 9.Chứng minh rằng phương trình: a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm. b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm. c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm Mít Củ Gấu Nguyễnn Hiềnn |
