|
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính 1. Định nghĩa: Hệ phương trình dạng  Trong đó Ma trận Ma trận 2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở rộng của nó. Cột Hệ (1) có thể được viết lại dưới dạng Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho. Ta nói Nếu 3. Ví dụ: Hệ phương trình Hệ phương trình này còn có thể được viết dưới dạng Trong đó 4. Một vài hệ phương trình đặc biệt: 4.1 Hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A không suy biến (hay Ví dụ: Hệ phương trình 4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Nếu cột tự do của hệ bằng 0 (tức là Hệ này được gọi là hệ liên kết với hệ phương trình (1).
5. Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm xảy ra là:
6. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm. 7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 8. Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương dòng với nhau thì chúng tương đương nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau: Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hóa lần lượt là 9. Nhận xét: Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách tùy ý đối với ma trận hóa của một hệ phương trình tuyến tính để đưa nó về dạng một hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn. 10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình Vậy hệ đã cho tương đương với 7. Định lý: Giả sử Nói cách khác nếu 8. Định nghĩa: Một nghiệm cố định Ví dụ:
Xét hệ phương trình sau: Nhận xét hệ 1 có 1 nghiệm là Xét hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ (1).
Hệ thuần nhất này có các nghiệm là Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình ban đầu là Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính _______________________________________________________ 1. Phương pháp Cramer: Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau: 1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0. Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn. 1.3 Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: Giải: Ta có Do đó, hệ có nghiệm duy nhất Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: Giải: Ta có |A|=0 và Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: Ta có
Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm. Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên.
A và i) Nếu ii) Nếu
2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi là thuật toán Gauss): Lập ma trận các hệ số mở rộng Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó:
Trong đó Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần làm gì tiếp. Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss có dạng A’|B’ thì A’ được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc hay đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của 2.3 Các ví dụ: a) Giải hệ phương trình sau: Giải: Vì Ta sẽ áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên. Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau: Vậy hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số Chú ý: - Khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì dù giải bằng phương pháp nào ta cũng có thể có nhều cách chọn biến tự do. - Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm cơ bản. b) Giải hệ phương trình Giải: Ta tiến hành giải bằng thuật toán Gauss như sau: Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ: Do đó nghiệm của hệ là Sinh viên có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong các tài liệu viết về đại số tuyến tính. Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có các tính chất sau: - Các dòng khác 0 thì nằm trên các dòng 0; - Hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1. - Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0.
Vậy nghiệm của hệ là Ví dụ: Giải hệ phương trình với ma trận hệ số mở rộng là Giải Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận Các phần tử trên đường chéo 1; 1; -1; 1 được gọi là phần tử đánh dấu. Ta sẽ khử các phần tử còn lại của các phần tử ở các cột chứa phần tử đánh dấu ngược từ dòng 4 lên dòng 1 để được ma trận bên vế trái là ma trận đơn vị. Khi đó nghiệm của hệ phương trình là 3. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Các ví dụ: a) Giải hệ phương trình sau: Giải: Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên là Nếu Nếu m = 5 thì hệ phương trình trở thành
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc tham số b) Giải hệ phương trình Giải: Ta viết hệ trên dưới dạng ma trận hóa như sau: Vì Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên có dạng
Khi đó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số Đặt Khi m =-3 thì hệ trở thành Khi Kết luận: - Nếu m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. - Nếu m = -3 thì hệ vô nghiệm. - Nếu 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp: Cộng theo vế 4 phương trình ta được: Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (1) của hệ được: Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (2) của hệ được: Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (3) của hệ được: Thực hiện tương tự lấy (*) trừ cho phương trình thứ (4) của hệ được: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: Giải
Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan). Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được: Nhận xét: Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm Khi m = 1 hệ có vô số nghiệm. Khi Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được: Thực hiện tương tự ta được Tóm tắt chương Ở chương này, thông qua việc vận dụng các kiến thức về định thức và ma trận ta nghiên cứu thêm các phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Sau khi học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau: 1. Hệ phương trình tuyến tính có những yếu tố gì cần biết để giải? Nghiệm của hệ được xác định ra sao? Khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? Thế nào là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? 2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung nào đã học ở chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm phương pháp Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác nhau của phương pháp Gauss và phương pháp Gauss Jordan? 3. Điều kiện cần thiết để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình bày phương pháp Cramer? BÀI TẬP 1) Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp Gauss: a) c) e) g) k) m) n) 2. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã cho ở bài tập 1 (tức là thay cột hệ số tự do bằng cột chứa các số 0) rồi giải lại các hệ phương trình đó. 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) d) g) k) m) o) 4. Cho 5. Giải hệ phương trình 6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau 7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp: a)
Каталог: 2016 tải về 0.56 Mb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|
