Phần Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Giới hạn của dãy số hay nhất tương ứng. Show Quảng cáo
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Bài viết trên đã giới thiệu cho các em phần lý thuyết cơ bản và các dạng bài về giới hạn của dãy số. Đây là một phần kiến thức khó và quan trọng trong chương trình toán 11 nên để đạt được kết quả tốt nhất các em học cần phải nắm rõ lý thuyết và rèn luyện thêm các dạng bài tập. Các em học sinh có thể truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ngay hôm nay nhé! KHÓA: GIẢI TÍCH 1 – KHỐI KỸ THUẬTCHƯƠNG 01: DÃY SỐBÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 1: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau: ( 1) ( 1) n n n n x n +− −− Lời giải: ( )( )1 ( 1) 1 1 / lim lim lim ( 1) 1 1 / n n n n n n n n n n x → → n → n +− +− = = = −− −− 2 2 57 7 2 6 n nn x nn +− −+ Lời giải: 22 22 5 7 5 1 / 7 / l 7 im lim lim 7 2 6 7 2 / 6 / 5 n n n n n n n n x → → n n → n n
32 2 2 1 5 2 3 5 1 − =+ ++ n nn x nn Lời giải: ( )3 2 3 2 22 2 1 5 2 3 3 15 lim lim lim 2 3 5 1 2 3 5 1 n n n n n n n n n n n n x → → n n → n n − + − + − + = + = +
22 1 3 1 1 / 3 / 1 lim lim 0 5 1 2 3 5 1 / 2 3 / 5 1 nn 5 n n n n → n n → n n ++ = − = − = − = + + + +
Lời giải: ( )( )2 22 2 22 11 l 2 im lim lim lim 1 1 1 / 11 1 n n n n n n n n n n n → → n n n → n n n → n −− − − = = = = =
Lời giải: ( ) ( )( )( )3 333 3333 2 2 333 3 1 lim 1 lim 1 lim 11 n n n nn n n n n n n n n → → → −−
( )2 2 333 3 0 1 lim 11 n n n n n → \==
52 52 n xn n + − Lời giải: 1 11 5 2 5 / 2 2 1 / 2 1 / 2 lim lim 5 2 1 1 1 5 / 2 nn nnnn → ++→ −− == ++ − −
( 2) 3 ( 2) 3 nn xn nn ++ −+ −+ Lời giải: ( )( )11 1 2 / 3 / 3 1 3 ( 2) 3 /3 1 / 3 lim lim ( 2) 3 2 1 1 / 3 1 nn n nn → nn ++→ n + −+ −+ = = = −+ −+ . Ở đây đã sử dụng tính chất với -1 < a < 1 (bài này là -2/3) thì an có giới hạn bằng 0 khi n ra vô cùng 23 sin −cos n = nn x n Lời giải: 23 sin cos 2 00 n nn x nn − = → khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp) − xxxnnn mà lim nn →( )− = xxnn lim→ = 0 lim n → xn = 0 (lại theo nguyên lý kẹp)cos 1 \= + n nn x n Lời giải: cos 1 / 00 1 1 1 1 / n n n n n x n n n = = → + + + khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Tương tự bài 1 từ đây có lim n 0 n x → \= 10) ( )2 x n nn = − −1 .sin n Lời giải: ( )( )2 22 22 22 1 1 0 1 .sin 1 0 11 n nn x n n n n n n n n n −− = − − − − = = →
khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Cũng từ đây có lim n 0 n x → \=
.sin! 1 n nn x n \= + Lời giải: 2 2 2 .sin! 1 / 00 1 1 1 1 / n n n n n x n n n = = → + + + khi lim n 0 n nx → → = (nguyên lý kẹp). Suy ra lim n 0 n x → \=
n n n x = Lời giải: ( )( )( )0 1 2 2 1 2 1 1 ... 2 2 1 / 2 nnn n n n n n n n nn nn C C C C C x nn − = + = + + + + = = − ( )2 00 1 / 2 1 n n x n n n = → −− khi lim n 0 n nx → → = 2 ! n xn n \= Lời giải: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 2 1 n kk x k k k k k k n n +− = = − = + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 1 1 1 2 2 3 n n 1 2 3 n n n 1 = − + − + + − = − + − + + − = − → −− khi n →
