Bài tập giải tích hàm của viết đông năm 2024

Tích phân hàm ẩn là một dạng toán vận dụng cao (VDC, nâng cao, khó …) thường gặp trong các đề thi thử THPT Quốc gia 2020 môn Toán, nhưng dạng toán này lại ít được đề cập đến trong sách giáo khoa Giải tích 12, điều này đã gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình định hướng và tìm lời giải.

TOANMATH.com giới thiệu đến thầy, cô và các em học sinh tài liệu chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình do thầy Đặng Việt Đông biên soạn. Tài liệu gồm 57 trang, hướng dẫn giải một số bài toán tích phân hàm ẩn thường gặp trong đề thi trắc nghiệm Toán 12 và đề thi thử THPT Quốc gia 2020 môn Toán.

Khái quát nội dung chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông: DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP. 1. Nếu $u = u(x)$ và $v = v(x)$ thì $(uv)’ = u’v + uv’.$ Nếu $\left[ {f(x).g(x)} \right]’ = h(x)$ thì $f(x).g(x) = \int h (x)dx.$ 2. Nếu $u = u(x)$ và $v = v(x)$ thì $\left( {\frac{u}{v}} \right)’ = \frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}$ với $v \ne 0.$ Nếu $\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)’ = h(x)$ thì $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \int h (x)dx.$ 3. Nếu $u = u(x)$ thì $\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}$ với $u > 0.$ Nếu $\left[ {\sqrt {f(x)} } \right]’ = h(x)$ thì $\sqrt {f(x)} = \int h (x)dx.$ 4. Nếu $u = u(x)$ thì $\left( {{e^u}} \right)’ = u’.{e^u}.$ Nếu $\left( {{e^{f(x)}}} \right)’ = g(x)$ thì ${e^{f(x)}} = \int g (x)dx.$ 5. Nếu $u = u(x)$ nhận giá trị dương trên K thì $[\ln u]’ = \frac{{u’}}{u}$ trên $K.$ Nếu $\left[ {\ln (f(x))} \right]’ = g(x)$ thì $\ln (f(x)) = \int g (x)dx.$ DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Cho $\int_a^b {u’} (x).f[u(x)]dx$, tính $\int_a^b f (x)dx.$ Hoặc cho $\int_a^b f (x)dx$, tính $\int_a^b {u’} (x).f[u(x)]dx.$ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Tính $\int_a^b f (x)dx$, biết hàm số $f(x)$ thỏa mãn $A.f(x) + B.u’.f(u) + C.f(a + b – x) = g(x).$ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: Lần lượt đặt $t = u(x)$ và $t = v(x)$ để giải hệ phương trình hai ẩn, suy ra hàm số $f(x).$ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: Cho $f(x).f(a + b – x) = {k^2}$, khi đó $I = \int_a^b {\frac{{dx}}{{k + f(x)}}} = \frac{{b – a}}{{2k}}.$ TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $g[f(x)] = x$ và $g(t)$ là hàm đơn điệu. Hãy tính tích phân $I = \int_a^b f (x)dx.$ DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN. Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau: $\int_a^b u (x).f'(x)dx$ hoặc $\int_a^b {u’} (x).f(x)dx.$ DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức $f'(x) + p(x).f(x) = h(x).$ [ads] Xem thêm: + Chuyên đề tích phân hàm ẩn – Hoàng Phi Hùng + Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải + Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt + Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Nguyên Hàm – Tích Phân

