Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng toán 12 năm 2024

Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

(+84) 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

Với tài liệu về công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn cùng Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa.

MỤC LỤC

1. Lý thuyết về công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.1. Định nghĩa công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là những góc giữa những đường thẳng và hình chiếu trên đường thẳng vuông góc của nó lên phía trên của mặt phẳng.
• Nếu đường thẳng a vuông góc ngay với những phần của phần mặt phẳng (α) thì ta nói góc giữa những đường thẳng a và phần mặt phẳng (α) bằng 90 độ.

1.2. Kí hiệu góc giữa phần đường thẳng và mặt phẳng 1.

• Nếu a ⊥(α) thì ˆ(a, (α))=90°)
• Nếu a không còn những đường vuông góc với (α) thì ˆ(a, (α))=ˆ(a, a’) với a’ là hình chiếu của đường thẳng a lên (α)

1.3. Nhận xét

• Góc giữa những đường thẳng và mặt phẳng có những số đo từ những tọa độ 0°° đến 90°°
• Đường thẳng này thường song song hoặc nằm trong phần của mặt phẳng thì góc giữa chúng sẽ có độ dài bằng 0
  

2. Cách công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng của a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo những bước sau:

• Bước 1: Tìm những giao điểm O của đường thẳng a và (α)
• Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của tại một điểm của đoạn thẳng A ∈ a xuống (α)
• Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa những đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

• Để có thể dựng lên hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn được một đường thẳng của b ⊥ (α) khi đó đoạn thẳng AA’ // b.
• Để tính góc φ ta có sử dụng những hệ thức lượng trong những tam giác vuông OAA’.
  

3. Công thức để có xác định góc giữa những đường thẳng và mặt phẳng

• Công thức sinφ = sin ˆ(a, (α))(, ()^) = |cos(→n→; →u→)| = ∣∣→u.→n∣∣∣∣∣→u|.∣∣∣→n∣∣∣|→.→|||→.|→|

Trong đó:

• n→ là vector pháp tuyến của mặt phẳng (α)
• u→ là vector chỉ phương của đường thẳng a
• Nếu VTPT của (α) là n→ =(A; B; C) và VTCP của a là u→ =(a; b; c) thì góc được xác định bởi công thức:
  

3.1. Dạng 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy

• Tìm góc giữa những cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)
• Gọi H là hình chiếu đường vuông góc của S trên mặt phẳng trên đáy mặt phẳng (ABC).
• Như vậy HA là hình chiếu của đường vuông góc của đường SA trên mặt phẳng (ABC).
• Ví dụ 1: Cho hình chóp trên hình tứ giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại điểm B, có đoạn thẳng AB = a. Biết , SB tạo với những mặt đáy một góc 600 và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

1. Tính cosin góc giữa đoạn thẳng SC và mặt phẳng tại (ABC).

2. Tính cosin góc giữa đoạn thẳng SM và mặt phẳng tại (ABC).

• Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=2a;AD=a=2;. Tam giác (SAB) đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.

1. Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng (ABCD).

2. Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

1. Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH⊥AB

Mặt khác

{(SAB)⊥(ABCD)AB=(SAB)∩(ABCD)⇒SH⊥(ABCD).

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a√3, ,

HC=√HB2+BC2=a√2.

Do SH⊥(ABCD) (ˆSC;(ABCD))=ˆSCH

2. Ta có:

HI=√HB2+BI2=√a2+(a2)2=a√52.

Mặt khác (ˆSI;(ABCD))=ˆSIH (và ˆSIH=SHSI=a√3:a√52=2√155.

• Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD=2a=2. Biết SA⊥(ABCD) và đường thẳng SB tạo với đáy một góc 45∘.45∘.

1. Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD).

2. Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

1. Gọi O là trung điểm của AD ⇒⇒ OABC là hình thoi cạnh a ⇒CO=a=12AD⇒ΔACD

Do SA⊥(ABCD) ˆ(SB;(ABCD))=ˆSBA=45O.Do đó SA=ABtan45∘=a..