1 1 1 1 1 ... 1 23 xn n = − − − Lời giải: ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 111 1 1 ... 1 ... ... 2 3 2 3 2 3 2 nnnn n n n n − − − −+ + − − − = = = từ đó dãy số có giới hạn 1/ 2 2 2 3 1 2 ... ( 1) n n x n
Lời giải: áp dụng kết quả trong câu (14) 2 2 2 ( ) ( 121 )1 2 ... ( 1) 6 n n n n −−
thì ( ) ( ) ( )( )3 3 1 2 1 1 1 / 2 1 / 1. 6 6 6 1 n n n n n n x n − − − − = = → = khi n → Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau:
####### n = n x Lời giải: khi n → thì: 8 8 cos cos 2 1 1 4 n n x ####### ####### = = = → và ( )82 82 cos cos 2 0 0 42 n n x ####### ####### +
. Điều này chứng tỏ hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ. 1 xn =sin n Lời giải: ta chứng minh sin(x) < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học. Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc phần tư thứ nhất, và sin(x) = OH = BK < BA < cung (BA) = x ta có đpcm. Áp dụng: 11 0 xn sin 0 nn = → khi n →, theo nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0 1 = − +( 1) sin n xn n Lời giải: Theo câu 2 thì 1 lim sin 0 n → n \= , mặt khác lim( ) 1n n → − không tồn tại vì nó nhận giá trị xen kẽ -1 và 1. Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó: 11 lim( 1) lim sin lim lim sin n n n xxnnn n → → nn → → − = − = − , giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn. Vậy dãy đã cho phân kỳ
Lời giải: giả sử dãy đã cho sin(n) hội tụ, suy ra sin 2 n cũng hội tụ, suy ra cos 2 n hội tụ, gọi giới hạn của sin(n) là a, cos 2 n là b (a, b hữu hạn) ( ) ( ( ) )22 2 sin n + = 1 sin cos1 cos sin1 n + n cos n sin 1= sin n + − 1 sin cos1 n , cho n ra vô cùng được: ( ) ( )2222 b sin 1= − a a cos1 = − a 1 cos1 (1) ( ) ( ( ) )22 2 sin n + = 2 sin cos 2 cos sin 2 n + n cos n sin 2= sin n + − 2 sin cos 2 n , lại cho n ra vô cùng được: ( ) ( )2222 b sin 2= − a a cos 2 = − a 1 cos 2 (2) (1) và (2) cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được: ( )( )2 2 2 2 sin 2 1 cos 2 sin 1 1 cos − − . Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là sai hay dãy đã cho phân kỳ Bài 3: Chứng minh rằng dãy số un là một dãy số phân kỳ với:1 1 1 1 ... 23 un = + + + + n Lời giải: đặt 222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 2 3 2 3 1 2 vnnvn v n n n n n = + + + = + + + = ++ + + ++ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 1 n n n n n n n n n k k k n v v v v v v kn kn kn n kn n k − − − \= = = = + + + + + = + = + = + + + + + (1)Giả sử dãy vn hội tụ, tức lim n n va → \= hữu hạn, thế thì cũng phải có lim 2 n n va → \= (a > 0 vì dãy dương tăng). Ở (1) có 22 n n vv cho n ra vô cùng được: aa 2 , điều này vô lí Vậy dãy vn phân kỳ, suy ra dãy đã cho phân kỳ uvnn =+ 1 Bài 4: Chứng minh rằng:
aa → \= Lời giải: Với a > 1 1 n = + ab , b > 0, suy ra |