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Ph m Đình Đ ng Exercises in Functional 1st Edition Analysis A review for final exam 2008 L i t a To all the girls i love before. Tôi đ n v i gi i tích hàm như m t "s s p đ t c a s ph n". Có l , đó là nguyên nhân đ tôi vi c vi t t p tài li u nh này. Xin nh n m nh r ng, đây ch là s góp nh t khai tri n ch ng có gì là sáng t o. Th nh tho ng có đôi l i khen t ng, tôi l y làm x u h như đã cư ng chi m m t cái gì đó không ph i ph n mình đư c hư ng. Khi m t k bình thư ng quên ư c lư ng tài s c c a mình, vi t v m t đi u quá r ng l n và tr u tư ng ch c h n không th tránh kh i thi u sót. R t mong s ch giáo c a các đ c gi . Nư c muôn sông không đ cho tôi r a tai đ nghe nh ng l i cao lu n. Hu , tháng 5, 2008. Ph m Đình Đ ng Ph.D.Dong "A journey of a thousand miles begin with one step" - Lão T 3 1 Không gian đ nh chu n Bài t p 1.1. Cho X là m t không gian vectơ , f1 , f2 : X −→ K là các ánh x tuy n tính th a f1 (x)f2 (x) = 0, ∀x ∈ X. Ch ng minh r ng f1 ≡ 0 ho c f2 ≡ 0. Ch ng minh. Gi s f1 = 0 ta c n ch ng minh f2 = 0. Vì f1 = 0 nên t n t i x1 ∈ X sao cho f1 (x1 ) = 0, lúc đó f2 (x1 f1 (x1 )) = f2 (x1 )f1 (x1 ) = 0 Suy ra f2 (x1 ) = 0 hay x1 ∈ Kerf2 . N u f2 = 0 lúc đó t n t i x2 ∈ X sao cho f2 (x2 ) = 0 thì x2 ∈ Kerf1 . Đ t x0 = x1 + x2 , lúc đó f1 (x0 ) = f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = f1 (x1 ) = 0 f2 (x0 ) = f2 (x1 ) + f2 (x2 ) = f2 (x2 ) = 0 =⇒ f1 (x0 )f2 (x0 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) = 0 Mâu thu n v i gi thi t, v y f2 ≡ 0. Bài t p 1.2. Cho X là không gian vectơ , A : X −→ X là ánh x tuy n tính th a A2 = 0. Ch ng minh r ng Id − A là song ánh. Ch ng minh. V i m i x1 , x2 ∈ X th a (Id − A)(x1 ) = (Id − A)(x2 ) ⇒ x1 − A(x1 ) = x2 − A(x2 ) ⇒ A(x1 − x2 ) = x1 − x2 ⇒ A2 (x1 − x2 ) = A(x1 ) − A(x2 ) = 0 ⇒ A(x1 ) = A(x2 ). t đó suy ra x1 = x2 . V y Id − A là đơn ánh. V i m i y ∈ X, xét x = A(y)+y ∈ X, khi đó (Id−A)(x) = (Id−A)(A(y)+ y) = A(y) + y − A(A(y) + y) = A(y) + y − A2 (y) − A(y) = y. V y Id − A là toàn ánh. V y Id − A là song ánh. Bài t p 1.3. Cho X, Y là hai không gian vectơ v i dimX = n, dimY = m. Ch ng minh r ng dim(L(X, Y )) = n.m. Ch ng minh. Ta có L(X, Y ) = {f : X −→ Y là các ánh x tuy n tính } là m t không gian vectơ . Lúc đó L(X, Y ) ∼ Matn×m (K), suy ra dim(L(X, Y )) = = dimMatn×m (K). M t khác ta th y Aij là ma tr n sao cho aij = 1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m còn các v trí còn l i b ng 0 thì lúc đó h g m {(Aij )}, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m Ph.D.Dong là đ c l p tuy n tính. M t khác a11  a21 A= .  . . am1 thì A= i=1 j=1 n 4   . . . a1n . . . a2n  ... .  .  . . . . amn m aij Aij Do đó {Aij } là h sinh c a Matn×m (K). V y {Aij } là cơ s c a Matn×m (K) và nó có m × n ph n t . V y dim(L(X, Y )) = n.m. Bài t p 1.4. Cho f : X −→ R là ánh x tuy n tính , Y ⊂ X th a Kerf ⊂ Y . Ch ng minh r ng Y = X ho c Y = Kerf . Ch ng minh. Gi s Y là không gian con c a X ch a Kerf th c s . Lúc đó có y0 ∈ Y và y0 ∈ Kerf nên f (y0 ) = 0. / f (x) V i m i x ∈ X, ta đ t z = x − f (y0 ) y0 thì f (z) = f (x − f (x) f (x) y0 ) = f (x) − f (y0 ) = f (x) − f (x) = 0 f (y0 ) f (y0 ) ⇒z =x− Suy ra x = z + f (x) y0 ∈ Kerf ⊂ Y f (y0 ) f (x) y0 ∈ Y , t c là X = Y . f (y0 ) Bài t p 1.5. Cho X = {0} là không gian vectơ th c ho c ph c. Ch ng minh r ng ta có th trang b ít nh t m t chu n trên X. Ch ng minh. G i B = {eα | α ∈ I} là cơ s Hamel c a X trên K. Lúc đó m i x ∈ X, x = 0 có th vi t duy nh t dư i d ng n x= j=1 xij eij trong đó n ∈ N, xij ∈ K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Ta đ nh nghĩa n x = j=1 xij và x = 0 n u x = 0 Ta s ch ng minh . là m t chu n trên X. Th t v y, Ph.D.Dong n 5 xij eij trong đó n ∈ N, xij ∈ j=1 • L y x ∈ X, x = 0. Lúc đó x = K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Vì x = 0 nên t n t i ít nh t m t ij = 0. Do đó, x > 0. • V i m i x ∈ X và λ ∈ K, n u x = 0 ho c λ = 0 thì λx = 0, n do đó λx = |λ| x . Gi s x = 0, λ = 0. N u x = j=1 n xij eij thì λx = j=1 λxij eij . Suy ra λx = |λ| x . • L y tùy ý x, y ∈ X. N u x = 0 ho c y = 0 thì x + y = x + y . Ngư c l i, n u x, y = 0, ta xem x có bi u di n như trên và y = m yts ets trong đó m ∈ N, xts ∈ K \ {0}, ts ∈ I, s = 1, m đôi m t phân s=1 bi t. Đ t Cx , Cy ⊂ I như sau Cx = {ij , j = 1, n} và Cy = {ts , s = 1, m} n m N u Cx ∩ Cy = ∅ thì x + y = j=1 n m xij eij + s=1 yts ets . Khi đó x + y = xij + j=1 s=1 |xts | = x + y . Bây gi ta gi s Cxy = Cx ∩ Cy = ∅. Không m t tính t ng quát, gi s in = tm , in−1 = tm−1 , . . . , in−k = tm−k thì Cxy = {in , . . . , in−k } = {tm , . . . , tm−k }. Ta có th bi u di n x + y như sau n−k−1 m−k−1 k x+y = j=1 xij eij + s=1 yts ets + l=1 (xin−l + ytm−l )ein−l v i (xin−l + ytm−l ) = 0, n u nó b ng 0 thì ta không vi t ra. N u x + y = 0 thì x + y ≤ x + y , hi n nhiên. N u x + y = 0 thì n−k−1 m−k−1 k x+y = j=1 n−k−1 xij + s=1 m−k−1 |yts | + l=1 k xin−l + ytm−l ( xin−l + ytm−l ) l=1 ≤ j=1 xij + s=1 |yts | + = x + y