AC=√AD2−CD2=a√3⇒cosˆ(SC;(ABC))=cosˆSCA

\=ACSC=AC√SA2+AC2=a√3√a2+3a2=√32

cos(ˆSD;(ABCD))=cosˆSDA=AD√SA2+AD2=2√5.cos⁡

2. Ta có:

AI=√AC2+CI2=√3a2+(a2)2=a√132.

Do đó

tanˆ(SI;(ABCD))=tanˆSIA=SAAI=2√13.tan⁡.

3.2. Dạng 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao

Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SHA) với (SHA)⊥(ABH).

Dựng BK⊥AH và BK⊥SH⇒BK⊥(SHA).

Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).

Vậy ˆ(SB;(SAH))=ˆ(SB;SK)=ˆBSK.

• Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB=a,AD=a√3,SA⊥(ABCD). Biết SC tạo với đáy một góc 60∘60∘. Tính cosin góc tạo bởi:

1. SC và mặt phẳng (SAB); SC và mặt phẳng (SAD).

2. SD và mặt phẳng (SAC).

Lời giải

Do SA⊥(ABCD)⇒ˆ(SC;(ABCD))=ˆSCA=60∘.

Lại có: AC=√AB2+AD2=2a⇒SA=ACtan60∘=2a√3

⎪⎩SB=√SA2+AB2=a√13SD=√SA2+AD2=a√15SC=√SA2+AC2=4a. Do {CB⊥SACB⊥AB⇒CB⊥(SAB) ⇒ˆ(SC;(SAB))=ˆCSB

Mặt khác cosˆCSB=SBSC=√134.cos⁡

Tương tự CD⊥(SAD)⇒ˆ(SC;(SAD))=ˆCSD và cosˆSCD=SDSC=√154.cos⁡=154.

• Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BD=a√3,SA⊥(ABCD).

Biết SC tạo với đáy một góc 60∘60∘. Tính tan góc tạo bởi:

1. SC và mặt phẳng (SAB).

2. SD và mặt phẳng (SAC).

Lời giải

1. Ta có: AC⊥BD tại O. Khi đó OA=OC,OB=OD. Xét tam giác vuông OAB ta có: sinˆOAB=OBAB=√32sin⁡=32

⇒ˆOAB=60∘⇒ΔABC⇒ đều cạnh a.

Mặt khác

SA⊥(ABCD)⇒ˆ(SC;(ABCD))=ˆSCA=60∘.Suy ra SA=ACtan60∘=a√3. Dựng CH⊥AB⇒CH⊥(SAB)

⇒ˆ(SC;(SAB))=ˆCSH. Do ΔABC đều cạnh a nên H là trung điểm của AB.

Ta có: CH=a√32⇒tanˆCSH=CHSH=32 trong đó SH=√SA2+AH2=a√132.

Do đó tanˆCSH=√3√13=√3913.tan⁡=3913.

2. Ta có: {DO⊥ACDO⊥SA⇒(ˆSD;(SAC))=ˆDSO

Trong đó: OD=a√32;SO=√SA2+OA2=a√132⇒tanˆDSO=√3913.

Như vậy, Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa đã giúp bạn tìm hiểu về công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được trên có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn.Hãy gọi ngay đến Limosa qua số HOTLINE 1900 2276 để được đội ngũ nhân viên chăm sóc khách hàng hỗ trợ và giải đáp những thắc mắc cũng như cung cấp thông tin cho bạn

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớn nhất khi nào?

Có, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể lớn hơn 90 độ. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bằng cách lấy góc nhọn nhất giữa hai đường trong đó một đường là đường thẳng và một đường là đường chéo của mặt phẳng. Nếu góc nhọn này lớn hơn 90 độ, thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng sẽ lớn hơn 90 độ.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ?

1.1.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là những góc giữa những đường thẳng và hình chiếu trên đường thẳng vuông góc của nó lên phía trên của mặt phẳng. Nếu đường thẳng a vuông góc ngay với những phần của phần mặt phẳng (α) thì ta nói góc giữa những đường thẳng a và phần mặt phẳng (α) bằng 90 độ.

Góc giữa hai mặt phẳng là gì?

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Góc giữa 2 mặt phẳng chính là góc được tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng lại được gọi là "góc khối" bởi đó là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nào?

Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy. Định lí 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).