Phương pháp giải: - Sử dụng biến đổi: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\). - Đặt ẩn phụ \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\). - Dựa vào BBT xác định số nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện. - Lập BBT hoặc vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\), với mỗi giá trị \(t\) tìm số nghiệm \(x\) tương ứng. Lời giải chi tiết: Ta có: \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right) = \dfrac{7}{3}\). Đặt \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) . Với \(x \in \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\). Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:  Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: + Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt. + Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt. Chọn C.
PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0\) là A. \(7\). B. \(10\). C. \(6\). D. \(8\). Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = – 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_1} \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right)\,\,\,\,}\\{\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_2} \in \left( { – \sqrt 2 ;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_3} \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_4} \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 2 \right)}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 3 \right)}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left( 4 \right)}\end{array}}\end{array}\) Các phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) đều vô nghiệm. Xét đồ thị hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) Ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình \(\left( 3 \right)\) có 6 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\). Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt \(t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\) vì \(x \in \left[ { – \frac{{7\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4}} \right]\) nên \(t \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\). \(t’ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \in \left\{ { – \frac{{5\pi }}{4}; – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4};} \right\}\) Khi đó phương trình \(f\left( {\sin x – \cos x} \right) + 1 = 0\) thành \(f\left( t \right) = – 1\) Ta có Dựa vào bảng biến thiên trên thì phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt. =======
Phương pháp giải: Phương trình \(2f\left( {\sin x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = - \dfrac{3}{2}\) có nghiệm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {\sin x} \right)\) tại các điểm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\) Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình. Giải chi tiết: Phương trình \(2f\left( {\sin x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {\sin x} \right)\) tại các điểm trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\) Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].\) Ta có BBT: Dựa vào BBT ta có: đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại hai điểm phân biệt. Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left( {0;1} \right)\\\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: +) Đường thẳng \(y = {t_1}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại hai điểm phân biệt trong \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\) +) Đường thẳng \(y = {t_2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x\) tại bốn điểm phân biệt trong \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\) Như vậy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( {\sin x} \right)\) tại 6 điểm phân biệt trên \(\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\) Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Chọn B. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \pi ;\;\frac{{5\pi }}{?Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x + 1} \right) = 1\) là A. \(6.\) B. \(9.\) C. \(5.\) D. \(7.\)
Quảng cáo Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000) A. 954 B.955 C. 956 D. 957 Lời giải Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0 ⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0 ⇒ 4cosx. ( sinx+ 1) = 0 Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn. ⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000) Chọn B. Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000). A.624 B. 652 C. 645 D. 636 Lời giải Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0 ⇒ ( 2sinx+ 2cosx) – (cos2 x – sin2 x)= 0 ⇒ 2(sinx + cosx) - ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx)= 0 ⇒ ( sinx+ cosx). ( 2- cosx + sinx) = 0 Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000) Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng( 10; 1000) ? A. 1207 B. 1260 C.1261 D. 1208 Lời giải. Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x ⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x ⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x ⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0 ⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0 ⇒ 2cos 4x.(cos2x – sin2x) = 0 ⇒ 12,23 < k < 1272,8 Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272} ⇒ có 1260 số thỏa mãn. Chọn B. Ví dụ 4. Phương trình A. 3025 B. 3026 C. 3027 D. Tất cả sai Lời giải. Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx ≠ 0 Với điều kiện trên phương trình trên tương đương: ( 1- 2cosx).( 1+ cosx) = ( 1+ 2cosx). sinx ⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx ⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0 ⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0 Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027} ⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm. Chọn C. Ví dụ 5. Phương trình A. 1 B. 2 C.3 D. 4 Lời giải. Vì x nguyên dương nên (3k- 2)∈Ư (98)={1;2; 7;14;49;98} Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên. + k= 1 ⇒ x= 12 + k= 3 ⇒ x = 4 + k= 17 ⇒ x = 12 ⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4 Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 6. Phương trình: A.4033 B. 4032 C. 4035 D. 4036 Lời giải. ⇒ ( 1- cos2x)2 + (cosx- sinx)4=1 ⇒ 1- 2cos2x + cos22x + ( cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx)2= 1 ⇒ 1- 2cos2x + cos22x + (1- sin2x)2 - 1= 0 ⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0 ⇒ (cos22x + sin22x ) +1 – 2.(cos2x+ sin2x)= 0 ⇒ 2- 2(cos2x + sin2x) = 0 ⇒ cos2x + sin2x = 1 Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét. Chọn A. Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Lời giải Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx ⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx ⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1) Chọn B. Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình A. π/4 B. π/3 C. π D.Đáp án khác Lời giải Điều kiện: Ta có: tan 3x + cot(π/2+x)=0 ⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx ⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ ⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện ) Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D. Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin(cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π) ? A. 2 B.3 C. 4 D. 5 Lời giải Ta có: sin(cosx)=0 ⇒ cosx = kπ (*) Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ (*) suy ra: k= 0 Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}. ⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π) Chọn C. Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ? A. 1 < m < 2 B. 2 < m ≤ 3 C. 1 < m ≤ 2 D. 2 < m < 3 Lời giải. Chọn C. Câu 1:Cho phương trình: (cos4 x- sin4 x).( 2cos2x+5) – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) A. 5 B. 7 C. 6 D. 8
Ta có: (cos4 x- sin4 x).(2cos2x+ 5) – 3 = 0. ⇒ ( cos2 x- sin2 x).( cos2 x+ sin2x) .( 2cos 2x + 5) – 3= 0 ⇒ cos2x.1.( 2cos 2x + 5) - 3= 0 ⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0 ⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này. Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π;4π) Chọn C. Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình A.3 B.4 C.5 D. 6
Chọn B. Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)? A. 2 B.4 C.3 D.5
⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}. Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét. Chọn C. Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình A. 6 B .7 C. 8 D. 9
Điều kiện: cosx ≠ -√3/2 Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0 ⇒ ( sin2x – cosx) + (2sin2x – 5sinx + 2) =0 ⇒ (2sinx. cosx – cosx) + ( 2sin2x – 5sinx + 2) = 0 ⇒ cosx.( 2sinx- 1) + ( sinx- 2). ( 2sinx – 1)= 0 ⇒ ( 2sinx – 1). (cosx + sinx- 2) = 0 Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π] Chọn C. Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.(tan2 x – cos2x)= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng (0; 6π) ? A. 9 B. 8 C. 10 D.11
+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1 ⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π ⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm. Chọn A. Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là: A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0 ⇒ m.( sin2 x- 1) - 3sinx. cosx – 1=0 ⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0 ⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0 + Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: ⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 (*) Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0 Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1 Mà m nguyên và m∈ [ -4;7] ⇒ m∈{ -4; -3; -2}. ⇒ Tập S có 3 phần tử. Chọn B. Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1).(4cos 2x – m.cosx)= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x – m.cosx) = m.sin2x ⇒ ( cosx+ 1).( 4cos2x – m. cosx) = m.(1- cos2 x) ⇒ (cosx+ 1) . ( 4cos2x- m. cosx) – m.( 1- cosx).( 1+ cosx) =0 ⇒ ( cosx+ 1)( 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx)= 0 ⇒ (cosx+ 1). ( 4cos 2x – m) = 0 Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1).[2cos2x- ( 2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] A . 1 B. 2 C .3 D .4
Ta có: (sinx- 1).[2cos2 x – (2m+ 1).cosx + m] = 0 ⇒ (sinx -1). ( 2cosx- 1).( cosx – m) = 0 Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Chọn B. Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – (5m+ 1).sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng A. m0= - 2 B. m0= 1 C. D.
Đặt t= sinx ( - 1 ≤ t ≤ 1) . Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – (5m+1).t + 2m2 + 2m=0 (* ) Chọn D. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
